11.1.6祖暅原理与几何体的体积（第1课时）教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.1.6祖暅原理与几何体的体积（第1课时）教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-05 12:31:05 | ||
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文档简介
11.1.6祖暅原理与几何体的体积第一课时教案
教学课时：第1课时
教学目标：
1、
结合学生已经学习掌握的相关知识，了解祖暅原理；通过祖暅原理得到柱锥的体积公式；
2、
训练学生借助柱锥的体积公式，解决相关问题；
3、让学生在利用祖暅原理得到柱锥的体积公式的过程中，体会转化与化归思想，培养学生直观想象、逻辑推理的学科素养．
教学重点：
棱柱、棱锥的体积公式的推导方法．
教学难点：
结合祖暅原理，借助转化与化归的思想求棱柱、棱锥的体积．
教学过程：
一、提出问题，解决问题
问题1：我们知道，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高.那么你能否求出其他几何体的体积呢？
【学生活动1】
1、学生自主通过探讨完成课本第82页上面的“尝试与发现”；
2、让学生对结论的文字特征进行分析．
问题2：我们得到了祖暅原理，那么柱体被平行于底面的平面所截，共同特征是什么呢？它的体积公式是什么呢？
分析：由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体体积相等.我们学过长方体的体积，等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为．
【设计意图】
问题1的“尝试与发现”，是对学生以往所学柱体的体积知识的深化和小结.到此为止，总结了初中所学的柱体体积公式等于底面积乘以高.问题2的设计要引入祖暅定理，充分体现空间与平面问题的相互转化的思想，利用祖暅原理，推出几种几何体的体积.但要注意重点不是结论，而是对几何体结构特征的分析，正是基于这种由体截面,由面生成体的转化思想，才顺理成章的求几种几何体的体积．
问题3：由祖暅原理可知，等底面积等高的两个锥体体积是什么关系？
分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，从而由祖暅原理可知等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
【设计意图】
问题3的设计，是将锥体和柱体做类比推理，学生已经知道柱体的体积公式，把柱体和锥体的几何特征作类比，再得出锥体体积规律.我们在研究数学的问题时候，经常根据两类不同事物之间具有某些类似性，推测一类事物具有与另一类的事物类似的性质．
【学生活动2】
1、学生自主通过动画展示探讨完成课本第83页上面的“尝试与发现”；
2、让学生对结论的图形特征进行分析．
问题4：直三棱柱和三棱锥体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？
分析：直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S,高为h，则锥体的体积计算公式为
【设计意图】
学生活动2的“尝试与发现”，是让学生通过几何画板的动态演示，感受三棱柱切割成三个三棱锥的过程，探索三个三棱锥体积之间的关系，探索三棱柱和三棱锥体积之间的关系，并得出结论.然后再进行归纳推理，得出锥体的体积公式.
这种研究数学问题的推理方法，叫做归纳推理.
归纳推理是根据一类事物的部分对象，具有某种性质推出这类事物的所有对象，都具有这种性质的推理.归纳推理是从特殊到一般的过程.
培养学生转化与划归的数学思想方法．
二、例题讲解，深化理解
例（课本83页例1）
如图所示，在长方体中，求棱锥的体积与长方体的体积之比．
思考：1、长方体和锥体的体积公式是什么呢？
2、这个棱锥的体积如何求？谁是底，谁是高？
3、为什么它是底，它是高？
解：已知的长方体可以看成直四棱柱设它的底面的面积为S，高为h,则长方体的体积为
因为棱锥可以看成棱锥,且的面积为棱锥的高为h，所以
因此所求体积之比为
.
反思：1、还有其他方法吗？
2、如果撤掉长方体，只求锥体的体积，怎么求呢？
变式：在长方体中，求锥体的体积？
【设计意图】
例题1的问题设置是让学生运用公式法求柱体和锥体的体积，在应用中通过对比体会锥体和柱体的体积公式的差异.通过两个等高不等底的锥、柱体的体积的比较，从而理解祖暅原理在求体积中的应用，培养学生转化和化归的数学思想；反思的设置，让学有余力的同学培养直观想象的学科素养；变式的设置，让学生感受直接法求体积受阻的前提下，掌握间接求体积的方法.通过规范化的解题过程，让学生深刻感受到数学的严密性，渗透数学运算的学科素养．
三、课堂练习，巩固所学
1.（课本P87页练习A第3题）
如图将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去4个三棱柱，得到一个八棱柱.求这个八棱柱与原四棱柱体积之比．
参考答案：.
2.
（课本P87页练习B第3题）
《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何.”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率为3，估算出堆放的米约有（）
A.
14斛B.
22斛C.
36斛D.
66斛
参考答案：B．
四、归纳总结
1、祖暅原理的内容；
2、柱体锥体的体积公式．
五．课后作业
教材87页A组第1、2、3、4题；
89页习题11-1A第1、2、3、4题．
教学课时：第1课时
教学目标：
1、
结合学生已经学习掌握的相关知识，了解祖暅原理；通过祖暅原理得到柱锥的体积公式；
2、
训练学生借助柱锥的体积公式，解决相关问题；
3、让学生在利用祖暅原理得到柱锥的体积公式的过程中，体会转化与化归思想，培养学生直观想象、逻辑推理的学科素养．
教学重点：
棱柱、棱锥的体积公式的推导方法．
教学难点：
结合祖暅原理，借助转化与化归的思想求棱柱、棱锥的体积．
教学过程：
一、提出问题，解决问题
问题1：我们知道，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高.那么你能否求出其他几何体的体积呢？
【学生活动1】
1、学生自主通过探讨完成课本第82页上面的“尝试与发现”；
2、让学生对结论的文字特征进行分析．
问题2：我们得到了祖暅原理，那么柱体被平行于底面的平面所截，共同特征是什么呢？它的体积公式是什么呢？
分析：由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体体积相等.我们学过长方体的体积，等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为．
【设计意图】
问题1的“尝试与发现”，是对学生以往所学柱体的体积知识的深化和小结.到此为止，总结了初中所学的柱体体积公式等于底面积乘以高.问题2的设计要引入祖暅定理，充分体现空间与平面问题的相互转化的思想，利用祖暅原理，推出几种几何体的体积.但要注意重点不是结论，而是对几何体结构特征的分析，正是基于这种由体截面,由面生成体的转化思想，才顺理成章的求几种几何体的体积．
问题3：由祖暅原理可知，等底面积等高的两个锥体体积是什么关系？
分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，从而由祖暅原理可知等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
【设计意图】
问题3的设计，是将锥体和柱体做类比推理，学生已经知道柱体的体积公式，把柱体和锥体的几何特征作类比，再得出锥体体积规律.我们在研究数学的问题时候，经常根据两类不同事物之间具有某些类似性，推测一类事物具有与另一类的事物类似的性质．
【学生活动2】
1、学生自主通过动画展示探讨完成课本第83页上面的“尝试与发现”；
2、让学生对结论的图形特征进行分析．
问题4：直三棱柱和三棱锥体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？
分析：直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S,高为h，则锥体的体积计算公式为
【设计意图】
学生活动2的“尝试与发现”，是让学生通过几何画板的动态演示，感受三棱柱切割成三个三棱锥的过程，探索三个三棱锥体积之间的关系，探索三棱柱和三棱锥体积之间的关系，并得出结论.然后再进行归纳推理，得出锥体的体积公式.
这种研究数学问题的推理方法，叫做归纳推理.
归纳推理是根据一类事物的部分对象，具有某种性质推出这类事物的所有对象，都具有这种性质的推理.归纳推理是从特殊到一般的过程.
培养学生转化与划归的数学思想方法．
二、例题讲解，深化理解
例（课本83页例1）
如图所示，在长方体中，求棱锥的体积与长方体的体积之比．
思考：1、长方体和锥体的体积公式是什么呢？
2、这个棱锥的体积如何求？谁是底，谁是高？
3、为什么它是底，它是高？
解：已知的长方体可以看成直四棱柱设它的底面的面积为S，高为h,则长方体的体积为
因为棱锥可以看成棱锥,且的面积为棱锥的高为h，所以
因此所求体积之比为
.
反思：1、还有其他方法吗？
2、如果撤掉长方体，只求锥体的体积，怎么求呢？
变式：在长方体中，求锥体的体积？
【设计意图】
例题1的问题设置是让学生运用公式法求柱体和锥体的体积，在应用中通过对比体会锥体和柱体的体积公式的差异.通过两个等高不等底的锥、柱体的体积的比较，从而理解祖暅原理在求体积中的应用，培养学生转化和化归的数学思想；反思的设置，让学有余力的同学培养直观想象的学科素养；变式的设置，让学生感受直接法求体积受阻的前提下，掌握间接求体积的方法.通过规范化的解题过程，让学生深刻感受到数学的严密性，渗透数学运算的学科素养．
三、课堂练习，巩固所学
1.（课本P87页练习A第3题）
如图将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去4个三棱柱，得到一个八棱柱.求这个八棱柱与原四棱柱体积之比．
参考答案：.
2.
（课本P87页练习B第3题）
《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何.”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率为3，估算出堆放的米约有（）
A.
14斛B.
22斛C.
36斛D.
66斛
参考答案：B．
四、归纳总结
1、祖暅原理的内容；
2、柱体锥体的体积公式．
五．课后作业
教材87页A组第1、2、3、4题；
89页习题11-1A第1、2、3、4题．