天津市天津一中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

1046480011633200天津一中2020-2021-2高二年级数学学科期末质量调查试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）?第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
一?选择题：（每小题4分，共32分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知命题false，总有false，则命题p的否定为（ ）
A．false，使得false B．false，使得false
C．false，使得false D．false，使得false
3．已知函数false则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知false，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．函数false的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．某学校举办冰雪知识竞赛，甲?乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架雪车，跳台滑雪，冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲?乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有（ ）种
A．180 B．225 C．200 D．4007．已知函数false，对于实数a，使false减成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
8．已知函数false，则以下结论正确的是（ ）
①false在false上为增函数
②当false时，方程false有且只有3个不同实根
③false的值域为false
④若false，则false．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
第Ⅱ卷
二?填空题：（每小题4分，共24分）9．已知复数z满足false（i为虚数单位），则false________．
10．函数false在false处取得极值，则a的值为_______．
11．false的展开式中，false项的系数是________．
12．已知定义在R上的函数false满足false，当false时，false，则false________．
13．已知false，且false，则false的最小值为_______．
14．若函数false在区间false有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_______．
三?解答题：（本大题共4小题共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．某学习小组有6名同学，其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2名同学曾经参加过数学研究性学习活动．
（Ⅰ）现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
（Ⅱ）若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数X是一个随机变量，求随机变量X的分布列及均值．16．已知函数false
（Ⅰ）求函数false的单调区间；
（Ⅱ）求函数false的极值；
（Ⅲ）若对任意的false，不等式false恒成立，求a的取值范围．
17．如图，在三棱柱false中，false平面false，点D，E分别在棱false和棱false上，且false，M为棱false的中点．
（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）求平面角false与平面false的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求直线false与平面false所成角的正弦值．
18．已知函数false
（Ⅰ）若函数false的图像在false处的切线方程是false，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数false在R上是单增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）如果false恰有两个不同的极值点false，证明false．
参考答案
一、选择题
1．B 【解析】
【分析】求出集合M，N后可得它们的交集．
【详解】false，
故false．
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交运算以及一元一次不等式?一元二次不等式的解，考虑集合运算时，要认清集合中元素的含义，如false表示函数的定义域，而false表示函数的值域，false表示函数的图象．
2．B
3．C 【解析】
【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案．
【详解】由题意可知，false．
故选：C．
4．D 【解析】
解：∵false，且false，
∴false．
故选：D．
5．B 【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性排除A，D再根据false，排除C即得解．
【详解】解：根据题意，false，其定义域R，
有false，则函数false为偶函数，排除A，D，
false，排除C，
故选：B．
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证．
6．A 【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析，利用分步乘法原理求解．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①在六个门类中选出2类，作为甲乙共同选择的科目，有false种选法，
②甲乙从剩下的4类中，任选2个，有false种选法
则有false种选法，
故选：A．
【点睛】方法点睛：排列组合的实际应用题常用的解法有：简单问题原理法?相邻问题捆绑法?不相邻问题插空法?小数问题列举法?至少问题间接法?复杂问题分类法?等概率问题缩倍法，要根据已知条件灵活选择方法求解．
7．C 解析】
【分析】先利用导数法判断false在R上是增函数，再将false，转化为false求解．
【详解】当false时，false，则false，
所以false是增函数，
当false时，false是增函数，
又false，
所以函数false在R上是增函数，
因为false，
所以false，
所以false，即false，
解得false，
所以使false成立的一个必要不充分条件是false，
故选：C
8．D 【解析】
解：对于A：当false时，false单调递增，
当false时，false单调递增，
当false时，false，
作出函数false图像可得：
所以false在false时，单调递增，故A不正确；
对于B当false时，false过点false，
所以当false时，false与false有两个交点，
当false时，令false，即false，解得false，
此时false与false的交点为false，
综上，false与false有三个交点，
即false有三个实数根，故B正确；
对于C：当false时，false，
结合图像可得false的值域为false，故C正确；
对于D：若false，
则false或false，
当false时，false，即为false，
false恒过false点，
设过false与false相切的切线的切点为false，
所以false解得false，false，
所以当false时，false的k的取值范围为false，
当false时，false，即false，
设过点false与false相切的切线的切点为false，
false，
所以false，解得false，
所以当false时，false的k的取值范围为false，
综上所述，k的取值范围为false，故D正确．
故选：BCD．
二?填空题：
9．false 10．false
11．56 【解析】解：false的展开式中，
通项公式为false，
令false，可得false项的系数是false．
12．false 【解析】
【分析】依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得false和false，进而可得到结果．
【详解】函数false满足：false，
可得：对false，都有false，∴函数false的周期false．
∴false，
由false得false，
∴false．
故答案为：false．
【点睛】结论点睛：定义在R上的函数false，若存在非零常数a，使得对false，都有，则函数false的周期false，false
13．4 【解析】
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为false，利用基本不等式即可求解．
【详解】∵false，∴false，false，∴falsefalse，当且仅当false时取等号，
结合false，解得false，或false时，等号成立．
故答案为：4
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题．
14．false 【解析】
【分析】利用导数可求得false在false上的单调性?极值和最值，由零点个数可确定false大致图象，由此可得不等关系，解不等式可求得结果．
【详解】∵false，
∴当false时，false；当false时，false；
∴false在false上单调递增，在false上单调递减，
又false，
则false在区间false有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示：
∴false，解得false，即实数m的取值范围为false．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离变量法：由false分离变量得出false，将问题等价转化为直线false与函数false的图象的交点问题．
三?解答题
15．【解析】
（1）记“恰好选到1名曾经参加过数学硏究性学习活动的同学”为事件A，
则false．
故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为false．
（2）依题意，随机变量false的取值可能为2，3，4则false，
false，
false．
故随机变量false的分布列为
false
2
3
4
P
false
false
false
false．
16．（1）单调增区间为false，单调减区间为false；
（2）极小值为false，极大值为false；
（3）false
【解析】试题分析：（1）先求出false的定义域，然后求false，再分别令false去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数false的极值，（3）由题意知false恒成立，整理得false，然后构造函数false，求其最大值即可．
试题解析：（1）false，定义域为
R．false， 1分
令false，令false．
令false，得false，
false，得false，或false．
所以函数false的单调增区间为false，单调减区间为false
（2）由（1）可知，当false时，函数false取得极小值，函数的极小值为false
当false时，函数false得极大值，函数的极大值为false
（3）若false，不等式false恒成立，即对于任意false，不等式false恒成立，
设false，false，则false
∵false，∴false恒成立，
∴false在区间false单调递增，∴false
∴false，∴a的取值范围是false
考点：利用求函数的极值?单调区间，利用参变量分离?构造函数求参数的取值范围．
17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）false；（Ⅲ）false．
【解析】
【分析】以C为原点，分别以false的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）计算出向量false和false的坐标，得出false，即可证明出false；
（Ⅱ）可知平面false的一个法向量为false，计算出平面false的一个法向量为false，利用空间向量法计算出二面角false的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线false与平面false所成角的正弦值．
【详解】依题意，以C为原点，分别以false?false?false的方向为x轴?y轴?z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得false、false、false、false、false、false、false、false、false．
（Ⅰ）依题意，false，
从而false，所以false；
（Ⅱ）依题意，false是平面false的一个法向量，
false．
设false为平面false的法向量，
则false，即false，
不妨设false，可得false．
false，
∴false．
所以，二面角false的正弦值为false；
（Ⅲ）依题意，false．
由（Ⅱ）知false为平面false的个法向量，于是false．
所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false．
【点睛】本题考査利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考査推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【解析】
（1）∵false，∴false．
于是由题知false，解得false．
∴false，∴false，于是false，解得false．
即false．
（2）由题意false即false恒成立，∴false恒成立．
设false，则false．
x
false
0
false
false
-
0
+
false
减函数
极小值
增函数
∴false，∴false．
（3）由已知false．
∴false．∵false是函数false的两个不同极值点（不妨设false），
若false时，false，即false是R上的增函数，false至多有一个极值点与已知矛盾
∴false，且false，false．
∴false．
两式相减得：false，
于是要证明false，即证明false，
两边同除以false，即证false，即证false，
即证false，令false．
即证false不等式，当false时恒成立．
设false，∴false．
∵由（2）知false，即false，∴false．
∴false，得证∴false．