3.2.1 双曲线及其标准方程 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含解析

3.2.1
双曲线及其标准方程
一．知识梳理
双曲线的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
[注意]　(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
每日一练
一、单选题
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（
）
A．16
B．24
C．36
D．40
2．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（
）
A．
B．
C．
D．
3．“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
5．已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（
）
A．9
B．6
C．5
D．4
6．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．椭圆的焦点是双曲线的焦点，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
8．“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（
）
A．3
B．6
C．7
D．14
10．已知方程，则下列说法中正确的有（
）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（
）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
12．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（
）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
三、填空题
13．已知?，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.
14．已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点P到点的距离为______．
15．已知双曲线
的左、右焦点为F1、F2，
P是双曲线右支上，以PF1为直径的圆
过点F2，则双曲线方程为
_________．
16．已知方程表示双曲线，则的取值范围是_______________________．
四、解答题
17．已知双曲线：（，）的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
18．已知双曲线：的两个焦点为，一条渐近线方程为，且双曲线经过点
（1）求双曲线的方程；
19．已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.
（1）求双曲线的标准方程.
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
21．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．
（1）求双曲线的标准方程；
22．已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线．
（1）求双曲线的标准方程；
参考答案
1．C因为双曲线为，所以；由双曲线的定义得，所以，所以周长为，
2．A由方程表示双曲线，知：，∴，故它的一个必要不充分条件为.
3．A当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，可化为，因为椭圆的焦点在轴上，所以即，
故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或，
故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，
4．D由题意，从界线上的点出发，经到与经到，所走的路程是一样的，
即，所以，又由，所以，又由，根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.
5．A解：由，得，则，所以，
所以，设双曲线的右焦点为，因为到其左焦点的距离为8，所以点在双曲线的左支上，所以，所以，因为为的中点，为的中点，所以，
6．A如图，设切线的切点分别为，则，，，
，所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
7．D解：椭圆中，，所以，在双曲线中，，所以，所以，解得.
8．B若方程表示双曲线，则；若方程表示椭圆，则，且；则，且；，且；
“方程表示双曲线”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
9．AC连接，是的中位线，∴，∵，，∴或6，∴或3.
10．BCD对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
11．BD设点P的坐标为，则，所以.当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
12．ACD由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或．其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
13．6椭圆和双曲线分别化为标准方程为、，可知两曲线共焦点，设，由定义有：或.
14．17易知点是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点，又，而点P到点的距离为9，，因此在右支上．因此点P到点的距离为．
15．解：依题意可知，，
所以，，，因为，所以，又，所以所以双曲线方程为
16．解：因为方程表示双曲线，所以，即，
所以的取值范围是，
17．（1）；
解：（1）由双曲线的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，
得，解得，则双曲线的方程为．
18．（1）；（解：（1），
双曲线方程为：.
19．（1）；
（1）设双曲线的焦距为.由双曲线的离心率为2知，所以，
从而双曲线的方程可化为.令得.
设，.因为，所以，.因为，所以，于是，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
20．（1）；
（1）由题可知：
，双曲线的方程是.
21．（1）；【分析】
解：（1）由题知双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的一条渐近线与直线：垂直，∴，即．设，∴，∴．
∵，∴，∴，，故双曲线的标准方程为．
22．（1）；（1）由题意可知，因为一条渐近线方程为，所以，解得，则双曲线方程为；