3.3 函数的应用（一）教案-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.3
函数的应用（一）
教案
教学课时：1课时
　　教学目标：
　　1.了解数学在实际问题中的应用，发展应用数学的意识和能力；
　　2.通过实例，经历建立函数模型，并用其解决有关的实际问题的过程，理解建立函数模型的方法，体会数学在生活中的应用；
　　3.经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一般的思想方法。
　　教学重点：
　　根据实际问题的需要，建立一次函数、二次函数等函数模型解决问题。
　　教学难点：
　　选择适当的函数模型解决实际问题。
　　　教学过程：
　　一、
提出问题、师生探究
　　我们学过的函数不但可以解决很多数学问题，还可以运用函数知识和方法解决实际问题，在生活中有着广泛的应用。
　　运用函数解决实际问题，通常我们遵循以下几个步骤：
　　　步骤：审题——转化——建立模型（函数关系式）——解答——检验实际问题。
　　1.阅读理解审清题意：读题时要抓住题目中的关键字、词、句，认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)。
　　2.建立文字数量关系：在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成简单的图或表的形式，从而列出题中各种数量之间的关系，为建立数学模型做好准备。
　　3.准确建立数学模型：将文字语言、符号语言、图表语言所表达的数量关系转化成数学语言，建立相应的数学模型，转化为一个数学问题，其中特别注意变量的范围.
准确建立数学模型是解应用题的关键。
　　4.解决数学模型问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
　　5.检验结果还原作答：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
　　二、例题讲解、学以致用
　　下面我们一起来看看几个实际问题：
　　例1：（课本121页例1）为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示：
　　分档
　　户年用水量/m3
　　综合用水单价/(元·m3)
　　第一阶梯
　　0-220（含）
　　3.45
　　第二阶梯
　　220-300（含）
　　4.83
　　第三阶梯
　　300以上
　　5.83
　　记户年用水量为x
m3时应缴纳的水费为f(x)元。
　　（1）写出f(x)的解析式；
　　（2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？
　　【交流与讨论1：】
　　①
何为阶梯水价？能否举例说明？
　　②?f(x)和哪个函数模型有关？
　　【设计意图】：通过让学生举例说明阶梯水价的含义更好的理解题意，从而能够顺利建立分段函数模型
　　【学生活动1】：根据上面的讨论，求出f(x)的解析式.
　　解：（1）由题目可知，f(x)是一个分段函数，
　　当0＜x≤220时，f(x)=3.45x；
　　当220＜x≤300时，f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6；
　　当x＞300时，f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6；
　　所以：
　　（2）因为220＜260≤300，所以f(260)=4.83×260-303.6=952.2
　　答：张明一家2015年应缴纳水费952.2元.
　　【设计意图】：学生亲身实践，体会一次函数在实际问题中的应用。
　　【交流与讨论2】
　　①
如何正确书写分段函数的解析式；
　　②
生活中还有哪些问题可以用分段函数来描述：如：阶梯电价，居民煤气费用，公民个人所得税计算方式等。
　　③
实行阶梯水价有什么好处？（在保证了居民正常生活用水的情况下，用水量越多，价格越高，有利于居民节约用水，提高环保意识。）
　　【设计意图】：
　　讨论交流分段函数的形式，避免学生书写错误或者不规范，体现数学的严谨性；
　　交流生活中还有哪些实际问题可以用分段函数解决，体现了用数学的角度去发现问题和解决问题的意识，以及归纳推广的思想方法；
　　交流阶梯水价的意义，有利于培养学生节约用水的环保意识。
　　例2：（课本123页例5）已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000，且当年产量是100时，总成本是6000。设改产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)。
　　（1）求f(Q)的解析式；
　　（2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值。
　　【交流与讨论3】：什么是平均成本？
　　这是函数在经济学中的应用，平均成本是指平均每生产一个单位产品所消耗的成本，等于总成本除以总产量。
　　【设计意图】：理清概念，理解题意，为顺利建立模型打下基础。
　　【学生活动2】：根据上面的讨论，求出f(Q)的表达式，并求出平均成本的最小值。
　　解：（1）将Q=100，C=6000代入C=aQ2+3000中，可得：
　　
1002a+3000=6000
从而：，于是
因此：　　
(2)分析:由可知:和均为正数且乘积为定值.可以运用
均值不等式求最小值.
当且仅当，即Q=100时，取等号.
答:当年产量为100时，平均成本最小，最小值为60.
　　三、课堂练习、深化理解
　　1.
（课本P124页练习A组第1题）
　　参考答案：y=x(1+2%)(1-2%)=0.9996x,x＞0
　　【注意自变量x范围】
　　2.
（课本P124页练习A组第2题）
　　参考答案：
　　【注意自变量x范围】
　　3.
（课本P124页练习B组第1题）
　　参考答案：
（1）
　　?
（2）P(x)在x=62或63时取得最大值74120元，MP(x)在x=1时取得最大值2440元，因此它们不具有相同的最大值。
　　四、课堂小结、回顾反思
　　运用函数解决实际问题，关键在“审题”，这是建立函数模型的重要一步，通过审题，理清问题中的数量关系和因果关系，同时在审题的时候注意准确理解有关概念，如利润，成本，平均成本等。
　　五、布置作业、巩固练习
　　课本P124页练习A组第3题；
　　课本P124页练习B组第2题。