安徽省涡阳第—高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

涡阳第一高中2020级高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题（共60分）
1复数z=1+6i的虛部是（　　）
A. i B.6i C.1 D.6
2.在△ABC中，a=1，C=60°， 若c=false，则A的值为（　　）
A.30°或150° B.30° C.60°或 120° D.60°
3.若平面α和直线a，b满足a∩α=A，false，则a与b的位置关系一定是（　　）
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面
4.在△ABC中，∠C=90°，false， 则false与false的夹角是（　　）
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.若在复平面内，复数3-2i、1-2i、2+i所对应的点分别为A，B，C，则△ABC的面积为（　　）
A.6 B.4 C.3 D. 2
6.已知D， E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则false= （　　）
A. false B. false C. false D. false
7.如图所示，正方体false的面A1C1， B1C， CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线AO与直线O2O3所成的角为（　　）
A.90° B.60° C.45° D.30°
8. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1， 该三角形的面积为false，则false的值为（　　）
A. false B. false C. false D. false
9.在三棱锥P- ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为false的等边三角形，PA=PB=false， 则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A. false B. 16π C. false D. false
10.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点false，若false，则入的取值范围是（　　）
A. false B. [0.1] C. false D. false
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知false，且false，点O满足false，false，则△ABC的面积为（　　）
A. false B. false C. false D. false
12.平面α过正方体false的顶点A， α//平面CB1D1，α∩平面ABCD= m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（　　）
A. false B. false C. false D. false
二、填空题（共20分）
13已知复数z满足（1+i）·z=1-i （i为虚数单位），false=_ 。
14.已知向量false，false。若false， 则false= 。
15. 如图，四边形ABCD中，△ABD、△BCD分别是以AD， BD为底的等腰三角形，其中AD=1， BC=4，∠ADB=∠CDB，则AC= 。
16.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2，BE// CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE则BE+CD的最小值为_ 。
三、解答题（共70分）
17. （本题10分）已知复数z=（m2-m）+（m+3）i （m∈R）在复平面内对应点Z.
（1）若m=2，求false；
（2）若点Z在直线y=x上，求m的值.
18. （本题12分）已知false，a∈R .
（1）若向量false，false，求false的值∶
（2）若向量false，false，证明∶false
19. （本题12分）如图所示，正三棱柱false的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点.
（1）证明∶ DE//平面ACC1A1；
（2）若三棱锥E- DBC的体积为false，求该正三棱柱的底面边长.
20.（本题12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知false。
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b.
21. （本题12分）在四棱锥P- ABCD中，∠ABC= ∠ACD= 90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=24B=4.
（1）求证∶ EM //平面PAC；
（2）取PC中点F ，证明∶ PC⊥平面AEF ；
（3）求点D到平面ACE的距离.
22. （本题12分）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
（2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.
（3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？
涡阳第一高中2020级高一下学期期末考试数学答案
1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A 8. A 9. A 10. C 11. D 12. A
13. 1 14. 10 15. 16.
17. （1） 29 ； （2） m=-1或m=3..
解∶（1）∵m=2， ∴z=2+5i，∴false；
（2）若点Z在直线y=x上，则m2 -m=m+3，
即m2- 2m-3=0，解得m=-1或m=3.
18. （1）false∶ （2）详见解析.
解∶ （1）因为false
所以false
所以false
（2）因为false
false
所以false
所以false
19. （1）详见解析； （2） 1.
[详解]
解∶ （1） 如图，连接AB1， AC1，
∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，
∴在△B1AC1中，DE// AC1，
∵DEfalse平面ACC1A1， AC1false平面ACC1A1，
∴DE//平面ACC1A1.
（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC
∵D是A1B的中点，
∴点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半. .
如图，作AF⊥.BC交BC于点F，
由正三棱柱的性质可知，AF⊥平面BCC1B1.
设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高false，
false
∴false，解得a=1
∴该正三棱柱的底面边长为1.
20. （1）false；（2） 2.
解∶ （1）false，∴false，∵false，
∴false，∴false，∴false；
（2）由（1）可知false
∵ false，∴false，
∴. false
∴b=2.
21. （1）见解析； （2） 见解析； （3）false
解∶（1）因为E为PD的中点，M为AD的中点，
则在△PAD中，EM//A，
又因为PAfalse平面PAC， MEfalse平面PAC，则EM //平面PAC
（2）证明∶因为PC中点F，
在Rt△4BC中，AB=2，∠BAC=60°， 则BC=false，AC=4.
而PA=4，则在等腰三角形APC中PC ⊥AF①.
又在△PCD中，PE= ED，PF=FC，则EF//CD，
因为PA⊥平面ABCD，CDfalse平面ABCD，则PA⊥CD，
又∠ACD=90°，即AC⊥CD，AC∩PA=A，
则CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD，因此EF⊥PC②.
又EF∩AF=F， 由①②知PC⊥平面AEF ；
（3）在Rt△ACD中，CD=false，AC=4，∴false，
又EM//PA，PA⊥平面ABCD，
∴EM⊥平面ABCD，即EM为三棱锥E-ACD的高，
∴false
在△ACE中，AE=CE=false， AC=4，∴false，
设点D到平面ACE的距离为h，
则false，
∴.h=false， 即点D到平面ACE的距离为false.
22. （1） 9km/h； （2） 90°； （3）划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追.上这名运动员； 4h.
解∶（1）设划艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，th后与运动员在C处相遇，
过B作AC的垂线BD，则BD=45，AD= 60，
在△ABC中，AB=75， AC=15t， BC=vt，
则false，false。
由余弦定理，得false，
得false
整理得∶false
当false，即false时，v2 取得最小值81，即false，
所以划艇至少以9km/h的速度行驶才能把追.上这位运动员.
（2）当v=9 km/h时，
在△ABC中，AB=75， false，false
由余弦定理，得false，
所以∠ABC= 90°，
所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.
（3）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶，
假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即BD方向行驶，而BD=45，
此时到海岸距离最短，需要的时间最少，
所以需要∶false，而4h时运动员向东跑了∶false， .
而AD= 60，即4h时，划艇和运动员相遇在点D.
所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要4h.