2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．任意两个菱形
B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形
D．两个矩形
2．下列两个图形一定相似的是（　　）
A．两个菱形
B．两个矩形
C．两个正方形
D．两个等腰梯形
3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是（　　）
A．4
B．5
C．
D．
4．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：
①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD?AB；④AB?CD＝AC?BC．
其中能判定△ACD∽△ABC的共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）
A．
B．
C．
D．
6．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（　　）
A．6
B．8
C．12
D．10
7．能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是（　　）
A．
B．且∠A＝∠C′
C．且∠B＝∠A′
D．且∠B＝∠B′
8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝2：1，下列结论中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．AD?AB＝AE?AC
10．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．8
B．9
C．
D．
二．填空题
11．有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab＝　
　．
12．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是　
　．
13．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是　
　．
14．如果两个相似多边形面积的比为4：9，那么这两个相似多边形周长的比是　
　．
15．如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是　
　cm．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝　
　．
17．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　
　．
18．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为　
　．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则CE的长为　
　．
20．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　
　．
三．解答题
21．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
22．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
23．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　
　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
24．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　
　命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　
　命题）
③两个大小不同的正方形相似．（　
　命题）
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
25．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　
　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
26．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB?CE．
（1）说明：△ADB∽△EAC；
（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．
27．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
2．解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
故选：C．
3．解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝＝．
故选：C．
4．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
③∵AC2＝AD?AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，
故选：C．
5．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，
∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的，
故选：C．
6．解：设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，
∴＝，
解得，x＝8，
故选：B．
7．解：能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是，且∠B＝∠A'；
理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
故选：C．
8．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：C．
9．解：∵DE∥BC，AD：DB＝2：1，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，＝，
∴＝（）2＝，
∴A、B、C正确，
故选：D．
10．解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∴∠ACB＝60°，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴＝，
∴＝，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍弃），
∴AB＝9，
故选：B．
二．填空题
11．解：根据题意得
＝，
解得2a＝3b，
∴a＝b，
∵（60+2b）（90+2a）＝60×90×（1+44%），
整理得30a+45b+ab﹣594＝0，
把a＝b代入得30?b+45b+b?b﹣594＝0，
整理得b2+60b﹣396＝0，解得b1＝6，b2＝﹣66（舍去），
∴a＝×6＝9，
∴ab＝9×6＝54（cm2）．
故答案为54cm2．
12．解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
13．解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，
∵当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10，
∴＝＝，解得x＝5；
当6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为2．
∴＝＝，解得x＝．
∴x＝5或，
故答案为：5或．
14．解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴两个相似多边形周长的比等于2：3，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故答案为：2：3．
15．解：在图中标上字母，如图所示．
根据矩形的性质，可知：DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴BC＝?DE＝×4＝20cm．
故答案为：20．
16．解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，
∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，
AD＝，
由题意得，AD＝，
故答案为：．
17．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；
解得x＝，
BP＝14﹣＝8.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
18．解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC∥AD，
∵E为BC上一点，
∴CE∥AD，∠FEC＝∠FAD，∠FCE＝∠D，
∴△FCE∽△FDA，
∴＝＝，
又∵CD＝3，CF＝1，AD＝4，
∴CE＝，
故答案为：．
20．解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC?AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题
21．解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∵△ABD∽△ACE，
∴＝，∠BAD＝∠CAE，
∴＝，∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝70°．
22．解：根据题意得∠AEB＝∠CED，
∵Rt△AEB∽Rt△CED，
∴＝，即＝，
解得：AB＝13.44．
答：教学楼的高度为13.44m．
23．解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
24．（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；
③两个大小不同的正方形相似，是真命题；
故答案为：假，假，真；
（2）证明：如图，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，
∴△BCD～△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD～△A1B1D1，
∴，
∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
25．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
26．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB2＝DB?CE
∴
∴
∴△ADB∽△EAC．
（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE，
∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC，
∵∠BAC＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝70°，
∴∠D+∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC＝70°+40°＝110°．
27．解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．