11.1.5旋转体（第2课时）教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.1.5旋转体（第2课时）教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-05 12:32:18 | ||
图片预览
文档简介
11.1.5旋转体第二课时教案
教学课时：第2课时
教学目标：
1、理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质、表面积公式；
2、能够运用球的定义及性质解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力；
3、通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．
教学重点：
球的定义、性质以及球的表面积公式．
教学难点：
球的直径等于球的内接长方体的体对角线长的理解，以及对学生空间想象能力的培养．
教学过程：
一、提出问题，解决问题：
问题1：日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，例如我们玩的足球、篮球、排球等，观察球的几何特征，用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式，球面可以通过什么图形旋转得到？球体怎样描述？
【学生活动1】
学生通过观察与类比完成课本第78页的“尝试与发现”（2）；
答：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体．
问题2：从数学的角度应该怎样来刻画球面呢？圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的点是否有类似的性质？
【学生活动2】
学生通过观察完成课本第78页“尝试与发现”(1)，并完成课本78页填空．
答：由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．
巩固认知:
1、球的有关概念：形成球面的半圆的圆心叫球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．
如图所示的球中,点O为球心，OA，OB，OC都是球的半径，AB为球的直径．
2、球的表示：一个球可以用表示它的球心的字母来表示，例如球O.
【设计意图】
由丰富的图片和实物出发，使教学贴近生活，便于学生理解，激发学习兴趣．根据第一节学习的圆柱、圆锥、圆台的形成过程，得出球面的形成过程.并且激发学生，圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的点是否有类似性质？让同学们通过尝试和类比推理，实现对球的认知.巩固认知是为了保证学生对球及相关概念能够准确掌握．
问题3：当用刀去切一个球形的西瓜时，所得到的截面是什么形状？一般地，如果一个平面与一个球面相截，所得交线的形状是怎样的？
分析：平面几何中圆的垂径定理的内容是什么？垂径定理是如何得来的？类比圆的垂径定理，球会有什么样的结论？
解：用一个平面去截半径为R的球O，如图所示，不妨设平面水平放置且不过球心，O为平面的垂线，并与平面交于点,O=d，则对平面与球面的交线上任意一点P，都有，这是一个定值．
这说明截面与球面的交线是在平面内到定点的距离等于定长的点的集合，因此平面截球面所得到的交线是以为圆心，以为半径的一个圆．
巩固认知：
1、球的性质
【性质1】球心和截面圆心的连线垂直于截面．
【性质2】球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面关系：.如果平面过球心，则d=0，，此时截面是半径等于球的半径的一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．
2、知识拓展
经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，经度取值区间为；
纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取值区间为．
【设计意图】
与初中几何中直线被圆截类比，得到平面被球截的研究方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，并注意数学知识的严谨性.看懂球的截面直观图要求学生有较高的空间想象能力，教学中利用模型有助于学生理解．
问题4：我们知道,如果一个圆的半径为r，那么它的周长为，它的面积为，如果球的半径为R，你能猜出来球的表面积与中的哪一个成正比吗？
分析：由圆的周长与r成正比，面积与成正比，猜出球的表面积与成正比.可以证明，如果球的半径为R，那么球的表面积为．
【设计意图】
由圆的面积与半径的平方成正比，类比得出球的表面积与半径的平方成正比，体现了知识之间的关联，能够培养学生的逻辑推理能力，增加学生的学习兴趣．
二、例题讲解，深化理解
例2（课本79页例2）
把地球看成一个半径为6370km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度（结果精确到1km）
．
解：做出截面图，如图:设北纬的纬线长为ckm，
即北纬的纬线长约为30658km．
【设计意图】:
借助这个例题，强调将立体几何问题转化为平面几何问题的解题思路.经度和纬度是球的知识在地理方面的典型应用，很好地体现着数学知识的实用性．
例3（课本80页例3）
已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积．
分析：你能画出合适的图形来表示上述题目中的关系吗？已知一个长方体，你能在空间找一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相等吗？此题为本节课教学难点，为突破难点，提出问题：已知一个长方形的四个顶点都在一个圆上，且长方形的长和宽分别为3，4，求圆的面积.通过类比长方形外接圆半径的求解，并结合长方体实物教具，并辅以多媒体演示，得出长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，球心就是体对角线的中点．
解：由题设可知，长方体的体对角线的中点就是球心，又因为，所以所求球的表面积为．
【性质3】球的直径等于球的内接长方体的体对角线长．
【设计意图】
通过求长方体外接球的半径，培养学生的空间想象能力.可以类比求长方形的外接圆半径，增强学生对知识之间关联性的挖掘意识，同时也可以提升学生的思维品质．
三、课堂练习，巩固所学
1.（课本81页练习A第3题）
已知一个球的半径为3，求这个球的表面积．
参考答案：．
2.（课本81页练习B第4题）
判断下列命题的真假：
⑴球面上任意一点与球心的连线都是球的半径；
⑵球面上任意两点连成的线段都是球的直径；
⑶用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
参考答案：(1)真(2)假(3)真．
3.（课本81页练习B第2题）
已知A，B都是球O对应的球面上的点，过A，B两点可以做几个大圆？
参考答案：若AB是球的直径，可做无数个大圆；若AB不是球的直径，可做一个大圆．
4.
（课本81页练习B第3题）
一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8，求球心到直线的距离．
参考答案：3．
四、归纳总结
1、球的定义；2、球的性质；3、球的表面积公式．
五、课后作业
课后思考：课本80页“探索与研究”；
教材88页习题11-1A
14、15；
能力提升：教材89习题11-1B
10．
教学课时：第2课时
教学目标：
1、理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质、表面积公式；
2、能够运用球的定义及性质解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力；
3、通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．
教学重点：
球的定义、性质以及球的表面积公式．
教学难点：
球的直径等于球的内接长方体的体对角线长的理解，以及对学生空间想象能力的培养．
教学过程：
一、提出问题，解决问题：
问题1：日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，例如我们玩的足球、篮球、排球等，观察球的几何特征，用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式，球面可以通过什么图形旋转得到？球体怎样描述？
【学生活动1】
学生通过观察与类比完成课本第78页的“尝试与发现”（2）；
答：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体．
问题2：从数学的角度应该怎样来刻画球面呢？圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的点是否有类似的性质？
【学生活动2】
学生通过观察完成课本第78页“尝试与发现”(1)，并完成课本78页填空．
答：由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．
巩固认知:
1、球的有关概念：形成球面的半圆的圆心叫球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．
如图所示的球中,点O为球心，OA，OB，OC都是球的半径，AB为球的直径．
2、球的表示：一个球可以用表示它的球心的字母来表示，例如球O.
【设计意图】
由丰富的图片和实物出发，使教学贴近生活，便于学生理解，激发学习兴趣．根据第一节学习的圆柱、圆锥、圆台的形成过程，得出球面的形成过程.并且激发学生，圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的点是否有类似性质？让同学们通过尝试和类比推理，实现对球的认知.巩固认知是为了保证学生对球及相关概念能够准确掌握．
问题3：当用刀去切一个球形的西瓜时，所得到的截面是什么形状？一般地，如果一个平面与一个球面相截，所得交线的形状是怎样的？
分析：平面几何中圆的垂径定理的内容是什么？垂径定理是如何得来的？类比圆的垂径定理，球会有什么样的结论？
解：用一个平面去截半径为R的球O，如图所示，不妨设平面水平放置且不过球心，O为平面的垂线，并与平面交于点,O=d，则对平面与球面的交线上任意一点P，都有，这是一个定值．
这说明截面与球面的交线是在平面内到定点的距离等于定长的点的集合，因此平面截球面所得到的交线是以为圆心，以为半径的一个圆．
巩固认知：
1、球的性质
【性质1】球心和截面圆心的连线垂直于截面．
【性质2】球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面关系：.如果平面过球心，则d=0，，此时截面是半径等于球的半径的一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．
2、知识拓展
经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，经度取值区间为；
纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取值区间为．
【设计意图】
与初中几何中直线被圆截类比，得到平面被球截的研究方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，并注意数学知识的严谨性.看懂球的截面直观图要求学生有较高的空间想象能力，教学中利用模型有助于学生理解．
问题4：我们知道,如果一个圆的半径为r，那么它的周长为，它的面积为，如果球的半径为R，你能猜出来球的表面积与中的哪一个成正比吗？
分析：由圆的周长与r成正比，面积与成正比，猜出球的表面积与成正比.可以证明，如果球的半径为R，那么球的表面积为．
【设计意图】
由圆的面积与半径的平方成正比，类比得出球的表面积与半径的平方成正比，体现了知识之间的关联，能够培养学生的逻辑推理能力，增加学生的学习兴趣．
二、例题讲解，深化理解
例2（课本79页例2）
把地球看成一个半径为6370km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度（结果精确到1km）
．
解：做出截面图，如图:设北纬的纬线长为ckm，
即北纬的纬线长约为30658km．
【设计意图】:
借助这个例题，强调将立体几何问题转化为平面几何问题的解题思路.经度和纬度是球的知识在地理方面的典型应用，很好地体现着数学知识的实用性．
例3（课本80页例3）
已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积．
分析：你能画出合适的图形来表示上述题目中的关系吗？已知一个长方体，你能在空间找一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相等吗？此题为本节课教学难点，为突破难点，提出问题：已知一个长方形的四个顶点都在一个圆上，且长方形的长和宽分别为3，4，求圆的面积.通过类比长方形外接圆半径的求解，并结合长方体实物教具，并辅以多媒体演示，得出长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，球心就是体对角线的中点．
解：由题设可知，长方体的体对角线的中点就是球心，又因为，所以所求球的表面积为．
【性质3】球的直径等于球的内接长方体的体对角线长．
【设计意图】
通过求长方体外接球的半径，培养学生的空间想象能力.可以类比求长方形的外接圆半径，增强学生对知识之间关联性的挖掘意识，同时也可以提升学生的思维品质．
三、课堂练习，巩固所学
1.（课本81页练习A第3题）
已知一个球的半径为3，求这个球的表面积．
参考答案：．
2.（课本81页练习B第4题）
判断下列命题的真假：
⑴球面上任意一点与球心的连线都是球的半径；
⑵球面上任意两点连成的线段都是球的直径；
⑶用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
参考答案：(1)真(2)假(3)真．
3.（课本81页练习B第2题）
已知A，B都是球O对应的球面上的点，过A，B两点可以做几个大圆？
参考答案：若AB是球的直径，可做无数个大圆；若AB不是球的直径，可做一个大圆．
4.
（课本81页练习B第3题）
一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8，求球心到直线的距离．
参考答案：3．
四、归纳总结
1、球的定义；2、球的性质；3、球的表面积公式．
五、课后作业
课后思考：课本80页“探索与研究”；
教材88页习题11-1A
14、15；
能力提升：教材89习题11-1B
10．