黑龙江省哈尔滨市市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

绝密★启用前 试卷类型：A卷
哈尔滨市市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数 学 试 题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷上作答无效。
2.请将选择题答案填涂在机读卡上，非选择题答案填写在第II卷答题纸上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共23题, 全卷满分150分。考试用时120分钟。
第I卷（选择题，共70分）
一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数false满足false，则false的虚部为（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法
3.平面向量false，false，false，则向量false、false夹角的余弦值为（ ）
A. false B. false C. false D. false
4723765-1123954.如图是一个由正四棱锥P﹣A1B1C1D1和正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB1为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P到正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面的最小距离是（ ）
A. false B. false C. false D. false
5.已知在锐角三角形false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，则
false的取值范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.已知平面false、平面false、平面false、直线false以及直线false，则下列命题说法错误的是（ ）
A. 若false，则false B. 若false，则false
C. 若false，则false D. 若false，则false
7.平行四边形false中，false，false，false，false为false中点，点false在对角线false
1上，且false，若false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，false，false，false，则异面直线A1B与
B1C所成角的余弦值为（ ）
A. false B. false C. false D. false
9.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.
1现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被
1分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执
1勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ）
A. false B. false C. false D. false
43307003302010.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公
1元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以false
为直径构造半圆false，false为弧false的中点，false为线段false的中点，
再以false为直径构造半圆false，则由曲线false和曲线false所围成
的图形为月牙形，在图形false内任取一点，则该点在月牙形内
的概率为（ ）
A. false B. false C. false D. false
11.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为false，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α和β所
1成的角都是false，则这样的直线有且仅有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
12.在锐角false中，角false的对边分别为false，false的面积为false，若false，
11则false的最小值为（ ）
A. false B. 2 C. 1 D. false
13.false的展开式中，false项的系数为-10，则实数a的值为（　　）
A. false B. 2 C. －2 D. false
14.已知在R上的函数false满足如下条件：①函数false的图象关于false轴对称；②对于任意false，
false；③当false时，false；④函数false，false，
若过点(－1,0)的直线false与函数false的图象在false上恰有8个交点，在直线false斜率false的取
值范围是（ ）
false B. false C. false D. false

第II卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
15.若向量false，false，false，则向量false与false的夹角等于_________.
16.false的展开式中false的系数为________.（用数字作答）
17.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖
臑ABCD中，false平面BCD，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线false与false
所成的角的余弦值为______.
18.已知函数false，false，且false，则关于false的方程false实根个数的判断正确的是_________.
①当false时，方程false没有相异实根
②当false或false时，方程false有1个相异实根
③当false时，方程false有2个相异实根
④当false或false或false时，方程false有4个相异实根
三、解答题：共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19.（本题满分12分）
在①false，②false，③false这三个条件中
任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若______.
（1）求角B；
（2）若false，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
20.（本题满分12分）
355600016510在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业
加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障
抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.
我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管
理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产
的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：false，false，false，
false，false，得到如下频率分布直方图.
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口
1罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个
1口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加
1A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由falsefalse个该型号口罩构成.假
1定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为false，false，记甲、乙两人抢购
1成功的订单总数量、口罩总数量分别为false，false.
①求false的分布列及数学期望false；
②求当false的数学期望false取最大值时正整数n的值.
406400021018521.（本题满分12分）
如图，三棱锥false中，侧面false是边长为2的正三角
形，false，平面false平面false，把平面false沿
false旋转至平面false的位置，记点A旋转后对应的点为P（不
在平面false内），false、false分别是false、false的中点.
（1）求证：false；
（2）求三棱锥false的体积的最大值.
22.（本题满分12分）
（1）已知false的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求false的值.
（2）记false，false，
①求false；
②设false，求和：false.
23.（本题满分12分）
设false，b为常数，false，函数false，
（1）设false，
①已知false，求函数f(x)的所有极值的和；
②已知false，false，函数f(x)在区间[0,1]上恒为非负数，求实数a的最大值；并判断a取
最大值时函数false在R上的零点的个数；
（2）求证：无论false如何变化，只要函数false同时存在极大值和极小值，那么所有这些极值的和
1就是与false无关的常数.
绝密★启用前 试卷类型A
哈尔滨市市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷参考答案及评分标准
评分说明：
本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
B
C
D
A
B
C
D
D
A
题号
13
14
答案
B
A
填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。
15.false 16.－420 17.false 18.①②
三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.（1）选①，由正弦定理得false，∵false，∴false，即false，∵false，∴false，∴false，∴false.
选②，∵false，false，由正弦定理可得false，∵false，∴false，∵false，∴false.
选③，∵false，由已知结合正弦定理可得false，
∴false，∴false，∵false，∴false.
（2）∵false，即false，
∴false，解得false，当且仅当false时取等号，
∴false，△ABC周长的最小值为6，此时△ABC的面积false.
20.（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，所以恰好取到一级口罩个数为2的概率false．
（2）①由题知，X的可能取值为0，1，2，
false；
false；
false．所以X的分布列为
false
0
1
2
false
false
false
false
falsefalse．
②因为false，所以false．令false，设false，则false，因为false
所以当false时，false，所以false在区间false上单调递增；当false时，false，所以false在区间false上单调递减；所以当false即false时false取最大值，所以false．所以false取最大值时，n的值为6．
21.（1）如图，连接false、false，因为false，false是false的中点，所以false，
又平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
所以false平面false，false平面false，所以false．因为false为边长为2的正三角形，所以false，又false，所以由勾股定理可得false，
又false，false，false，
false，则false，false，所以false为直角三角形，且false，又false、false分别是false、false的中点，所以false，所以false；
（2）如图，连接false、false，
因为三棱锥false与三棱锥false为同一个三棱锥，且false的面积为定值，
所以当三棱锥false的体积最大时，则平面false平面false，
false，则false，false为false的中点，则false，
false平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
false平面false，此时点false到平面false的距离为false，
在false中，因为false，false，所以false，
所以false的最大值为false，
所以三棱锥false的体积的最大值为false．
22.（1）∵false的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，
∴false，即false，解得false.
（2）①由题意false，令false，得false；
②由题意false，又false，
∴false，∴false
false，
∴false
false
false
false.
23.解：（1）①因为false，所以false，所以false，
由false得false或false；同理，由false得false．
所以函数false的单调性如下表：
x
false
false
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
↗
极大
↘
极小
↗
所以false
false，
②false时，函数false，false在区间false上恒为非负数，即false，
因为false，所以，
（i）当false时，false，所以false在false上单调递减，
所以false，解得false，这与false矛盾；
（ii）当false时，因为false，所以false在区间false上递减，在区间false上递增，所以false，false，因为false，所以false，所以false．综上所述，a的最大值为false．
当false时，false，解不等式false得false或false，所以false在区间false和false上单调递增，同理在区间false上单调递减，所以false，false，
所以false在R上恰有两个零点．
（2）证明：因为false，
（i）当false且n为奇数时，false为偶数，所以false在R上恒成立，函数false在R上单调递增，不存在极值；
（ii）当false且n为偶数时，false为奇数，由false得false，由false得false，函数false的单调性如下表：
x
false
false
false
false
+
0
-
false
↘
极小
↗
由上表可知，函数false仅存在极小值，不合题意；
（iii）当false且n为偶数时，false为正奇数，由false得false，由false得false，函数false的单调性如下表：
x
false
false
false
false
+
0
-
false
↘
极小
↗
由上表可知，函数false仅存在极小值，不合题意；
（iv）当false且n为奇数时，false正偶数，由false得false或false，由false得false，函数函数false的单调性如下表：
x
false
false
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
↗
极大
↘
极小
↗
由上表可知，函数false在区间false和false上单调递增，同理false在区间false上单调递减，因此，false时，函数false取得极大值M，false时，false取得极小值N．因为
false，所以false，证毕．
附：
4.【分析】设正四棱锥的高为false，false，由条件可得false，然后该组合体的体积为false，然后利用导数求出当false时体积取得最大值，此时false，然后算出正四棱柱false外接球的半径，然后点false到正四棱柱false外接球表面的最小距离为点false到球心的距离减去半径，即可得到答案.
3702050114300【详解】设正四棱锥的高为false，false，由正四棱锥的侧棱长为6可得false，
该组合体的体积为false，
令false，则false，
所以可得false在false上单调递增，在false上单调递减，
所以当false时false取得最大值，即该组合体的体积最大,
此时false,所以正四棱柱false的外接球半径为:
false,点false到正四棱柱false外接球表面的最小距离为点false到球心的距离减去半径，即false,故选：B
【点睛】本题考查的知识点有：几何体的体积公式，利用导数解决最值问题，几何体的外接球问题，属于较难题.
5.【解析】由false及余弦定理，可得false正弦定理边化角，得falsefalsefalsefalsefalse是锐角三角形，false，即false．
false，false，那么：false
则false，false故选：false
10.【解析】记月牙形的面积为false，曲线false与弦false围城的弓形面积为false，
设false，则false,
则false.
所以图形false的面积为false,所以false， 故选：D
11.【解析】如图，过false作false的垂线false,其确定的平面与棱false交于false，若二面角为false，false与平面false成false角，则false ，false与false成false角，因此问题转化为过false点与直线false所成角为false的直线有几条.
false,所以这样的直线有4条. 故选：D
12.【解析】因为false，即false，所以false，因为false，所以false，由余弦定理false，可得false，
再由正弦定理得false，因为false，所以false，所以false或false，得false或false（舍去）.因为false是锐角三角形，
所以false，得false，即false，所以false，
当且仅当false，取等号. 故选:A
14.【分析】先由条件①②，得到函数false是周期为false的周期函数；根据③求出函数false在一个周期false上的表达式为false，根据④得到false的周期为false，其图象可由false的图象压缩为原来的false得到，作出false的图象，结合图象，即可求出结果.
【详解】因为函数false是偶函数，由false
得false，即false，所以函数false是周期为false的周期函数；若false，则false；因为当false时，false，所以false时，false，因为函数false是偶函数，所以false，即false，false，则函数false在一个周期false上的表达式为false，
因为false，false，所以函数false，false，
故false的周期为false，其图象可由false的图象压缩为原来的false得到，作出false的图象如图：
易知过false的直线false斜率存在，设过点false的直线false的方程为false，
则要使直线false与false的图象在false上恰有8个交点，则false，
因为false，所以false，故false.故选：A.
【点睛】求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到false的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.
18.【分析】先依据题意求出false的解析式，然后将复合函数进行分解，令false，则false，求解出false，再研究false即可．
【详解】当false时，false，因为false（1）false，所以false，所以false，
所以false，图象如图所示：当false时，false，false，
则false，当且仅当false时等号成立，false，
所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减；当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增，故false恒成立．
故false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增．令false，则false，解得：false或false，当false即false时，false，
当false时，false，无解，当false即false时，false，当false时，false，无解，故方程false没有相异实根，故①正确；当false时，由false可知：false，解得false，当false时，false，false，由上可知false在false时取得极大值为false，结合图象可知，此时false与false有且仅有一个交点，故②正确；当false时，false或false，若false，结合图象可知false与false有三个不同的交点，若false，false，此时false与false有一个交点，
故方程false有4个相异实根，故③错误；当false时，false，false，由③可知此时有三个不等实根，当false时，false或false，当false时，由图可知有两个不等实根，当false时，由图可知有一个实根，当false时，false或false，当false时，由图可知有两个不等实根，当false时，由图可知有一个实根，故此时方程false共有9个不等实根，故④错误．
故答案为：①②．