3.1.1 椭圆及其标准方程 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含解析

3.1.1
椭圆及其标准方程
一．知识梳理
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的轨迹为椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
[注意]　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在
点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?＋＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?＋＞1.
每日一练
一、单选题
1．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
2．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则（
）
A．1
B．
C．
D．
3．椭圆的焦点为?，上顶点为，若，则（
）
A．
B．2
C．
D．3
4．以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，“”是“方程表示椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知两定点?，动点满足，则点的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．
D．
7．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（
）
A．
B．或
C．
D．或
二、多选题
9．方程“”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（
）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
11．已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（
）
A．
B．存在点满足
C．直线与直线的斜率之积为
D．若△的面积为，则点的横坐标为
三、填空题
13．已知椭圆C：(3>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，△OF1A的面积为2，则___________.
14．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．
15．已知，是椭圆的左?右焦点，点P在C上，则的周长为___________.
16．椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍
四、解答题
17．已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.
（1）求椭圆C的方程；
18．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
19．已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
20．椭圆的左、右焦点分别为、，焦点、和原点将椭圆的长轴恰好四等分，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
21．已知椭圆的左?右焦点分别为，，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
22．已知椭圆：的左?右顶点分别为和，点是椭圆上与?不重合的动点，且?的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
参考答案
1．C由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．
2．A设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，即，解得，
所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以.
3．C由条件可知是等边三角形，即，，，，即，且，解得：,
4．C解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即，则，，.则椭圆的标准方程为：.
5．B解：若方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
6．D，
，
，
7．B∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为，
由题意可得，∴，即，
∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴，
故椭圆方程为．
8．D因椭圆中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则，，，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：．
9．CD解：由已知把椭圆的方程化为标准方程为：，即，因为椭圆的焦点在y轴上，则，解得，
故焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是C，D，
10．AB由椭圆的方程可得
的周长为，故A正确当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确当时，由余弦定理可得所以，所以，可得所以的面积为，故C错误设，则由可得，从而可得解得，不成立，故D错误
11．ACD∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
12．CD由椭圆方程知：，A：，错误；
B：当在椭圆上下顶点时，，即最大值小于，错误；C：若，则，，有，而，所以，即有，正确；
D：若，△的面积为，即，故，代入椭圆方程得，正确；
13．或因为|OF1|=|OA|，所以,所以△OF1A的面积，
所以，由椭圆的定义可得，所以或，
设，则，当时，由勾股定理得,
即，解得；当时，由勾股定理得，解得；
综上，或.
14．（答案不唯一）不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为因为长轴长等于离心率8倍，故，即
不妨令，则，所以满足条件的一个椭圆方程为.
15．10由椭圆方程知，，在椭圆上，所以．
16．5由题得，由题得轴，当时，，所以,
所以,所以是的5倍..
17．（1）；（1）由P到坐标原点的距离的最值之比为，得，所以.
由P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2，得，所以.
又，所以.所以椭圆C的方程为.
18．（1）；解：（1），则，则动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，可知，，，∴轨迹的方程为；
19．（1）；
解析（1）由题意可得双曲线的焦点为，故，
，由此可得，故，
所以椭圆的标准方程为
20．（1）；
（1）设椭圆的焦点距为，由焦点，和原点将椭圆长轴四等份点有，可得椭圆方程为代入点的坐标有，可得故椭圆的标准方程为.
21．（1）；（1）解：由椭圆定义知：，
所以，又，
∴，因此椭圆方程为.
22．（1）；解：（1）设，则，
所以，因为，所以，所以椭圆的方程为.