河南省平顶山市2020-2021学年高二下学期期末调研考试数学理科试题 Word版含答案解析

河南省平顶山市2020-2021学年高二下学期期末调研考试
理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数false在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．有下列四个命题：
①若false，则false；
②若false，false，则false；
③若false，则false．
④若false，则false．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．与双曲线false共焦点，且离心率为false的椭圆的标准方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知等比数列false是递增数列，若false，且false，false，false成等差数列，则false的前4项和false（ ）
A．4 B．40 C．4或40 D．15
6．已知抛物线false的顶点在坐标原点，准线方程为false，过其焦点false的直线false与抛物线false交于false，false两点，若直线false的斜率为1，则弦false的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．设变量false，false满足约束条件false则目标函数false的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．false D．false
9．false的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中false的系数为（ ）
A．false B．504 C．false D．70
10．设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量false，且false，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为（ ）
参考数据：若false，则false，false，false．
A．0.97725 B．0.84135 C．0.6827 D．0.15865
11．观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列．
1 2 3 4 …第一行
2 3 4 5 …第二行
3 4 5 6 …第三行
4 5 6 7 …第四行
… … … …
第一列 第二列 第三列 第四列
若第false行与第false列的交叉点上的数记为false，则false（ ）
A．210 B．399 C．400 D．420
12．已知定义在false上的函数false的导函数为false，且false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的false列联表：
-679451905
患该疾病
不患该疾病
总计
男
15
10
25
女
5
20
25
总计
20
30
50
则______（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．
参考公式：false，其中false．
参考数据：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知正项数列false的前false项和为false，false，且false．
（Ⅰ）求false的通项公式；
（Ⅱ）记false，求false的前false项和false．
18．（12分）
如图，在三棱柱false中，false，false，false，false．
（Ⅰ）证明：平面false平面false；
（Ⅱ）求二面角false的余弦值．
19．（12分）
某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为false，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为false，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为false元，求false的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．
20．（12分）
已知椭圆false：false经过点false，连接椭圆false的四个顶点得到的菱形的面积为false．
（Ⅰ）求椭圆false的标准方程．
（Ⅱ）设false为原点，直线false：false与椭圆false交于两个不同点false，false，直线false与false轴交于点false，直线false与false轴交于点false，问：false是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21．（12分）
已知函数false．
（Ⅰ）讨论函数false的单调性；
（Ⅱ）若函数false在false上是增函数，求实数false的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为参数），在以原点false为极点，false轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线false的极坐标方程为false．
（Ⅰ）写出false的普通方程和false的直角坐标方程；
（Ⅱ）若false与false相交于false，false两点，求false的面积．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数false．
（Ⅰ）若false，求不等式false的解集；
（Ⅱ）若关于false的不等式false在false上恒成立，求实数false的取值范围．
2020—2021学年第二学期高二期末调研考试
理科数学?答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案A
命题意图 本题考查复数的运算以及复数的几何意义．
解析 false，故复数false在复平面内对应的点位于第一象限．
2．答案C
命题意图 本题考查不等式的性质．
解析 ①中，若false，则false，则false，所以false，①正确；②中，当false，false时，不成立，②错；③正确；④中，由false，可得false，④正确．故选C．
3．答案A
命题意图 本题考查充分必要条件的判断和分式不等式的解法．
解析 不等式false可化为false解得false，因为false，但false
false，所以“false”是“false”的充分不必要条件．
4．答案C
命题意图 本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质．
解析 设椭圆的半焦距为false．由题知，椭圆的焦点坐标为false，false，所以false，再由false，可得false，所以false，则椭圆的标准方程为false．
5．答案B
命题意图 本题考査等差中项、等比数列的通项与求和．
解析 设false的公比为false，由于false，false，false成等差数列，所以false．因为false，所以false，即false，解得false（舍去），或false，所以false．
6．答案D
命题意图 本题考查抛物线的标准方程、抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系．
解析 依题意得，抛物线false的方程是false，直线false的方程是false．联立false消去false，得false，即false．设false，false，则false，所以false．
7．答案C
命题意图 本题考查超几何分布．
解析 设false表示取出的螺丝钉恰有false只是坏的，则false．
∴false．
8．答案D
命题意图 本题考查线性规划．
解析 由题意知，约束条件false所表示的平面区域的顶点分别为false，false，false．目标函数false可化为false，当过false点时，直线false的纵截距最大，此时false最小，将false代入目标函数可得false，故false的最小值为false．
9．答案A
命题意图 本题考查二项式定理．
解析 由题可知false，解得false．false的展开式的通项为false
false．再令false，解得false．所以展开式中false的系数为false．
10．答案B
命题意图 本题考查正态分布及其简单应用．
解析 ∵false，∴false，∴false，∴false．
11．答案C
命题意图 本题考查归纳推理和等差数列的求和．
解析 根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，由此可以推导出第false行与第false列交叉点上的数应该是false，所以false
false．
12．答案B
命题意图 本题考查导数在研究函数中的应用．
解析 由false，可知false．设false，则false
false，所以false，false．又由false，可得false，所以false．所以当false时，false，false单调递减；当false时，false，false单调递增．所以false的最小值为false．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 没有
解析 由公式得false，故没有99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等差数列的通项和数列的求和．
解析（Ⅰ）由false，可得数列false是以false为首项、1为公差的等差数列，
所以false，得false．
当false时，false，
当false时也符合上式，
故false的通项公式为false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知false，
所以false，
则false，
false，
两式相减得false
false
false，
所以false．
18．命题意图 本题考查垂直关系的证明和二面角的求解．
解析（Ⅰ）因为在三棱柱false中，false，
所以false，false．
又false，
所以false平面false．
又因为false平面false，所以平面false平面false．
（Ⅱ）如图，作false，垂足为false．
因为false平面false，平面false平面false，
所以false平面false．
由false，false，可求得false，false．
以false为坐标原点，false的方向为false轴的正方向，false的方向为false轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系false，
则false，false，false，false，false．
设平面false的法向量为false，
则false，即false令false，可得false，false，
所以可取false．
又平面false的法向量可取false，
所以false，
因此二面角false的余弦值为false．
19．命题意图 本题考查随机变量的分布列与数学期望．
解析（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为|false，小红中奖的概率为false，且两人中奖与否互不影响．
记“false”的事件为false，则事件false的对立事件为false，即“false”，
因为false，
所以false，
即false的概率为false．
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为false元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为false元，则false的可能取值为0，300，600，false的可能取值为0，350，700．
false，
false，
false，
false，
false，
false，
所以false，false的分布列如下：
false
0
300
600
false
false
false
false
false
0
350
700
false
false
false
false
所以false，
false．
因为false，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大．
20．命题意图 本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系．
解析（Ⅰ）由题意，得false，
再由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为false可得false，
所以false．
所以椭圆false的标准方程为false．
（Ⅱ）设false，false，
则直线false的方程为false．
令false，得点false的横坐标false．
又false，从而false，同理，false．
由false得false，则false，false．
所以false，
即false为定值2．
21．命题意图 本题考査导数在研究函数中的应用．
解析（Ⅰ）由题可知false的定义域为false，
false．
令false，得false．
∴当false时，false，函数false单调递减；
当false时，false，函数false单调递增．
（Ⅱ）由题可知false，
则false．
∵false在false上是增函数，
∴false在false上恒成立．
∴对任意false，不等式false恒成立，等价于false恒成立．
令false，则false，false．
令false，则false，
∵false，∴false，
∴false在false上单调递减，
∴当false时，false，当false时，false，
即函数false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，
∴false，从而false，即false的取值范围为false．
22．命题意图 本题考查极坐标方程与参数方程及其应用．
解析（Ⅰ）由false（false为参数），消去参数false可得，曲线false的普通方程为false．
曲线false的极坐标方程为false，即false，所以false的直角坐标方程为false．
（Ⅱ）由曲线false的普通方程为false，可知它表示圆心为false，半径false的圆．
圆心false到直线false的距离false，
故false．
原点false到直线false的距离false．
所以false．
所以false的面积为false．
23．命题意图 本题考查求绝对值不等式的解集及绝对值不等式恒成立问题．
解析（Ⅰ）依题意，false
当false时，false，解得false；
当false时，false，解得false；
当false时，false，无解．
综上可得，不等式false的解集为false．
（Ⅱ）因为false在false上恒成立，
所以false，即false，所以false，
所以false
由①，得false．
由②，得false在false上恒成立，所以false．
因为false，所以false．
综上所述，实数false的取值范围为false．