3.2.2 双曲线的简单几何性质 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含解析

3.2.2
双曲线的简单几何性质
一．知识梳理
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
每日一练
一、单选题
1．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
4．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（
）
A．2
B．
C．
D．
5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=（
）
A．5
B．6
C．8
D．9
8．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（
）
A．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线的离心率，则
C．若，则曲线上不存在点，使得
D．若为上一个动点，则面积的最大值为
10．已知双曲线，圆.（
）
A．圆的圆心在双曲线上
B．若双曲线的焦距为4，则
C．双曲线的顶点与圆的圆心构成的三角形的面积为
D．若圆与轴和双曲线的渐近线均相切，则离心率
11．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P为C上的一点，且，则下列说法正确的是（
）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的周长为30
D．点P在椭圆上
12．已知圆锥曲线，则下列说法可能正确的有（
）
A．圆锥曲线的离心率为
B．圆锥曲线的离心率为
C．圆锥曲线的离心率为
D．圆锥曲线的离心率为
三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
14．已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为______________；
15．在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为8，___________.
16．写出一个与双曲线共渐近线的双曲线的标准方程___________.
四、解答题
17．求双曲线的顶点坐标?焦点坐标?实轴长?虚轴长?离心率和渐近线方程.
18．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点.
（1）设为坐标原点，求线段的长度；
（2）求证：平分.
19．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
20．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
21．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
参考答案
1．A解：由题意可得：设所求双曲线为，把点，解得，所求的双曲线方程为，即．
2．D设，由题知：，解得：，因为四边形是正方形，所以，解得.又因为，所以，解得，所以.
3．C由得，所以圆心，半径，
双曲线：的一条渐近线为，由题意得圆心到渐近线的距离，所以，所以，所以.
4．C由题离心率，即，又，则，即，
则渐近线方程为，则点到双曲线C的渐近线的距离为.
5．D由双曲线的定义可得，∵，∴，即，
则的离心率为．
6．A解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为，
由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，设双曲线C的方程为，则有，其渐近线方程为，即，又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以，所以双曲线C的方程为，
7．A由双曲线(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，可得
可得，解得.
8．A根据双曲线标准方程，知：，，∵双曲线的离心率为，
∴，而，∴，所以其渐近线方程为.
9．ABD对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；
对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；
对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.
10．BD圆的圆心为，代入双曲线方程得，因不能判断与1的关系，从而不能判断圆的圆心是否在双曲线上，故A错误；若双曲线的焦距为4，则，，由基本不等式的性质知，故B正确；双曲线的顶点为与构成的三角形面积为，故C错误；圆的圆心为，半径为，若与轴相切，则，此时圆在第一象限，则与双曲线的渐近线相切，即，解得，则，离心率，故D正确；.
11．BCD双曲线标准方程为，，则，离心率为，A错；渐近线方程为，即，B正确；，在左支上，，的周长为30，C正确；，因此在椭圆（此椭圆是以为焦点，长轴长为20的椭圆）上，D正确．
12．BC当时，，圆锥曲线是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故C符合题意；当时，，圆锥曲线是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故B符合题意；
当时，圆锥曲线是焦点在轴上的双曲线，其离心率，故C符合题意.
13．4由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距
14．易知双曲线的焦点在轴上，且，，所以双曲线的渐近线方程为，即.
15．3.由双曲线可得：，解得：m=3.
16．(答案不唯一)与双曲线共渐近线的双曲线为，即，所以可以填.
17．双曲线方程可化为：，则双曲线焦点在轴上，，，；，，，顶点坐标为；焦点坐标为；实轴长为；虚轴长为；离心率；渐近线方程为.
18．（1）；（2）证明见解析.
（1）不妨设在第二象限，则渐近线的方程为，则直线的方程为，由得：，，，
；
（2）证明：设直线的倾斜角为，则，，
又，直线的斜率为，则直线的方程为，由得：，，，又，直线的斜率为，故平分.
.19．（1）；（2）存在；.
解：（1）由椭圆：得到：，双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.则双曲线的方程．
（2）若存在定值，使得，∵与同向，∴，
∵，设：，由消去整理得：，∴，由交左右两支于、两点，
有，即，则，
，
由于，可设：，由消去整理得：，∴，
由此，
∴，故存在定值，使得．
（1）；（2）.
（1）双曲线与双曲线1有相同焦点，可设所求双曲线方程为：，双曲线过点，，解得：或（舍），所求双曲线方程为.
（2）椭圆方程可化为:，，即，，，，
，解得：.
21．（1）（2）
（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得
,解得，，故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，
所以直线的方程为，即