七年级数学三角形高、中线与角平分线

(共29张PPT)
7.1.2三角形的高、
中线与角平分线
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
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画法
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预习 探路
创设情境
1
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
三角形的高
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形这边上的高，
简称三角形的高。
如图, 线段AD是BC边上的高.
M
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高交于同一点.
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
O
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
A
B
C
D
E
F
使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合
方法构想
1
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。
将你的结果与同伴进行交流.
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
直角边BC边上的高是 ;
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是 ;
BD
●
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
议一议
(1) 钝角三角形的
三条高交于一点吗？
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
小结1:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三条高所在直线的
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的中线
在三角形中,连接一个
顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
A
B
C
D
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线,你发现了什么
●
●
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形中线的理解
E
F
O
理性提升
例：如图，AB=5，AC=3,AD是中线，
则△ ABD与△ ADC的周长相差多少？
△ ABD与△ ADC的面积相差多少？
A
C
D
B
5
3
如下图中,已知AD、AE分别是△ABC的中线、高. 有AB=5cm,AC=3cm,则△ABD与△ACD的周长之差为_____, △ABD与△ACD的面积关系为_______.
1、
A
B
C
D
E
分析(1)△ABD的周长=AB+AD+BD
△ACD的周长=AC+AD+DC
△ABD的周长与△ACD的周长之差
= (AB+AD+BD)－(AC+AD+DC)
而BD=CD.所以上式=AB－AC=5－3=2
(2) △ABD= BD×AE
　　　　　　　　　　　　而BD=DC　　　　　
△ACD= DC×AE
①任何三角形有三条中线，并且
都在三角形 的内部，交于一点。
②三角形的中线是一条线段。
③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的
三角形。
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。
想一想可以画几条？他们有什么特点？
也就是说：三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的三角形。
E
A
B
C
D
如右图
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= BD×AE
△ADC的面积= DC×AE
故△ABD的面积= △ADC的面积
三角形的角平分线
叫做三角形的角平分线。
A
B
C
D
∵AD是 △ ABC的角平分线
∴∠ BAD = ∠ CAD =
１
２
∠BAC
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么
●
●
在三角形中，一个
内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
︶
︶
1
2
A
C
B
F
E
D
O
∵BE是△ABC的角平分线
∴____=_____= _____
∴∠ACB=2______=2______
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线
∠BCF
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线
角平分线的理解
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
B
D
随堂练习
1
3、
如下图，在△ABC中，∠1=∠2,G为
AD的中点，延长BG交AC于E,F为
AB上一点，CF⊥AD于H,下面判断
正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH为△ACD边AD上的高。
1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
A
如下图，在△ABC中，∠1=∠2,G为
AD的中点，延长BG交AC于E,F为
AB上一点，CF⊥AD于H,下面判断
正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
A
E
B
D
如下图，在△ABC中，∠1=∠2,G为
AD的中点，延长BG交AC于E,F为
AB上一点，CF⊥AD于H,下面判断
正确的有（ ）
②BE是△ABD边AD上的中线；
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
A
B
D
E
如下图，在△ABC中，∠1=∠2,G为
AD的中点，延长BG交AC于E,F为
AB上一点，CF⊥AD于H,下面判断
正确的有（ ）
③CH为△ACD边AD上的高。
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
D
C
A
H
拓展练习
1、填空：
（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。
（2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB=2 。
AF
CD
AC
∠2
∠ABC
∠4
拓展练习
2.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。 ΔABC的面积是56cm2填空：
（1）BE= = ；
（2）∠BAD= = ；
（3）∠AFB= =90°；
（4）S ΔACE=_______.
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠AFC
28cm2
拓展练习
3.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )
A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一
D
拓展练习
4.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.∠C的对边是DE
D
现在做中考题
（2010．昆明）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（　）
注意三角形的角平分线的应用
A．80° B．90°
C．100° D．110°
D
2.如右图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C= ____∠BED= 。
A
B
C
D
1
2
E
3.如图所示:△ABC中,AD⊥BC于D, BE⊥AC于E, CF⊥AB于F,则△OBC的高是 。OF是哪些三角形的高？
F
E
D
B
C
O
A
600
650
AD
△ AOB, △ AOF, △ BOF
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
三角形的
角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
今天我们学了什么呀？
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念
及它们的画法。
2. .三角形的高、中线、角平分线
几何表达及简单应用。
知识小结