1.3集合的基本运算 同步学案（含答案）

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1.3集合的基本运算
知识领悟
要点一
并集
1.定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合Ｂ的元素组成的集合，叫做集合Ａ与Ｂ的并集。记作A∪B；读作：A并B；符号语言表达式为：Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ，或ｘ∈Ｂ｝；
Ｖｅｎｎ图表示：
2.性质：满足交换律：Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ
Ａ∪Ａ＝Ａ
Ａ∪?＝?∪Ａ＝Ａ
若ＡＢ，则Ａ∪Ｂ＝Ｂ；反之成立。
Ａ（Ａ∪Ｂ）；Ｂ（Ａ∪Ｂ）
要点二　　交集
1.定义：由属于集合Ａ且属于集合Ｂ的所有元素组成的集合，叫做Ａ与Ｂ的交集。
记作A∩B，读作“A交B”
符号语言表达式：Ａ∩Ｂ＝｛x|x｝
Ｖｅｎｎ图表示：
2.性质：
满足交换律：A∩B=B∩A
自身的交集等于本身：A∩A=A
同空集的交集都是空集：A∩?=?∩A=?
同子集的交集等于其子集：
两集合的交集等于某一集合，则该集合是另一集合的子集：若A∩B=A，则AB；
两集合的交集是其中任一集合的子集：（A∩B）A，（A∩B）B。
要点三　补集
1.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作Ｕ。
2.补集定义：对于一个集合Ａ，由全集Ｕ中不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合Ａ相对于全集Ｕ的补集，简称为集合A的补集。
记作：CuA;读作：A在U中的补集
符号语言表达式为：CuA={x|x}
Venn图表示：
3.理解：
（1）全集是相对于所研究问题而言的，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素。例如在研究数集时，常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这时平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做是一个全集。
（2）求集合A的补集的前提是Ａ是全集Ｕ的子集。（若xＵ，则xＡ或xＣuＡ，二者必居其一。）
例题透析
题型一
并集与交集的概念的考查
例题1．设，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）
【例2】
设A={x|－21}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1【研析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，由韦达定理得：
∴
=－(－1＋3)=－2，
b=(－1)×3=－3．
【巩固训练】
1.
已知集合,且，，求,b的值.
1.解：
∵.
∴中元素必是B的元素.
又∵,
∴中的元素属于B,
故.
　　而.
∴－1,4是方程的两根，
∴a=－3,b=－4.
集合A={（x,y）},集合B={（x,y）}，又A，求实数m的取值范围.
由AB知方程组得x2+(m－1)x=0，
即m3或m－1.因此{m,或m－1}.
题型二
全集与补集概念的考查
【例3】
已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由.
〖解法一〗∵；∴，即＝0，解得.
当时，，为A中元素；
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或.
〖解法二〗∵，∴，，∴＝0且
∴或.
【巩固训练】
3.
设全集，，求的值．
解：，且，，
　　　　　或
（1）当时，，此时满足．
（2）当时，，应舍去，．
题型三
对交集、并集之间关系的考查
【例4】已知集合
①若，求实数m的取值范围；
②若，求实数m的取值范围.
【研析】
①
②
【巩固训练】
4.
已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，求实数的值.
解：∵
A∪B=A，
∵
A={1，2}，∴
B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得∈；
若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
题型四
学科内综合题
【例5】若A={2，4,
3－22－＋7},B={1,
＋1,
2－2＋2,(2－3－8),
3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，求实数的值．
【研析】∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=
±1．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
【巩固训练】
5.
已知，求a的值.
解：
检验：
题型五
实际应用题
【例6】向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果
(?http:?/??/?www.?/?wxc?/??)
赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，
如右图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全
体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的
学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B
而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,
解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
(?http:?/??/?www.?/?wxc?/??)
【巩固训练】
6.
求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：
“正难则反”，先求出200个数不满足条件的，即能被2或3或5整除的自然数个数，再从200中减去.设不能被2、3、5整除的数的集合分别是A、B、C，则符合条件的数的集合为A∩B∩C,不符全条件的数的集合为：
，
如图先画出文氏图，不难看出不符合的数共有：
（200÷2）＋[200÷3]＋(200÷5)－(200÷10)－[200÷6]－[200÷15]＋[200÷30]＝146(式中[x]为不超过x的最大整数)
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
题型六
易错辨析题
【例7】
已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．
【研析】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
【巩固训练】
7.
已知，，若，则的值为　　．
解：当时，由　得，由　得或
　　　　　　　
　　　　　　，或3，或
当时，．综上所述，得的值为．
课后作业
一、理解与应用
1.
已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
图中阴影部分所表示的集合是（
）
A.　B∩［CU(A∪C)］
B.　(A∪B)
∪(B∪C)
C.　(A∪C)∩(CUB)
D.　［CU(A∩C)］∪B
3.
已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1)
A.－3≤m≤4
B.
－3D.24.
已知全集且则等于
A.　　　B.　　　C.　　　　D.
二、拓展与创新
5.
某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为
人.
6.
设集合，
（1）的取值范围是　　　　
　.
（2）若且的最大值为9，则的值是
.
三、综合与探究
7.
已知,求A∩B.
8.
设，若，求所有满足条件的a的集合.
答案解析
1．B　　提示：方法一（直接法）：,,故.
方法二(排除法)：由可知中的元素比0要大,
而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.
2.
A
3.
D
提示：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,∴，即2＜m≤4
(?http:?/??/?www.?/?wxc?/??)
4．C　提示：集合，所以，集合，所以为.
5.　26　提示：图出韦氏图，根据韦氏图进行计算.
6．（1）（2）　解析：（1）如图所示，可知的取值范围是；（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=.
7.
解：
8.
解：M={－1，3}
①当时，ax－1=0无解，∴a=0
②
综①②得：所求集合为{－1，0，}.
_
3的倍数
_
2
的倍数
_
5的倍数
2
2
b
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精品试卷·第
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