第1章1.3一元二次方程的根与系数的关系 练习题 2021-2022学年苏科版九年级数学上册（word版含答案）

1.3　一元二次方程的根与系数的关系
【基础练习】
知识点
1　一元二次方程根与系数关系的直接应用
1.[2019·泰州]
若方程2x2+6x-1=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2等于
(　　)
A.-6
B.6
C.-3
D.3
2.[2020·泰州]
若方程x2+2x-3=0的两个根分别为x1,x2,则x1·x2的值为　　　　.?
3.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)x2+3x+1=0;
(2)3x2-2x-1=0;
(3)-2x2+3=0;
(4)2x2+5x=0.
知识点
2　利用根与系数的关系求相关的代数式的值
4.已知x1,x2是一元二次方程3x2+2x-6=0的两个根,则x1-x1x2+x2的值是
(　　)
A.-
B.
C.-
D.
5.[2020·遵义]
已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个根,则+的值为
(　　)
A.5
B.10
C.11
D.13
6.已知方程x2+5x-1=0的两个实数根分别为α,β,则(α-1)(β-1)=　　　　.?
知识点
3　利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7.
已知关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根之积为-4,则k的值为
(　　)
A.-1
B.4
C.-4
D.-5
8.设x1,x2是方程x2+mx+3=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则m=　　　　.?
9.如果关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个根分别是2+和2-,求a,b的值.
10.已知关于x的方程x2-6x+k=0的两个根分别是x1,x2,且+=3,求k的值.
11.已知关于x的方程x2+x+n=0的两个实数根分别为-2,m,求m,n的值.
　　　
　　　　　　　　　　　　　　
【能力提升】
12.一元二次方程x2-4x+2=0的根的情况是
(　　)
A.无实数根
B.有两个正根
C.有一个正根,一个负根
D.有两个负根
13.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为　　　　.?
14.[2020·青海]
在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程:　　　　　.?
15.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的值:
(1)(x1+1)(x2+1);
(2)x2+x1;
(3)+x1x2+2x1.
16.[2020·孝感]
已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1-x2=3,求k的值.
17.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-4=0.
(1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍,求m的值.
18.设x1,x2是方程x2-x-2021=0的两实数根,求+2022x2-2021的值.
答案
1.C　[解析]
由于b2-4ac>0,所以x1+x2=-=-3.
2.-3　[解析]
∵b2-4ac>0,∴x1·x2==-3.
3.解:设方程的两根分别为x1,x2.
(1)x1+x2=-3,x1x2=1.
(2)x1+x2=,x1x2=-.
(3)x1+x2=0,x1x2=-.
(4)x1+x2=-,x1x2=0.
4.D　
5.D　[解析]
根据题意,得x1+x2=3,x1x2=-2,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-2)=13.故选D.
6.5　[解析]
∵α,β是方程x2+5x-1=0的两个实数根,∴α+β=-5,αβ=-1,
∴(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=-1-(-5)+1=5.
7.D　[解析]
∵关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根之积为-4,∴k+1=-4,∴k=-5.故选D.
8.-4　[解析]
∵x1,x2是方程x2+mx+3=0的两个根,∴x1+x2=-m,x1x2=3,
∴x1+x2-x1x2=1,∴-m-3=1,∴m=-4.
9.解:根据根与系数的关系可知(2+)+(2-)=-a,(2+)×(2-)=b,所以a=-4,b=1.
10.解:因为关于x的方程x2-6x+k=0的两个根分别是x1,x2,
所以x1·x2=k,x1+x2=6.因为+=3,即=3,所以=3,所以k=2.经检验,k=2是此分式方程的解.故k的值是2.
11.解:因为关于x的方程x2+x+n=0的两个实数根分别为-2,m,
所以解得即m,n的值分别是1,-2.
12.B　[解析]
∵b2-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0,且x1+x2=4>0,x1·x2=2>0,∴有两个正根.故选B.
13.-2　[解析]
∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2==-2.∵关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,∴另一个根为-2÷1=-2.
14.x2-6x+6=0　[解析]
根据题意,得2×3=c,1+5=-b,解得b=-6,c=6,所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0.
15.解:因为x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,所以x1+x2=-2,x1·x2=-.
(1)原式=x1x2+x1+x2+1=--2+1=-.
(2)原式=x1x2(x1+x2)=-×(-2)=3.
(3)因为x1是方程2x2+4x-3=0的一个根,所以2+4x1-3=0,所以+2x1=,
所以+x1x2+2x1=-=0.
16.解:(1)证明:∵b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×k2-2=4k2+4k+1-2k2+8=2k2+4k+9=
2(k+1)2+7>0,∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=k2-2.
∵x1-x2=3,∴(x1-x2)2=9,∴(x1+x2)2-4x1x2=9,∴(2k+1)2-4×k2-2=9,解得k=0或k=-2.
17.解:(1)因为方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个不相等的实数根,
所以(2m+1)2-4(m2-4)=4m+17>0,解得m>-.
所以当m>-时,方程有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a,b.根据题意,得a+b=-2m-1,ab=m2-4.因为2a,2b为边长为5的菱形的两条对角线的长,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(-2m-1)2-2(m2-4)=2m2+4m+9=52=25,
解得m1=-4,m2=2.因为a>0,b>0,所以a+b=-2m-1>0,ab=m2-4>0,
所以m=2不符合题意,故m=-4.
18.解:由题意可知x1+x2=1,x1x2=-2021,且-x1-2021=0,所以=x1+2021.①
将①式两边同时乘x1,得=+2021x1.②将①代入②,得=2022x1+2021.
故+2022x2-2021=2022x1+2021+2022x2-2021=2022(x1+x2)=2022.