3.3.1 抛物线及其标准方程 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一Word含解析

3.3.1
抛物线及其标准方程
一、知识梳理
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
二．每日一练
一、单选题
1．已知双曲线的一条渐近线为，且经过抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为（
）．
A．
B．
C．
D．
2．已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．抛物线的准线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知是抛物线的焦点，
是该抛物线上的两点，
则线段的中点到轴的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点重合，且与交于，两点，则下列说法正确的是（
）
A．双曲线的离心率
B．抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．
D．在抛物线上存在点使得为直角三角形
10．设抛物线的焦点为，则下列说法正确的是（
）
A．点在轴上
B．点的坐标为
C．设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则
D．设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则
11．(多选)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（
）
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为
C．准线方程为y=-
D．准线方程为y=-1
12．已知方程，则下面四个选项中正确的是（
）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
三、填空题
13．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点满足，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为______．
14．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为__________.
15．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为___________.
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是______.
四、解答题
17．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A?B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
18．已知抛物线的焦点为F，C上一点G到F的距离为5，到直线的距离为5.
（1）求C的方程；
（2）过点F作与x轴不垂直的直线l与C交于A，B两点，再过点A，B分别作直线l的垂线，与x轴分别交于点P，Q，求四边形面积的最小值.
19．已知F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设A(2，1)，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线y=x-2交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标.
20．已知直线与抛物线相交于A，B两点，当时，在C上有且只有三个点到的距离为．
（1）求C的方程：
（2）若点P在直线y=-2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点．
21．已知抛物线C的方程为，它的焦点F到点M
的距离为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）A?B?D是抛物线C上不同三点，且△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求的最小.
22．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作C的切线，交点为P.
（i）证明：；
（ii）若直线FP交C于M，N两点(M在线段FP上)，求四边形面积的最小值.
参考答案
1．B因为双曲线的一条渐近线为，故可设双曲线的方程为（），
又因为双曲线经过抛物线的焦点，而抛物线的焦点为，所以有，即，所以有，所以双曲线的标准方程为：.
2．C由已知得直线的方程为，联立方程组消去得.设，，由韦达定理知.因为，所以，所以，即，所以所求抛物线的方程为.
3．D抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，
因此，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
4．B若抛物线的准线方程：，由抛物线的定义得：，解得：..
5．A由题意，抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，
可得，解得，所以，又由点)在抛物线上，代入得，解得.
6．A抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，，
7．D由抛物线方程可得，开口向左，则准线方程为.
8．C因为是抛物线的焦点，所以，准线方程，设，所以，所以，所以线段的中点横坐标为，所以线段的中点到轴的距离为．
9．ACD对于选项A：依题意得，得，故双曲线方程为，离心率，故A正确；对于选项B：抛物线的准线为，代入，解得，所以抛物线的准
线被双曲线所截得的线段长度为，故B错误；
对于选项C：联立可得，解得（负值已舍），
则，故C正确；对于选项D：若抛物线上存在点（）使得为直角三角形，由C选项知，只能是，即以线段为直径的圆与抛物线有异于，的交点．联立解得（舍），，因为，故存在点使得为直角三角形.
故D正确.
10．ACD由题可得抛物线的标准方程为，所以点在轴上，且点的坐标为，所以选项A正确，选项B不正确；过点且斜率为的直线方程为，将代入，消去可得，设，，则，所以，选项C正确；过点且斜率为的直线方程为，将代入，消去可得，解得或，不妨设，则，所以，选项D正确．
11．BC由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.
12．ACD由，可得，对A，当，则，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对B，当，方程表示半径为的圆，故B错误；对C，当时，方程表示双曲线，渐近线方程为，即，故C正确；对D，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不可能为抛物线，故D正确；
13．由抛物线方程可得，由抛物线定义可得，
，
则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.
14．2设抛物线的焦点为F，，，
，
15．抛物线的方程可化为.设.因为点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离为5，从而，将代入可得，所以点到轴的距离为.
16．由题意可知，抛物线的焦点在轴上，可设抛物线的方程为，
将点的坐标代入抛物线方程，可得，解得，因此，该抛物线的方程为.
17．（1）；（2）.
（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）设，，，所以直线，由题设可得且.由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，同理，由可得，所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
18．（1）（2）
（1）抛物线的焦点，，准线方程为，
由上一点到的距离为5，可得，
由到直线的距离为5，可得，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）可得，设直线的方程为，，
与抛物线的方程联立，可得，
设，，，，，，
，
，
，
，
直线的方程为，令，可得，
即，，同理可得，，
，
所以四边形面积
，
设，，，
可得当时，递增，时，递减，
则的最小值为，
所以四边形面积的最小值为．
19．（1）x2=4y；（2）证明见解析，定点(2，2).
解：（1）设△OFM外接圆的半径为r，由题知圆心必在，
且圆心到准线的距离，所以，解得p=2，
所以抛物线C的方程为：x2=4y.
（2）设，由题意知，，则直线AB的方程：，
化简得：，与y=x-2联立得，
解得，把代入x2=4y得：，
即，则直线BN的方程：，
约分得：，化简得，
因为与x1无关，所以当x=2，y=2时恒成立，所以直线BN恒过定点(2，2).
20．（1）；（2）证明见解析．
（1）由题意可知斜率为1的某直线与抛物线C相切且切点到直线的距离为．
∵，∴，因此，切点坐标为
∴，∴，或（舍去），
所以C的方程为．
（2）证明：设，则，
由，得，∴，且，
∴．
又直AP的方程为，令，得．
∵，∴，∴．故直线AP恒过定点（0，0）．
21．（1）；（2）16.
（1）由焦点F，距离公式可得，
解得或者（舍），所以抛物线方程为，
（2）设，，
由△ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，如图，分别作垂直和平行于轴的直线相交于，过分别作垂直和平行于轴的直线相交于则，所以，所以，所以（
），
由，可得，
整理可得，
由互不相等，所以，
即，带入（
）式可得：
，
当时，△ABD的面积最小，此时.
22．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）最小值为8.
解：（1）抛物线C的焦点为，准线方程为，所以焦点F到其准线的距离为，因为，解得.所以抛物线C的方程为.
（2）（i）证明：由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为，
代入抛物线方程，整理得.设，，，
则，.函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得，同理，抛物线在点B处的切线方程为，联立上述两切线方程，解得，，因为，，
所以，
所以.
（ii）显然，由（i）知，所以，
因为，所以直线MN的斜率为，将替换上式中的k，可得，
所以，因为，当且仅当，即时，取等号.所以，所以，当时，四边形AMBN面积的最小值为8.