浙江省宁波市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

1117600012433300宁波市2020学年第二学期期末试题
高一数学试卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数false（false为虚数单位），则false（ ）．
D．false B．false C．false D．false
2．已知false中，false，且false，则false周长为（ ）．
A．false B．false C．false D．4
3．如图，水平放置的矩形false，false，false，则其直观图的面积为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
4．已知向量false，false，则向量false在向量false上的投影向量为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
5．给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）．
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行．
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
6．在三棱锥false中，已知false平面false，false，false，false，false，则三棱锥false的外接球的体积为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
7．已知在false中，false，false分别是false，false上的点，false，false，若false（false，false为实数），则false的值为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
8．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为false小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为false．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（ ）．
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为false，false，则false
B．若甲、乙两组数据的方差分别为false，false，则false
C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
10．对任意向量false，false，false，下列关系式中恒成立的是（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
11．已知复数false（false为虚数单位），复数false满足false，则下列结论正确的是（ ）．
A．false在复平面内所对的点在第四象限 B．false在复平面内对应的点在第一象限
C．false的最大值为false D．false的最小值为false
12．已知false，false，false是三个不同平面，false，false，false为三条不同直线，且false，false，false，则（ ）．
A．false，false，false可以把空间最多分成7部分
B．若false，则false，false，false交于一点false
C．若false，则false，false
D．若false，false，false，则false，false，false
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量false，false，则false______．
14．如图，三棱台false的上、下底边长之比为false，记三棱锥false体积为false，三棱台false的体积为false，则false______．
15．已知false，false，false，则false的最大值为______．
16．已知false为false内一点，false，则false，false的面积之比为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（Ⅰ）在复数范围内解方程：false；
（Ⅱ）如图，在矩形false中，false，false，false为false中点，点false在边false上，若false，求false的值．
18．（本小题满分12分）
某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在false、false、false、false四个位置建四座观景台，在凸四边形false中，false千米，false千米．
（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）现要在false、false两处连接一根水下直管道，已知false，问最少应准备多少千米管道．
19．（本小题满分12分，用坐标法不给分）
已知三棱锥false，false平面false，false是以false为斜边的等腰直角三角形，false是以false为斜边的直角三角形，false为false上一点，false为false上一点，且false．
（Ⅰ）现给出两个条件：①false；②false为false中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：false平面false；
（Ⅱ）若false平面false，直线false与平面false所成角和直线false与平面false所成角相等，且false，求三棱锥false的体积．
20．（本小题满分12分）
首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段false，false，false，false，false分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求出图中false的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
21．（本小题满分12分）
在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且满足false．
（Ⅰ）求角false；
（Ⅱ）若false，点false为线段false的中点，false，求false，false．
22．（本小题满分12分，用坐标法不给分）
如图，在四棱锥false中，底面false为正方形，平面false平面false，点false在线段false上，false平面false，false．
（Ⅰ）判断false点在false的位置并说明理由；
（Ⅱ）记直线false与平面false的交点为false，求false的值；
（Ⅲ）若异面直线false与false所成角的余弦值为false，求二面角false的平面角的正切值．
宁波市2020学年第二学期期末试题
高一数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
A
C
B
D
D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
题号
9
10
11
12
答案
AD
ACD
AC
BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1 14．false 15．false
16．false
【提示】由false，得false，
取false为false中点，false为false中点，则false，
所以false．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题意得false，
所以false，因此方程的根为false或false．
（说明：用实系数一元二次方程的求根公式同样给分）
（Ⅱ）以false为坐标原点，false所在直线为false轴，false所在直线为false轴建立平面直角坐标系，如图．
则false，false，false，false．
设false，由false得false，
所以false．
18．（本小题满分12分）
解：（1）由余弦定理：
false，
得false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得false，求得false，
所以false为正三角形，false，false．
在false中，false．
所以false．
在false中，false．
所以false（说明：false不扣分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）若选①false
证明：∵false平面false，false平面false，∴false，
又false，false，∴false平面false．
又false平面false，∴false．
又false，false，∴false平面false．
又false平面false，∴false．
又false，false，∴false平面false．
若选②false为false中点
证明：∵false平面false，false平面false，∴false．
又false，false，∴false平面false．
又false平面false，∴false．
又false，false，∴false平面false．
又false平面false，∴false．
又false为等腰直角三角形false斜边false中点，
则false，false，
∴false平面false．
（Ⅱ）由false平面false，false平面false可知，
false与false分别为false与平面false及false与平面false所成线面角，
所以false，
又false，false，所以false．
求得false，所以false．
20．（本小题满分12分）
解：（1由false得false．
则及格率为：false％．
（Ⅱ）得分在110以下的学生所在比例为false，
得分在130以下的学生所占比例为false,
所以第80百分位数位于false内，
由false，估计第80百分位数为120．
（Ⅲ）由图可得，众数估计值为100．
平均数估计值为false．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：
由false得false，
所以false，
所以false，
即false消去false得false，
所以false．
解法二：
由余弦定理得false，
整理得false，所以false，
即false，所以false．
（Ⅱ）解法一：
由正弦定理，在false，false，
在false中，false，得false．
又false，所以false，即false．
又false，解得false，false．
解法二：
因为false，所以false，
false，所以false，
又false，所以false，false．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连结false交false于false，连结false，
因为false平面false，false平面false，平面false平面false，
则false．
因为false为false中点，所以false为false中点．
（Ⅱ）如图，连结false，则false，false为false重心，
所以false．
（Ⅲ）取false中点false，连结false，false，
取false中点false，连结false，false，可知false．
取false中点false，连结false，false，可知false，
所以false或其补角就是异面直线false与false所成角，如图．
因为平面false平面false，false平面false平面false，false．
所以false平面false，因此false上平面false．
令false，false，可计算得：
false，false，false，false，false，
所以，false，
解得false，解得false，false，即false，false．
过false作false交false于false，连结false．
易证false平面false，∴false，
所以false就是所求二面角的平面角，如图．
所以，false或false．