5.7三角函数的应用-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

5.7三角函数的应用同步练习
一、单选题
1.某海轮以每小时30海里的速度航行，在点 A 测得海面上油井 P 在南偏东 60? ，海轮向北航行40分钟后到达点 B ，测得油井 P 在南偏东 30? ，海轮改为北偏东 60? 的航向再行驶80分钟到达点 C ，则 P?,?C 两点的距离为（ ??）(单位：海里)
A.?207??????????????????????????????????B.?2077??????????????????????????????????C.?203??????????????????????????????????D.?2033
2.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（?? ）
A.?y=3sinπ6t+12?????????B.?y=?3sinπ6t+12?????????C.?y=3sinπ12t+12?????????D.?y=3cosπ12t+12
3.若sinα+ 3 cosα=2，则tan（π+α）=（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?22???????????????????????????????????????D.?33
4.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为（　　）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?25?????????????????????????????????????????D.?50
5.半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（　　）
A.?2π???????????????????????????????????????B.?8π3???????????????????????????????????????C.?3π???????????????????????????????????????D.?11π3
6.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sint,y2=sint+2π3和y3=sint+4π3描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（　　）
A.?仍保持平静???????????????????B.?不断波动???????????????????C.?周期性保持平静???????????????????D.?周期性保持波动
7.M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（　　）
A.?π??????????????????????????????????????B.?2π???????????????????????????????????????C.?3π???????????????????????????????????????D.?2π
8.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（　　）
A.?102m?????????????????????????????????B.?20m?????????????????????????????????C.?203m?????????????????????????????????D.?40m
二、填空题
9.在 △ABC 中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若 a+b=cx 则实数x的取值范围是________.
10.若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离________?，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r2成反比）
11.在同一平面直角坐标系中，函数y=cos(x2+3π2)x∈0,2π的图象和直线y=12的交点个数是________ 个
12.点A（x，y）在单位圆上，从A0（12,32）出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周．则经过时间t后，y关于t的函数解析式为________?
三、解答题
13.设 △ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且 b(sinB?sinC)+(c?a)(sinA+sinC)=0
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 a=3 ， sinC=1+32sinB ，求 △ABC 的面积.
14.如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中∠B= π2 ，AB=a，BV= 3 a）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A′MN），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′点落在边BC上，设∠AMN=θ．
（1）若θ= π3 ，绿地“最美”，求最美绿地的面积；
（2）为方便小区居民行走，设计时要求AN，A′N最短，求此时公共绿地走道MN的长度．
15.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点 M(3π4,0) 对称，且在区间 [0,π2] 上是单调函数，求φ和ω的值．
16.如图，在半径为2，圆心角为 π2 的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中M、N两点分別在半径OA、OB上，P、Q两点在弧 AB 上，且OM=ON，MN∥PQ．
（1）若M、N分別是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值．
（2）PQ=2，求四边形MNQP面积的最大值．
参考答案
1. A 2.A 3. D 4. C 5. B 6.A 7. C 8. D 9. (1,2] 10.22a 11.2 12.(π6t+π3)
13.【答案】 解：（Ⅰ）因为 b(sinB?sinC)+(c?a)(sinA+sinC)=0 ，
由正弦定理得 b(b?a)+(c?a)(a+c)=0 ，∴ b2+c2?a2=bc ，?
∴由余弦定理得 cosA=b2+c2?a22bc=12 ，∴在 △ABC 中， A=π3 .
（Ⅱ）方法一：因为 sinC=1+32sinB ，且 A=π3 ，∴ sin(23π?B)=1+32sinB
∴ 32cosB+12sinB=1+32sinB ?，? ∴ tanB=1 ，在 △ABC 中， B=π4
又在 △ABC 中，由正弦定理得 bsinB=asinA=332=2 ，∴ b=2
∴ △ABC 的面积 S=12absinC=12×3×2sin(π4+π3)=622+64=3+34 ?
方法二：因为 sinC=1+32sinB ，由正弦定理得 c=1+32b
而 a=3 ， A=π3 ，由余弦定理得 b2+c2?bc=a2 ，∴ b2+(1+3)24b2?1+32b2=3
∴ b2=2 ，即 b=2 ， c=2+62
∴ △ABC 的面积 S=12bc?sinA=3+34 ?.
【解析】（I）利用正弦定理将 b(sinB?sinC)+(c?a)(sinA+sinC)=0化简成 b(b?a)+(c?a)(a+c)=0，并利用余弦定理可以计算出cosA值，进而得出答案。（2）根据题目条件和三角形角的和为180度可知，sin(23π?B)=1+32sinB,进而利用正弦两角差公式展开便可以得出角B为π4,再次利用正弦定理bsinB=asinA,可以计算出b的长度，最后结合三角形面积计算公式S=12absinC便可以计算出答案。第二种方法：根据题目条件，利用正弦定理可知道c=1+32b,而a=3,A=π3,由余弦定理得到b2+c2?bc=a2,将b和c的关系式代入该方程，便可以计算出b的长度，利用S=12bc·sinA,得出答案。
14.【答案】 （1）解：由∠B= π2 ，AB=a，BV= 3 a，得∠BAC= π3
设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a﹣xa，
所以在Rt△MBA′中，cos（π﹣2θ）= a?xaxa = 1?xx
因为θ= π3 ，所以cos（π﹣2θ）= 1?xx = 12 ，所以x= 23 ，
又∠BAC= π3 ，所以△AMN为等边三角形，所以绿地的面积S=2× 12 × 23 a× 23 a×sin π3 = 239a2
（2）解：因为cos（π﹣2θ）═﹣cos2θ=2sin2θ﹣1= 1?xx ，
所以x= 12sin2θ ，则AM= a2sin2θ
又∠BAC= π3 ，所以在△AMN中，∠ANM= 2π3?θ ，故 ANsinθ=AMsin(2π3?θ) ，
所以AN= a2sin2θ × sinθsin(2π3?θ) = a2sinθ?sin(2π3?θ) = a12+sin(2θ?π6)
又 π4<θ<π2 ，所以 π3<2θ?π6<5π6 ，
所以当 2θ?π6=π2 ，即θ= π3 时，AN最短，且AN= 23a ，
此时公共绿地走道MN= 23a
【解析】由∠B= π2 ，AB=a，BV= 3 a，得∠BAC= π3 ，设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a﹣xa，所以在Rt△MBA′中，cos（π﹣2θ）= a?xaxa = 1?xx ； （1）因为θ= π3 ，所以cos（π﹣2θ）= 1?xx = 12 ，解得x值，可得△AMN为等边三角形，进而得到最美绿地的面积；（2）根据（1）中结论，可得AN= a12+sin(2θ?π6) ，根据三角函数的图象和性质，可得θ= π3 时，AN最短，且AN= 23a ，进而得到答案．
15.【答案】 解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），
即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ= π2 ，
由f（x）的图象关于点M对称，
得 f(3π4?x)=?f(3π4+x) ，
取x=0，得f（ 3π4 ）=sin（ 3ωπ4+π2 ）=cos 3ωπ4 ，
∴f（ 3π4 ）=sin（ 3ωπ4+π2 ）=cos 3ωπ4 ，
∴cos 3ωπ4 =0，
又w＞0，得 3ωπ4 = π2 +kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω= 23 （2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω= 23 ，f（x）=sin（ 23x+π2 ）在[0， π2 ]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+ π2 ）=cos2x，在[0， π2 ]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω= 103 ，f（x）=sin（ 103 x+ π2 ）在[0， π2 ]上不是单调函数；
所以，综合得ω= 23 或2
【解析】由f（x）是偶函数可得?的值，图象关于点 M(3π4,0) 对称可得函数关系 f(3π4?x)=?f(3π4+x) ，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
16.【答案】 （1）解：连接OP，OQ，则四边形MNQP为梯形．
设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0， π4 ），则∠POQ= π2 ﹣2θ，且此时OM=ON=1，
四边形MNQP面积S= 12×2 sinθ+ 12×2 sinθ+ 12×2 ×2sin（ π2 ﹣2θ）﹣ 12 =﹣4sin2θ+2sinθ+ 32 ，
∴sinθ= 14 ，S取最大值 74
（2）解：设OM=ON=x∈（0，2），
由PQ=2可知∠POQ= π3 ，∠AOQ=∠BOP= π12 ，
∴sin π12 = 6?24 ，
∴四边形MNQP面积S= 6?24 x+ 6?24 x+ 3 ﹣ 12 x2=﹣ 12 x2+ 6?22 x+ 3 ，
∴x= 6?22 ，S取最大值为 2+32
【解析】（1）设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0， π4 ），则∠POQ= π2 ﹣2θ，且此时OM=ON=1，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．（2）PQ=2，可知∠POQ= π3 ，∠AOQ=∠BOP= π12 ，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．