7.2.1复数的加、减运算及其几何意义教案- 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

教育实习教案
实习学校
实习班级
实习学科
数学
教学题目（注明教科书名称及章节、页次题目等）
7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
新人教版A版高中数学必修二
第七章第二节第一课时
P75-p77
课程类型与课时安排
新授课、1课时
教学目标
知识与技能：结合实数的加减法运算法则，熟练掌握复数代数形式的加减运算法则；通过向量的加减法运算的几何意义，理解复数加减法运算的几何意义；会运用复平面两点间的距离公式解决相关问题。
过程与方法：在问题的探究中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，领悟复数加减法运算法则的形成过程以及其几何意义。
情感态度与价值观：通过复数代数形式的加减运算，提升逻辑推理、数学运算的核心素养；通过对复数加减法运算几何意义的理解，强化直观想象的核心素养。
教学重点
与难点
重点：掌握复数代数形式的加减运算法则，并进行复数的加减运算，会运用复数加减运算的几何意义解决问题。
难点：复数的加减运算的几何意义及其应用。
教学方法
以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练
教学手段
多媒体演示和黑板板书
教学资源
《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）
辅助教材及练习册教材
板
书
设
计
7.2.1复数加减法运算及其几何意义
复习回顾
复数的概念
复数：形如?+??(?、b∈?)的数，其中虚数单位?，满足
复数的分类：
复数的几何意义
复数的加减法运算
设，是任意两个复数，则
复数的加法法则：
复数的相反数：的相反数为
复数的减法法则：
复数的运算律：
对任意，有
(1)交换律：：
(2)结合律：。
复数加减法运算的几何意义
复数加法的几何意义：复数是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义:
复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
教学环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
复习回顾
复习7.1.1复数的概念和7.1.2复数的几何意义的部分内容。
跟随老师引导回忆前面学习的内容
为引入复数的四则运算做铺垫。
新课引入
在一个数系中，我们除了要认识这些数长什么样，要能运用这些数进行计算。例如实际生活中，在超市买东西，结账时要计算物品的总价格，这就需要运用到实数的加减法。复数作为实数的扩充，在复数中实数中的那些四则运算是否也实用呢？
回忆思考，跟随老师进行反思。
从学生熟悉的生活情景和已有的知识出发，找准新知识的起点，激发学生浓厚的学习兴趣，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。
新课讲授
实数多项式加减：
停留十几秒的时间，然后找学生代表回答。
师：这种题简单不简单啊！
类比上式，试着求下式的运算：
停留十几秒的时间，然后找学生代表回答，询问做题方法。
师：其实，现在老师还没有正式说到复数的加减法运算法则是什么，但是，同学们其实现在已经掌握了复数之间的加减法到底应该是怎么做的？
通过观察，由特殊到一般，让学生自己发现复数加减法的运算法则：设，是任意两个复数，那么：
（生：简单）它的做法就是把括号打开，然后进行同类项合并，下面我们再来看看这几道题。
通过与实数一元多项式的加法运算的比较，让学生自己发现复数加减法运算的规律。
总结：
两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗?
补充：两虚数的和一定是虚数。
答案：错误，两个互为相反数的虚数的和为0，而0不是虚数。
(2)当时，与实数加法法则一致吗?
(3)两个复数的和的实质是什么?
运算律
在实数中，加法存在的两个运算律，分别是什么？在复数中，该运算律是否还成立吗？
总结：实数加法的运算律在复数中也成立。
对任意，有
(1)交换律：：
(2)结合律：
(1)仍然是个复数，且是一个确定的复数；
(2)一致；
(3)实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项。
似于实数的哪种运算方法?
对刚了解到的知识进行总结，可以加深学生对知识的理解，并且通过反问的形式加深学生的印象
复数加减法运算的几何意义
既然两个复数的和（差）也是一个复数，并且该复数是唯一确定的。根据复数的几何意义可知，复数的和（差）也应该对应于一个向量，这个向量与前两个复数所对应的向量之间会不会存在什么关系呢？
在复平面画出复数所对应的向量并找出复数所对应的向量
推导：
根据平面向量的坐标运算法则，得到
而恰好是复数的对应向量。
问题：从这个过程中可以发现什么？
引导:设复数在复平面上所对应的向量分别为，易知的坐标分别为
以为邻边作平行四边形，则对角线OZ对应的向量是由复数加法法则和向量加法法则可知向量对应的复数即为，这就是复数加法的几何意义。
按照同样的方法画出复数所对应的向量，并尝试说出复数减法的几何意义。
以为邻边作平行四边形则对角线对应的向量是对应的复数即为，这就是复数加法的几何意义。
停留几分钟让学生作图分析，教师走下讲台巡视课堂，收集做得好的同学和做得不好的同学的答案，用投影仪放给学生看。并找代表起来回答他的想法。
复数的和恰好对应向量的和）由特殊到一般，总结归纳复数加减法运算的几何意义。
使用向量法研究复数的加减运算几何意义，体现了复数的几何意义的运用，注意这种数与形的结合思想在后续学习中的应用
总结：
最好是能够让同学们用自己的语言口头表述一下。
表格总结，形象直观
复数加减法运算的几何意义的应用
复数既可以与复平面上起点为原点的向量一一对应，也可以与复平面上一个点对应，那么具有同一性质的点，或者说满足落在同一曲线上的点可以用复数表示出来。
满足|z|＝1的所有复数z对应的点构成什么图形？
类比实数的几何意义，思考复数的几何意义是什么？
（3）点A(a，b)点B（c，d）分别对应复数，则线段AB的垂直平分线的复数方程为多少？
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题时，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
复数||表示复数对应两点与间的距离．
课堂练习
教材P76
教师可以用黑板演示一下。
教材P77
答案：（1）5
（2）2-2i（3）-2+2i（4）0
时不时地问学生对不对。
主要考察学生对复数加减法概念的理解和复数加减法运算律的运用。题目难度不大可能，可以考虑叫同学起来口算回答
教材P77
师：同桌之间相互看看，有没有这个画错的人。
典例2]已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i，2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
[解]　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有
zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i.
因为对应的复数为
zC－zA＝2－(－5－2i)
＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝
＝.
因为对应的复数为zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以||＝|5－12i|＝＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
总结归纳一下，这段时间以来的已知平行四边形的三点求第四点的解题方法。提一下特殊的几个边，例如5、12、13，1，1，，3、4、5，1、1、
每道题给出学生思考时间，询问他们的思路想法
教材P77　
答案：（1）
（2）5
[典例3]　设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[解]　法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知
a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.
∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝.
法二：作出z1，z2对应的向量，
使
∵|z1|＝|z2|＝1，又不共线(若共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．
又|z1＋z2|＝，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝.
1．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为
(　　)
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
答案：C
2．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，
①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.
②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝＝.
通过教师的例题讲解，让学生把握解题方向，捋清解题思路，同时通过不同方式的解题方法，又能够提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养
课堂小结
复数的加减法运算
设，是任意两个复数，则
复数的加法法则：
复数的相反数：的相反数为
复数的减法法则：
复数的运算律：
对任意，有
(1)交换律：：
(2)结合律：。
复数加减法运算的几何意义
复数加法的几何意义：复数是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义:
复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
复数加减法运算的几何意义的应用
两复数对应点间的距离
已知复数方程判断曲线、图形形状
作业布置
“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十六）”