2.5.1 直线与圆的位置关系 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含解析

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2.5.1
直线与圆的位置关系
一．知识梳理
直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.
每日一练
一、单选题
1．不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．己知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（
）
A．
B．
C．或
D．或
4．已知直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（
）
A．-8
B．-6
C．-5
D．-4
5．“”是“直线与圆相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．过点作圆的切线，切线的方程为（
）
A．
B．
C．或
D．或
8．直线与圆的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
二、多选题
9．设直线与圆，则下列结论正确的为（
）
A．与可能相离
B．不可能将的周长平分
C．当时，被截得的弦长为
D．被截得的最短弦长为
10．已知点在圆上，点、，则（
）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
11．已知直线与圆，则下列说法中正确的是（
）
A．直线l与圆M一定相交
B．若，则直线l与圆M相切
C．当时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
12．已知直线：和圆：，则（
）
A．存在使得直线与直线：垂直
B．直线恒过定点
C．若，则直线与圆相交
D．若，则直线被圆截得的弦长的取值范围为
三、填空题
13．直线被圆截得的弦长最小值是___________.
14．直线与圆分别交于两点，其中为原点，，若，则___________.
15．已知圆：()，直线：与直线垂直，则直线与圆的位置关系为___________.
16．已知两条直线：，：与圆：交于，，，四点且构成正方形，则的值为______．
四、解答题
17．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2），是三个军事基地，为一个军事要塞.已知km，到的距离分别为km，km.
（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞20km处有一城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半径为(为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以km/h的速度自基地开往基地，问实数在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.
18．已知圆经过两点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求的值.
19．已知圆C过点，，，点A在直线上.
（1）圆C的方程.
（2）过点A作直线l1，l2与圆C相切，切点分别为M，N，若，求点A的坐标.
20．已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程.
21．已知圆，直线．
（1）求直线过的定点坐标．
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程．
22．已知圆C经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，
（1）求圆C的方程；
（2）求过点且与圆C相切的直线方程．
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参考答案
1．A曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；圆心到直线的距离，，
解得：或，又不经过坐标原点，，即，
与坐标轴的交点坐标为，，直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，所求外接圆方程为，即.
2．A，即，圆心坐标，半径，因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即，则圆心到直线的距离，故，
3．D圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.
4．D圆化为，故该圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，则弦长为，解得.
5．B由直线与圆相交，得圆心到直线的距离为，解得，而由集合的关系可知，是直线与圆相交的必要不充分条件.
6．A直线被圆截得的弦长为4，圆的半径为
,圆心为
直线过圆心，故
，即
，，
当且仅当
，即
时等号成立，最小值为9.
7．D解：圆的圆心为，半径，过点作圆的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，故切线方程为，综上可得切线方程为或
8．B解：直线，即，由得，所以直线恒过定点，因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，
9．BD对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误；
对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确；
对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
所以，直线被截得的弦长为，C选项错误；对于D选项，圆心到直线的距离为，所以，直线被截得的弦长为，D选项正确.
10．ACD圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
11．BCD
，即，是以为圆心，以1为半径的圆，A.因为直线，直线l过原点，，原点在圆外所以直线l与圆M不一定相交，故错误；B.若，则直线，直线l与圆M相切，故正确；C.当时，直线l的方程为，过圆M的圆心，故正确；
D.由点到直线距高公式，知(当时，等号成立).故正确，
12．AC解：A：当时，直线：，即，斜率为，与直线：垂直，故A正确；B：直线：，恒过，故B不正确；C：圆心到直线的距离为，，则，若，则直线与圆相交，故C正确；D：，则直线被圆截得的弦长，
，，则，所以弦长.故D不正确；
13．因为直线经过定点，定点在圆内，所以圆心到直线的最大距离为，所以，所求弦长的最小值为
14．由圆方程知其圆心坐标为，半径，圆心到直线距离，，解得：，，，.
15．相离可化为，所以，圆的半径，因为直线：与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，又，所以圆心到直线的距离.因为，所以，所以直线与圆的位置关系是相离，
16．由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，
∴正方形的边长等于直线、的距离，则，若圆的半径为r，由正方形的性质知：，∴，即有.
17．（1）；（2）
解：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得：，直线的方程为，，
由，及
解得，．直线的方程为，即，由
得
即，，即基地的长为．
（2）设爆炸产生的爆炸波圆，由题意可得，生成小时时，卡车在线段上的点处，则，，．爆炸波不会波及卡车的通行即对恒成立．，即当
时，上式恒成立，当时即，，令，，当且仅当，即时等号成立，所以，在时
恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行．
18．（1）；（2）.
（1）因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率，因此直线的垂直平分线的方程是：，即.圆心的坐标是方程组的解.解此方程组，得，所以圆心的坐标是，圆心为的圆的半径长为，
所以，圆心为的圆的标准方程是.
（2）设，，联立直线与圆的方程，得
消元得，因为直线与圆相交，所以，解得，
且，，所以.
因为，所以，解得或3，因为，所以，此时直线的方程为，即，
此时圆心到直线的距离，则.
19．（1）；（2）.
（1）设圆C的方程为，
则，解得，故圆C的方程.
（2）依题意，四边形MANC为正方形，正方形的边长为半径，所以，
而圆心到直线的距离，所以点.
20．（1）；（2）或.
（1）线段的中垂线方程为，由得圆心的坐标所以半径，圆的方程为
（2）设直线的方程为
到的距离为，
即解得或，故直线的方程为或
21．（1）定点坐标为（3，1）；（2）．
（1）将直线的方程变形为：由，解得即定点为
（2）由可知，点在圆内部圆心，则根据圆的对称性可知，当点为直线与圆相交弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短
即，即
故直线的方程为，即
22．（1）；（2）或
解：（1）由题意设圆，令，得，则，令，得，则，
两坐标轴上的四个截距之和是2，且圆过两点，
将，代入方程得，解得：，，．
故得圆．
（2）由（1）得圆，即，圆心，半径，
过作圆的切线，显然切线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或
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