3.1.2 椭圆的简单几何性质 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含答案解析
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含答案解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 895.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-05 11:43:19 | ||
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文档简介
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3.1.2
椭圆的简单几何性质
一．知识梳理
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
每日一练
一、单选题
1．已知椭圆，以原点为圆心的圆（圆的半径小于）的面积为，且经过椭圆的焦点，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，若，两点间的距离的最小值为，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕?着陆?巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆：，过椭圆左顶点，且斜率为的直线交椭圆于另外一点，椭圆右焦点为，轴，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆：.则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（
）
A．
B．4
C．
D．8
6．已知椭圆的左?右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．椭圆的离心率为则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知点，和在椭圆：上，则（
）
A．的焦点为
B．的离心率为
C．直线的斜率小于1
D．的面积最大值为3
10．2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米?远火点n千米，火星半径为r千米，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（
）
A．
B．
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长
D．
11．已知F为椭圆的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（
）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)?(-2,0)
B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为
D．
三、填空题
13．已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．
14．已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______.
15．设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么___________.
16．椭圆的焦点坐标为_________．
四、解答题
17．已知椭圆，为椭圆的左?右焦点，为椭圆的上顶点，椭圆的焦距为，的内切圆半径为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的面积满足，求直线的方程.
18．已知椭圆的离心率为，椭圆过点
（1）求椭圆的标准方程:
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，判断的面积是否为定值，并给出理由.
19．如图所示，已知椭圆：的离心率为，且过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于两点，，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．
20．已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．
21．已知椭圆C：的离心率为，且C经过点．
（1）求C的方程；
（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若的面积为，求l的斜率．
22．椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，当是的中点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆在点、处的切线交于点，为坐标原点，求证：直线平分线段．
附：椭圆上一点处的切线方程为．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
参考答案
1．A设椭圆的左焦点为，圆的半径为，则，解得：，
圆经过椭圆的焦点，．又，两点间的距离的最小值为，且，，即，，解得：，椭圆的离心率．
2．A设椭圆的方程为()，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，根据题意可得近火点满足，，解得，，所以椭圆的离心率为，
3．A解：因为轴，则点的横坐标为，且点在椭圆上，代入椭圆方程，解得点坐标，又椭圆左顶点坐标为，直线斜率为，所以有，即，代入可得，即
解得（舍）或，则离心率为.
4．C解：椭圆方程为：，则椭圆的长半轴长为，又短半轴长为，则离心率为，，则.
5．C由题意知，所以，又因为，所以，
所以椭圆的长轴长为.
6．B由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
7．A由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，在中，，，所以.
8．C由椭圆方程可知，，所以，椭圆的离心率.
9．BCD解：将，的坐标代入椭圆的方程得且，得，，所以椭圆的方程为，其焦点为，故A错误．离心率为，故B项正确．
根据题意，可知点在曲线段之间，因为直线的斜率为1，所以直线的斜率小于1，故C项正确．
由于直线的斜率为，所以设与平行且与椭圆相切的直线为，将其代入椭圆方程整理得，由得或，当时，切点为不合题意，舍去，当时，切点为，即当取时，的面积最大，因为直线为，所以直线与切线间的距离为，所以的面积最大值为，故D项正确．
10．BC
11．BCD由题意，已知F为椭圆的一个焦点，其中为该椭圆的两个顶点，且，当为左右两个顶点时，可得，解得，所以，此时椭圆的方程为；
当为椭圆短轴的顶点，为长轴的顶点时，可得
解得，则，此时椭圆的方程为；
当为椭圆长轴的顶点，为短轴的顶点时，可得，
解得，则，此时椭圆的方程为.
12．BCDA：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
13．设，因为在椭圆上，所以，
所以，所以，因为线段的中点坐标为，，所以，，且，
所以，所以且，所以，
14．根据题意，把代入中，得，不妨设，且，则到直线的距离为，由，得，
则，平方计算得.
15．根据题意，直线过原点，由椭圆的对称性可知，，如图所示，已知，所以四边形是平行四边形，则，由椭圆的定义可知，，，所以.
16．根据椭圆方程，可得，，所以，
所以，所以焦点坐标为，
17．（1）；（2）直线或.
（1）由题意得：，解得：，
椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知：，由题意知：直线斜率不为零，
设直线，，，
由得：，
，，
，，
即，即，
，即，
整理可得，，
化简得：，，直线方程为：或.
18．（1）；（2）是定值，答案见解析.
（1）由题意得，解得，则椭圆的标准方程:
（2）设、，由题意得直线、的斜率存在，
设直线的方程为，设直线的方程为，
由得，显然，
，解得，即，
由得，显然，
解得，即，易得，
直线的方程为，所以点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值1.
19．（1）；（2）．
解：（1）由离心率，得（
），由于点在椭圆上，故（
），联立（
）（
）得，，所以椭圆的方程为．
（2）由直线过点，可设：，
它与椭圆的方程联立得，设，，则，①因为直线平分，所以，
即，整理得，
将①代入上式并化简得，所以，所以，
所以，
所以四边形的面积．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析，定点坐标.
（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为；
（2）因为，设，
所以，所以；
（3）设，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以直线过定点.
21．（1）；（2）1或．
解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆C的方程为：．
（2）由（1）可知，设直线l的方程为，
则点A到直线l的距离，联立方程，消去x得：，设，∴，，∴
∴，∴，∴，∴直线l的方程为：或，∴直线l的斜率为1或．
22．（1）；（2）证明见解析.
解：（1）当是的中点时，轴，当时，，，又，，∴，，∴椭圆的方程为．
（2）证明：设，，，
则切线方程为：，切线方程为：，
∴直线的方程为：，
又直线过点，故，即直线方程为，
①若，则在轴上，轴，由对称性可知，直线平分线段；
②若，设直线方程为，其中，，
联立直线与椭圆的方程有，消去并整理可得，，∴，，设中点为，则，
∴，∴，，三点共线，则直线平分线段；
综上：直线平分线段．
答案第1页，总2页
3.1.2
椭圆的简单几何性质
一．知识梳理
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
每日一练
一、单选题
1．已知椭圆，以原点为圆心的圆（圆的半径小于）的面积为，且经过椭圆的焦点，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，若，两点间的距离的最小值为，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕?着陆?巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆：，过椭圆左顶点，且斜率为的直线交椭圆于另外一点，椭圆右焦点为，轴，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆：.则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（
）
A．
B．4
C．
D．8
6．已知椭圆的左?右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．椭圆的离心率为则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知点，和在椭圆：上，则（
）
A．的焦点为
B．的离心率为
C．直线的斜率小于1
D．的面积最大值为3
10．2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米?远火点n千米，火星半径为r千米，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（
）
A．
B．
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长
D．
11．已知F为椭圆的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（
）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)?(-2,0)
B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为
D．
三、填空题
13．已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．
14．已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______.
15．设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么___________.
16．椭圆的焦点坐标为_________．
四、解答题
17．已知椭圆，为椭圆的左?右焦点，为椭圆的上顶点，椭圆的焦距为，的内切圆半径为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的面积满足，求直线的方程.
18．已知椭圆的离心率为，椭圆过点
（1）求椭圆的标准方程:
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，判断的面积是否为定值，并给出理由.
19．如图所示，已知椭圆：的离心率为，且过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于两点，，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．
20．已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．
21．已知椭圆C：的离心率为，且C经过点．
（1）求C的方程；
（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若的面积为，求l的斜率．
22．椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，当是的中点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆在点、处的切线交于点，为坐标原点，求证：直线平分线段．
附：椭圆上一点处的切线方程为．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
参考答案
1．A设椭圆的左焦点为，圆的半径为，则，解得：，
圆经过椭圆的焦点，．又，两点间的距离的最小值为，且，，即，，解得：，椭圆的离心率．
2．A设椭圆的方程为()，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，根据题意可得近火点满足，，解得，，所以椭圆的离心率为，
3．A解：因为轴，则点的横坐标为，且点在椭圆上，代入椭圆方程，解得点坐标，又椭圆左顶点坐标为，直线斜率为，所以有，即，代入可得，即
解得（舍）或，则离心率为.
4．C解：椭圆方程为：，则椭圆的长半轴长为，又短半轴长为，则离心率为，，则.
5．C由题意知，所以，又因为，所以，
所以椭圆的长轴长为.
6．B由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
7．A由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，在中，，，所以.
8．C由椭圆方程可知，，所以，椭圆的离心率.
9．BCD解：将，的坐标代入椭圆的方程得且，得，，所以椭圆的方程为，其焦点为，故A错误．离心率为，故B项正确．
根据题意，可知点在曲线段之间，因为直线的斜率为1，所以直线的斜率小于1，故C项正确．
由于直线的斜率为，所以设与平行且与椭圆相切的直线为，将其代入椭圆方程整理得，由得或，当时，切点为不合题意，舍去，当时，切点为，即当取时，的面积最大，因为直线为，所以直线与切线间的距离为，所以的面积最大值为，故D项正确．
10．BC
11．BCD由题意，已知F为椭圆的一个焦点，其中为该椭圆的两个顶点，且，当为左右两个顶点时，可得，解得，所以，此时椭圆的方程为；
当为椭圆短轴的顶点，为长轴的顶点时，可得
解得，则，此时椭圆的方程为；
当为椭圆长轴的顶点，为短轴的顶点时，可得，
解得，则，此时椭圆的方程为.
12．BCDA：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
13．设，因为在椭圆上，所以，
所以，所以，因为线段的中点坐标为，，所以，，且，
所以，所以且，所以，
14．根据题意，把代入中，得，不妨设，且，则到直线的距离为，由，得，
则，平方计算得.
15．根据题意，直线过原点，由椭圆的对称性可知，，如图所示，已知，所以四边形是平行四边形，则，由椭圆的定义可知，，，所以.
16．根据椭圆方程，可得，，所以，
所以，所以焦点坐标为，
17．（1）；（2）直线或.
（1）由题意得：，解得：，
椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知：，由题意知：直线斜率不为零，
设直线，，，
由得：，
，，
，，
即，即，
，即，
整理可得，，
化简得：，，直线方程为：或.
18．（1）；（2）是定值，答案见解析.
（1）由题意得，解得，则椭圆的标准方程:
（2）设、，由题意得直线、的斜率存在，
设直线的方程为，设直线的方程为，
由得，显然，
，解得，即，
由得，显然，
解得，即，易得，
直线的方程为，所以点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值1.
19．（1）；（2）．
解：（1）由离心率，得（
），由于点在椭圆上，故（
），联立（
）（
）得，，所以椭圆的方程为．
（2）由直线过点，可设：，
它与椭圆的方程联立得，设，，则，①因为直线平分，所以，
即，整理得，
将①代入上式并化简得，所以，所以，
所以，
所以四边形的面积．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析，定点坐标.
（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为；
（2）因为，设，
所以，所以；
（3）设，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以直线过定点.
21．（1）；（2）1或．
解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆C的方程为：．
（2）由（1）可知，设直线l的方程为，
则点A到直线l的距离，联立方程，消去x得：，设，∴，，∴
∴，∴，∴，∴直线l的方程为：或，∴直线l的斜率为1或．
22．（1）；（2）证明见解析.
解：（1）当是的中点时，轴，当时，，，又，，∴，，∴椭圆的方程为．
（2）证明：设，，，
则切线方程为：，切线方程为：，
∴直线的方程为：，
又直线过点，故，即直线方程为，
①若，则在轴上，轴，由对称性可知，直线平分线段；
②若，设直线方程为，其中，，
联立直线与椭圆的方程有，消去并整理可得，，∴，，设中点为，则，
∴，∴，，三点共线，则直线平分线段；
综上：直线平分线段．
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