5.5三角恒等变换-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

5.5三角恒等变换同步练习
一、单选题
1.已知 tan(π4+A)=?3 ，则 sin2Asin2A+cos2A =（??? ）
A.?35???????????????????????????????????????B.??35???????????????????????????????????????C.?45???????????????????????????????????????D.??45
2.sin20ocos10o?cos160osin10o =（?? ）
A.??32?????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????C.??12?????????????????????????????????????D.?12
3.若 tan(α?β)=12 ， tan(α+β)=13 ，则 tan2β 等于（?? ）
A.?17???????????????????????????????????????B.?43???????????????????????????????????????C.??17???????????????????????????????????????D.??43
4.已知 sin(π+α)=13 ，则 sin(3π2+2α)= （??? ）
A.??79?????????????????????????????????????B.?79?????????????????????????????????????C.??33?????????????????????????????????????D.?33
5.已知 α∈(π,32π) 且 sin(α+β)?cosβ?cos(α+β)sinβ=?45 ,则 tanα2 的值是(??? )
A.?3??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?-2??????????????????????????????????????????D.?-3
6.若 sinα+cosαsinα?cosα=2 ，则 tan2α= （?? ）
A.??34???????????????????????????????????????B.?34???????????????????????????????????????C.??35???????????????????????????????????????D.?35
7.对于锐角α，若sin (α?π12) ＝ 35 ，则cos sin(2A?π6)=1 ＝(?? )
A.?2425????????????????????????????????????B.?38????????????????????????????????????C.?28????????????????????????????????????D.?－ 2425
8.下列函数中，周期为1的奇函数是(?? )
A.?y=1-2sin2πx?????????????????B.?y=sin (2πx+π3)?????????????????C.?y=tan π2 x?????????????????D.?y=sinπxcosπx
二、填空题
9.函数 f(x)=1?2sin2x 的最小正周期是________
10.若 cosα=-32 ，则 cos2α= ________.
11.若方程 cos(2x?π6)=35 在 (0,π) 的解为 x1 ， x2 ，则 cos(x1?x2)= ________.
12.已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．?点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC=________．
三、解答题
13.已知α，β为锐角， tanα=2,cos(α+β)=?33 .
（1）求cos2α的值；
（2）求tan(β-α)的值.
14.已知 sinα=13 ， tanα<0 ．
（Ⅰ）求 sin2α 的值；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，若 α 的顶点在原点，始边为 x 轴的非负半轴，将角 α 的终边绕原点顺时针旋转 π4 后与单位圆交于点 Q ，求点 Q 的坐标．
15.如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.
16.已知函数 f(x)=23cos2x+sin(π?2x) ．
（1）求函数 f(x) 的最小正周期．
（2）求函数 f(x) 在 [0,π2] 上的单调区间．
参考答案
1. C 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A 7. D 8. D 9. π 10. 12 11. ?35 12. 152；104
13.【答案】 （1）解：由 tanα=2 ，
得 cos2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=1?21+2=?13 ；
（2）解：由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），
又∵ cos(α+β)=?33 ，
∴ sin(α+β)=1?cos2(α+β)=63 ， tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=?2 ，
由 tanα=2 ，得 tan2α=2tanα1?tan2α=?22 .
则 tan(β?α)=[tan(α+β)?2α]=tan(α+β)?tan2α1+tan(α+β)tan2α=25 .
【解析】（1）根据同角三角函数基本关系式，转化为齐次式求值；（2）先根据二倍角正切公式得 tan2α ，再利用两角差的正切公式得结果.
14.【答案】 解：（Ⅰ） ∵sinα=13 且 tanα=sinαcosα<0 ，则 cosα<0 ， ∴cosα=?1?sin2α=?223 ，
∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(?223)=?429 ；
（Ⅱ）由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为 α?π4 ．
∵cos(α?π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=?223×22+13×22=2?46 ，
sin(α?π4)=sinαcosπ4?cosαsinπ4=13×22+223×22=2+46 .
点 Q 是角 α?π4 的终边与单位圆的交点，
因此，点 Q 的坐标为 (2?46,2+46) ．
【解析】（Ⅰ）由已知条件知 cosα<0 ，利用同角三角函数的基本关系求得 cosα 的值，然后利用二倍角的正弦公式可求得 sin2α 的值；（Ⅱ）由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为 α?π4 ，利用两角差的三角函数公式求得 cos(α?π4) 和 sin(α?π4) 的值，即可得出点 Q 的坐标.
15.【答案】 解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°﹣θ，∴∠OCP＝120°．
在△POC中，由正弦定理得
OPsin∠PCO=CPsinθ ，∴ 2sin120°=CPsinθ ，所以CP =43 sinθ．
又 OCsin(60°?θ)=2sin120° ，∴OC =43 sin（60°﹣θ）．
因此△POC的面积为
S（θ） =12 CP?OCsin120° =12 ? 43 sinθ? 43 sin（60°﹣θ） ×32
=43 sinθsin（60°﹣θ） =43 sinθ（ 32 cosθ ?12 sinθ）
=43 （ 32 sinθcosθ ?12 sin2θ）
=23 （ 32 sin2θ +12 cos2θ ?12 ）
=23 [cos（2θ﹣60°） ?12 ]，θ∈（0°，60°）．
所以当θ＝30°时，S（θ）取得最大值为 33 ．
【解析】根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP，进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ），利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值．
16.【答案】 （1）解： ∵f(x)=23cos2x+sin(π?2x)
=3(cos2x+1)+sin2x
=sin2x+3cos2x+3
=2sin(2x+π3)+3 ，
∴函数 f(x) 的最小正周期为 2π2=π ．
（2）解：当 x∈[0,π2] 时， 2x+π3∈[π3,4π3] ，
∴令 π3≤2x+π3≤π2 ，得 0≤x≤π12 ．
令 π2≤2x+π3≤4π3 ，得 π12≤x≤π2 ．
∴函数 f(x) 在 [0,π2] 上的单调增区间是 [0,π12] ，单调减区间是 [π12,π2] ．
【解析】（1）利用降幂公式及辅助角公式，化简函数解析式，即可求得最小正周期；（2）根据化简的三角函数关系式，结合正弦函数图像与性质及 x∈[0,π2] ，即可分别求得单调递增和单调递减区间.