集合的基本关系：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例1：已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
例2：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A?B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
变式1.把本例条件“A?B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．
变式2．把本例条件“A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B?A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．
一、选择题
1．已知集合，且，则等于（
）
A．-1
B．
C．
D．或-1
2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
4．下列集合中，是空集的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1,1)∪(1，＋∞)
D．R
6．设集合，集合且，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
8．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0,1或－1
9．已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（
）
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
二、填空题
1．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
2．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a＝________.
3.
已知集合A＝{－2,3,4m－4}，B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.
4．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当B?A
时，则实数m的取值范围为________．
5．(2019·浙江四校高一联考)已知M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|x2＋ax＋1＝0，a∈R}，且N?M，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
1．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，且B?A.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．
2．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，求：
(1)使A＝{2,3,4}成立的x的值；
(2)使2∈B，B?A成立的a，x的值；
(3)使B＝C成立的a，x的值．
3．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．集合的基本关系：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例1：已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( B )
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
答案：B由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，
则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
例2：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A?B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
【答案】若A?B，则由题意可知解得3≤m≤4.即m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
变式1.把本例条件“A?B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．
【答案】由A＝B可知无解，即不存在m使得A＝B.
变式2．把本例条件“A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B?A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．
【答案】 ①若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?A.
②若B≠?，则解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是{m|m≤3}．
一、选择题
1．已知集合，且，则等于（
C
）
A．-1
B．
C．
D．或-1
2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，所以M中的元素有：5,6,7,8，共4个．故选B.
3．已知M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( B )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
解析：选B 因为M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{(2,2)，(5,0)}，所以M为有限集．
N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}中有无限多个点满足4x－3y＝1，故N为无限集．
4．下列集合中，是空集的是（
B
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】对于A选项，，不是空集，对于B选项，没有实数根，故为空集，
对于C选项，显然不是空集，对于D选项，集合为，故不是空集．
5．函数f(x)＝＋的定义域是( C )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1,1)∪(1，＋∞)
D．R
【答案】C [由得x≥－1且x≠1，即定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．]
6．设集合，集合且，则（
C
）
A．
B．
C．
D．
7．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有( D )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
8．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
9．已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（
C
）
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
二、填空题
1．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案：M＝P
解析：因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.
2．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a＝________.
答案：1或－解析：由集合A的子集有且仅有两个知A中只有一个元素，若a－1＝0，则A＝，符合题意；
若a－1≠0，由题意得得a＝－.∴a的值为1或－.
已知集合A＝{－2,3,4m－4}，B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.
答案：2解析：依题意可得m2＝4m－4，即(m－2)2＝0，∴m＝2.当m＝2时，A＝{－2,3,4}，B＝{3,4}，∴B?A.
4．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当B?A
时，则实数m的取值范围为________．
答案：m≥8解析：集合A在数轴上表示如图．
要使B?A，则集合B中的元素必须都是A中的元素．即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，即x<－知，－≤－2，即m≥8，故实数m的取值范围是m≥8.
5．(2019·浙江四校高一联考)已知M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|x2＋ax＋1＝0，a∈R}，且N?M，则实数a的取值范围是________．
答案：－2＜a≤2解析：M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{3，－1}．
①当N＝?时，N?M成立，∴Δ＝a2－4<0，∴－2
②当N≠?时，∵N?M，∴3∈N或－1∈N.
当3∈N时，32＋3a＋1＝0，即a＝－，此时方程为x2－x＋1＝0，解得N＝，不满足N?M；
当－1∈N时，(－1)2－a＋1＝0，即a＝2，此时方程为x2＋2x＋1＝0，解得N＝{－1}，满足N?M.
故实数a的取值范围是－2＜a≤2.
三、解答题
1．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，且B?A.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．
解：(1)若B＝?，则m－1>2m＋1，得m<－2；若B≠?，由题意得得0≤m≤.
综上得m的取值范围是m<－2或0≤m≤.
(2)当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．
2．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，求：
(1)使A＝{2,3,4}成立的x的值；
(2)使2∈B，B?A成立的a，x的值；
(3)使B＝C成立的a，x的值．
解：(1)由题意，知x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3.
(2)因为2∈B，B?A，所以所以或
(3)因为B＝C，所以解得或
3．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足题意；当m＋1≤2m－1.即m≥2时，要使B?A成立，
则有m＋1≥－2且2m－1≤5，可得－3≤m≤3，即2≤m≤3.综上可知，当m≤3时，B?A.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．
(3)因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足题意；当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有或解得m＞4.
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立．