3.2.1 函数的零点及其近似解法 教案-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.2.1
函数的零点及其近似解法
教案
教学课时：第一课时
　　教学目标：
　　1.结合学生已经学习掌握的相关知识，理解函数零点的概念，并会求一次函数和二次函数的零点；
　　2.通过实例引导学生归纳出函数零点存在的一个充分条件，并能理解“二分法”求函数零点近似解的解法依据；
　　3.训练学生会用二分法求解函数零点近似解，在求解过程中，体会算法思想、无限逼近的思想，训练学生逻辑推理、数学运算的学科素养。
　　教学重点：
　　1.函数的零点；
　　2.函数零点近似解的解法----二分法。
　　教学难点：
　　利用二分法求函数零点近似解的解法原理及步骤实施。
　　教学过程：
　　一、提出问题，解决问题：
　　问题1：我们知道一次函数y=f(x)=x-1的定义域为(-∞,+∞)，值域为(-∞,+∞)。当f(x)=0，f(x)＞0，f(x)＜0时，此时函数y=f(x)=x-1分别对应一个方程和两个不等式，请你把满足方程和不等式的解集解出，并画出函数f(x)的图象，借助图象归纳出上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。
　　【学生活动1】
　　1.学生自主通过计算完成课本第112页上面的“尝试与发现”；
　　2.让学生对所得结论进行分析；
　　3.学生得到函数零点的概念并加以分析。
　　设计意图：结合已有经验获得新知，理解函数关系给出了对定义域的一个“划分”（即根据函数值的某个特性将定义域分割成几个不相交的集合的并集）。
　　问题2：请同学们求出二次函数y=ax2+bx+c的零点。
　　分析:函数零点是函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零的α值，也是方程f(α)=0的根，亦是在坐标系中函数f(x)的图象与x轴的公共点是(α,0)点。结合二次方程的求根公式就可以准确求出二次函数的零点.
当△=b2-4ac
>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1x2，这时说二次函数y=ax2+bx+c有两个零点x1x2,在坐标系中表示其图象与x轴有两个公共点(x1,
0),
(x2,0);
当△=b2-4ac
=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x0（重根)，这时说二次函数y
=ax2+bx+c有一个二重零点x0或说有二阶零点x0.在坐标系中表示其图象与x轴有公共点(x0,0);
当△=b2-4ac
<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，这时二次函数y
=ax2+bx+c没有零点.在坐标系中表示其图象与x轴没有公共点。　　
　　【学生活动2】
　　学生根据二次方程求根公式解决二次函数的零点。
　　设计意图：结合已有学习经验，理解函数的零点与方程的根、图象与轴的交点之间的关系.
利用求根公式可以解出二次函数零点的准确值，利用二次函数图象可以看出二次函数有几个零点，初步感受函数零点的求法的同时为求函数零点的近似值做好铺垫。
　　问题3：如何求函数f(x)=x3+x-1零点。
　　分析1：这个函数并不能通过解方程将零点解出，图象也不知道如何画，因此我们需要回归至函数零点的定义，从根源上寻求它的解决方法。由于函数关系给出了定义域的一个“划分”，在划分后的同一个集合中的元素的函数值具有相同的特性。
如，对于函数y=f(x)=x-1，集合(-∞,1)中的每一个元素对应的函数值均小于零，而集合(1,+∞)中的每一个元素对应的函数值均大于零。
利用这一性质，我们可以归纳数零点存在的一个充分条件----如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)＜0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点，使得因此，借助这个充分条件可以帮助我们分析并说明函数f(x)=x3+x-1是否存在变号零点。
　　【学生活动3】
　　1.引导学生归纳出函数零点存在的一个充分条件，并理解函数的变号零点与不变号零点；
　　2.学生完成课本的“思考与讨论”：
　　（1）上述性质中为什么要求函数的图象不间断？为什么只能得出“至少有一个零点”的结论？请画图说明；
　　（2）为什么这个结论只具有充分性？
　　（3）上述性质对寻找函数的零点有什么作用？
　　（4）如何进一步判断方程的根的个数？
　　设计意图：通过具体实例让学生发现并不是所有函数都可以求出精确的零点值，但是根据零点的定义我们可以寻求函数零点存在的一个充分条件，为进一步寻求解决函数零点近似解的方法做好铺垫。
　　问题4：利用函数零点存在的充分条件如何求函数零点的近似解。
　　分析：依据这个性质，我们可以找到函数零点存在的一个区间，如果再将这个区间尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到零点的近似值.
这节课，我们学习一种求函数零点的近似值的计算方法----二分法.“二分法”依据的就是函数零点存在的这个充分条件。
　　已知函数y=f(x)定义在区间D上，且其图象不间断，求它在D上的一个零点的近似值X，使它满足给定的精确度。
下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤。
第一步
在D内取一个闭区间，使与异号，即·
<0，则。
第二步取区间的中点﹐则此中点对应的坐标为。
计算.和，并判断:
如果=0，则就是f(x)的零点，即，计算终止;
如果<0，则，令，
;
(3）如果>0，则，令，
;
第三步取区间的中点﹐则此中点对应的坐标为
计算和，并判断:
如果=0，则就是f(x)的零点，即，计算终止;
如果<0，则，令，
;
如果>0，则，令，
;
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当区间长
度。不大于给定的精确度时，这个区间中的任何一个数都可以作为函数
y
=f(x)的近似零点x，计算终止。
注:二分法只能求函数的变号零点的近似值，并且由于运算的程序性很强可以借助计算机软件来实施.
　　二、例题讲解，深化理解
　　例1说明函数f(x)=x3+x
-1只有一个零点x0，且.
解
因为f(0)=-1<0，f(1)=1>0，所以函数f(x)
=x3+x-1在区间(0,1)内至少有一个零点.又因为函数f(x)是一个增函数，所以在区间[0,1]只有一个零点，记为x0，则.当.x<0时，f(x)>1时，f(x)>f(1)=1>0.综上所述，函数f(x)=
x3+x-1只有一个零点x0，且.
例2求函数f(x)=
x3+x2-2x-2的一个正实数零点（精确到0.1)
.
解
由于f(1)=-2<0，f(2)=6>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下:
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
由上表的计算可知，区间[1375,1.4375]的长度不大于0.1，因此可取1.4为所求函数的一个正实数零点的近似值.我们可以用计算机画出函数f(x)=
x3+x2-2x-2的图象如图所示.当然上述过程还可以继续下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.
　　
　　
三、课堂练习，巩固所学
　　1.
求下列函数的零点：
　　（1）f(x)=-3x+2；
（2）f(x)=x3-8x；
　　2.函数f(x)=x3-3x2+2x-6的一个正零点的近似值（精确到0.1）。
　　设计意图：通过这两道练习题巩固函数零点的定义及求法，并熟悉利用“二分法”求函数零点近似解的解法，在解决的过程中进一步理解“二分法”的应用原理依据。
　　四、归纳总结：
　　1.函数零点的定义及求法；
　　2.二分法求函数零点的近似解。
　　五、作业
　　（一）基础练习
　　1.
求下列函数的零点：
　　（1）f(x)=x2-5x+4；
（2）
　　2.
判断下列说法是否正确：
　　（1）若函数f(x)在区间[1,4]上有f(1)f(4）＜0，则函数f(x)在区间(1,4）内至少有一个零点；（
）
　　（2）若函数f(x)在区间[1,4]上有f(1)f(4）＞0，则函数f(x)在区间(1,4）内一定没有零点；（
）
　　3.
下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0：
　　（1）f(x)=-x2+2x+8；
（2）f(x)=(x+2)x2。
　　4.
借助计算器或计算机，用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确到0.01）。
　
5.
若函数f(x)=x3+ax2+
bx+c有三个零点-1,1,x0，且x
∈(2,3)，求实数c的取值范围。
　
?