2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳市育才中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2015高一下·枣阳开学考）函数y=cosx在图象上一点（ ）处的切线斜率为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
2．（2015高一下·枣阳开学考）在边长为4的等边△ABC中， 的值等于（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣8 D．8
3．（2015高一下·枣阳开学考）若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点
B．函数f（x）在区间（1，2）内有零点
C．函数f（x）在区间（0，2）内有零点
D．函数f（x）在区间（0，4）内有零点
4．（2015高一下·枣阳开学考）下列判断正确的是（ ）
A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53
C．0.83＜0.84 D．
5．（2015高一下·枣阳开学考）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（ ）
A．{1，2} B．{x|x≤1}
C．{﹣1，0，1} D．R
6．（2015高一下·枣阳开学考）已知函数f（x）=x3的图象为曲线C，给出以下四个命题：
①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数；
③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|，则g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是1．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2015高一下·枣阳开学考）下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（ ）
A．f（x）=x3 B．f（x）=﹣x﹣1
C．f（x）=log2x D．f（x）=2x
8．（2015高一下·枣阳开学考）函数y=sin22x是（ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
9．（2015高一下·枣阳开学考）（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值是 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
10．（2015高一下·枣阳开学考）已知向量 =（1，m）， =（m，2），若 ∥ ，则实数m等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ 或 D．0
11．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
12．（2015高一下·枣阳开学考）已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2013）=k，则f（﹣2013）=（ ）
A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k
二、填空题：
13．（2015高一下·枣阳开学考）如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且 ， ，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则 的最小值为 ．
14．（2015高一下·枣阳开学考）已知函数y=f（x）对于任意x∈R有 ，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：
①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；
②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；
③函数 的最大值是4；
④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；
⑤当x1，x2∈[1，3]时， ．
其中真命题的序号是 ．
15．（2015高一下·枣阳开学考）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 ．
16．（2016高一上·淮阴期中）函数f（x）=（ ）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是
三、解答题
17．（2015高一下·枣阳开学考）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， ），试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
18．（2015高一下·枣阳开学考）判断函数 在（0，1）上的单调性，并给出证明．
19．（2015高一下·枣阳开学考）已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）在闭区间[ ]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．
20．（2015高一下·枣阳开学考）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a= ，求A∩B．
（2）若A∩B= ，求实数a的取值范围．
21．（2015高一下·枣阳开学考）已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意 恒成立，求实数m的最大值．
22．（2015高一下·枣阳开学考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x﹣x2，
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，求a，b的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y=cosx，
∴y′=﹣sinx，
∴函数y=cosx在点（ ）处的切线斜率k=﹣sin =﹣ ．
故选D．
【分析】由y=cosx，知y′=﹣sinx，由此能求出函数y=cosx在点（ ）处的切线斜率．
2．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在边长为4的等边△ABC中，
=| | | |cos120°=4×4×（﹣ ）=﹣8，
故选：C．
【分析】直接根据向量的数量积计算即可．
3．【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，
函数的图象与x轴相交有多种可能，如图所示：
所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，
故选D．
【分析】因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象
可得函数f（x）必在区间（0，4）内有零点．
4．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A．∵1.50.3＞1＞0.80.3，∴正确；
B．∵函数y=1.5x在R上单调递增，∴1.52.5＜1.53，因此不正确；
C．∵函数y=0.8x在R上单调递减，∴0.83＞0.34，因此不正确；
D．∵ = ，函数y= 在R上单调递增，
∴ ，因此不正确；
故选：A．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
5．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，
∴B A，
观察备选答案中的4个选项，
只有{1，2} A．
故选：A．
【分析】由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B A，由此能求出结果．
6．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】①若点M在曲线C上，过点M的切线斜率只有一个，所以过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条，故正确；
②函数f（x）=x3是奇函数，图象关于原点对称，所以对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数0，故正确；
③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|=|x3﹣2sin2x|是偶函数，且g（0）=0，则g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）3≤8a3，∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正确．
故选：C．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论。
7．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．
B．f（x）f（y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=﹣（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立．
C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．
D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立．
故选：A
【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．
8．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：∵f（x）=sin22x= ﹣ cos4x∴f（﹣x）= ﹣ cos（﹣4x ）= ﹣ cos4x=f（x）为偶函数
T=
故选D．
【分析】先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．
9．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：根据tan45°=tan（21°+24°）= =1
得到tan21°+tan24°=1﹣tan21°tan24°，
可得tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1
同理得到tan22°+tan23°=1﹣tan22°tan23°，
tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1；
（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）
=[（1+tan21°）（1+tan24°）][（1+tan22°）（1+tan23°）]
=（1+tan24°+tan21°+tan24°tan21°）（1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°）
=（1+1﹣tan24°tan21°+tan24°tan21°）（1+1﹣tan22°tan23°+tan22°tan23°）
=4
故选C．
【分析】把原式的一四项结合，二三项结合，利用tan45°=tan（21°+24°）=tan（22°+23°）以及两角和的正切函数公式，分别化简后，即可求出结果．
10．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：∵ =（1，m）， =（m，2），且 ，所以1 2=m m，解得m= 或m= ．
故选C．
【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．
11．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
【分析】 根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．
12．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1，
∴f（x）﹣1=ax3+bx，
令F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx，
∵ab≠0，
∴函数F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx是奇函数，
∴F（﹣2013）=﹣F（2013），
即f（﹣2013）﹣1=﹣[f（2013）﹣1]=﹣k+1，
∴f（﹣2013）=2﹣k．
故选：D．
【分析】将f（x）=ax3+bx+1转化为f（x）﹣1=ax3+bx，则函数F（x）=f（x）﹣1为奇函数，然后利用奇函数的性质进行求解．
13．【答案】
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴ =| | | |cos120°=﹣
∵AM是△AEF的中线，
∴ = （ ）= （ + ）
同理，可得 = （ + ），
由此可得 = ﹣ = （1﹣m） + （1﹣n）
∴ =[ （1﹣m） + （1﹣n） ]2= （1﹣m）2+ （1﹣m）（1﹣n） + （1﹣n）2
= （1﹣m）2﹣ （1﹣m）（1﹣n）+ （1﹣n）2，
∵m+4n=1，可得1﹣m=4n
∴代入上式得 = ×（4n）2﹣ ×4n（1﹣n）+ （1﹣n）2= n2﹣ n+
∵m，n∈（0，1），
∴当n= 时， 的最小值为 ，此时 的最小值为 ．
故答案为：
【分析】由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出 =﹣ ．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到 = （ ）且 = （ + ），进而得到 = ﹣ = （1﹣m） + （1﹣n） ．将此式平方，代入题中数据化简可得 = （1﹣m）2﹣ （1﹣m）（1﹣n）+ （1﹣n）2，结合m+4n=1消去m，得 = n2﹣ n+ ，结合二次函数的性质可得当n= 时， 的最小值为 ，所以 的最小值为 ．
14．【答案】①②④
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（x+2）=﹣ =f（x），
∴f（x）是周期为2的函数，故①正确；
又因为当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，可知f（x）的图象，由图象可知②正确；
由图象可知f（x）=t∈[1，2]，函数 在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；
因为x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，所以[f（x）]2﹣f（x）=m，因为f（x）∈[1，2]，所以[f（x）]2﹣f（x）∈[0，2]，故m的范围是[0，2]，故④正确；
⑤由图象可知当x1，x2∈[1，3]时， ，故⑤错误．
故答案为：①②④．
【分析】利用条件， ，可得函数的周期性；当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，可知f（x）的图象，可得函数的单调性、最值，即可得出结论．
15．【答案】1﹣
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：y=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+
当 =2k ，有最小值1﹣
故答案为1﹣
【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式 化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
16．【答案】
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为x∈[﹣1，1]，所以
所以
即f（x）∈
故答案为：
【分析】根据x的范围确定 的范围，然后求出函数的值域．
17．【答案】解：设f（x）=xn，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（2， ），
∴2n= ，
∴n=﹣ ．
这个函数解析式为 y= ．
定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，
所以，y=f（x）是非奇非偶函数
当x＞0时，f（x）是单调减函数，
函数的图象如图．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．
18．【答案】解：是减函数．
证明：设0＜x1＜x2＜1，
则 = ，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．
19．【答案】（1）解：f（x）=2（sin2x+cos2x）2﹣4sin2xcos2x+cos22x﹣3
=2×1﹣sin22x+cos22x﹣3
=cos22x﹣sin22x﹣1
=cos4x﹣1
函数的最小正周期T= =
（2）解：x∈[ ]
4x∈[ ]
∴f（x）=cos4x﹣1在[ ]是减函数
当x= 时
f（x）有最小值f（ ）=cos ﹣1=﹣ ﹣1，此时x的集合是
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的性质
【解析】【分析】通过同角三角函数的基本关系式，二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用周期公式求出函数的最小正周期．（2）通过x∈[ ]，求出 4x∈[ ]，利用函数的单调性，求出函数的最小值，以及x的集合即可．
20．【答案】（1）解：当a= 时，A={x| }，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）解：若A∩B=
当A= 时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠ 时，有
∴﹣2＜a≤ 或a≥2
综上可得， 或a≥2
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）当a= 时，A={x| }，可求A∩B（2）若A∩B= ，则A= 时，A≠ 时，有 ，解不等式可求a的范围
21．【答案】（1）解：∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
∴f'（x）＞0有 ，∴函数f（x）在 上递增，f'（x）＜0有 ，
∴函数f（x）在 上递减，
∴f（x）在 处取得极小值，极小值为
（2）解：∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3
即mx≤2x lnx+x2+3，又x＞0，
∴ ，
令 ，
令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，
∴h（x）min=h（1）=4．
∴m≤4，
即m的最大值为4．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．
22．【答案】（1）解：设x＜0，可得﹣x＞0，
∵当x≥0时f（x）=2x﹣x2，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，
∴f（x）=x2+2x
∴f（x）=
（2）解：∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1
f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a﹣a2，2b﹣b2]，
f（x）的值域为 ，∴ 解得a=b=1，（舍去）
若1＜a＜b，可得值域为[2b﹣b2，2a﹣a2]，f（x）的值域为 ，
∴ ，解得a=b=1，
若0＜a≤1≤b，可得x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=2﹣1=1，
最小值在x=a或x=b处取得，
∵当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，
∴ =1，可得a=1，
若 =2a﹣a2，可得b=1（舍去）；
若 =2b﹣b2，化简得（b﹣1）（b2﹣b﹣1）=0解得b1= ，b2= （舍去），
∴a=1，b=
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）由题意设x＜0，得﹣x＞0利用已知的解析式求出f（﹣x）=﹣x2﹣2x，再由f（x）=﹣f（﹣x），求出f（x）时的解析式．（2）因为0＜a＜b，利用配方法，可以证明f（x）在x＞0时的单调性，需要分类讨论，再对其进行求解；
1 / 12015-2016学年湖北省襄阳市枣阳市育才中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2015高一下·枣阳开学考）函数y=cosx在图象上一点（ ）处的切线斜率为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y=cosx，
∴y′=﹣sinx，
∴函数y=cosx在点（ ）处的切线斜率k=﹣sin =﹣ ．
故选D．
【分析】由y=cosx，知y′=﹣sinx，由此能求出函数y=cosx在点（ ）处的切线斜率．
2．（2015高一下·枣阳开学考）在边长为4的等边△ABC中， 的值等于（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣8 D．8
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在边长为4的等边△ABC中，
=| | | |cos120°=4×4×（﹣ ）=﹣8，
故选：C．
【分析】直接根据向量的数量积计算即可．
3．（2015高一下·枣阳开学考）若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点
B．函数f（x）在区间（1，2）内有零点
C．函数f（x）在区间（0，2）内有零点
D．函数f（x）在区间（0，4）内有零点
【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，
函数的图象与x轴相交有多种可能，如图所示：
所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，
故选D．
【分析】因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象
可得函数f（x）必在区间（0，4）内有零点．
4．（2015高一下·枣阳开学考）下列判断正确的是（ ）
A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53
C．0.83＜0.84 D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A．∵1.50.3＞1＞0.80.3，∴正确；
B．∵函数y=1.5x在R上单调递增，∴1.52.5＜1.53，因此不正确；
C．∵函数y=0.8x在R上单调递减，∴0.83＞0.34，因此不正确；
D．∵ = ，函数y= 在R上单调递增，
∴ ，因此不正确；
故选：A．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
5．（2015高一下·枣阳开学考）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（ ）
A．{1，2} B．{x|x≤1}
C．{﹣1，0，1} D．R
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，
∴B A，
观察备选答案中的4个选项，
只有{1，2} A．
故选：A．
【分析】由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B A，由此能求出结果．
6．（2015高一下·枣阳开学考）已知函数f（x）=x3的图象为曲线C，给出以下四个命题：
①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数；
③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|，则g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是1．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】①若点M在曲线C上，过点M的切线斜率只有一个，所以过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条，故正确；
②函数f（x）=x3是奇函数，图象关于原点对称，所以对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数0，故正确；
③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|=|x3﹣2sin2x|是偶函数，且g（0）=0，则g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）3≤8a3，∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正确．
故选：C．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论。
7．（2015高一下·枣阳开学考）下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（ ）
A．f（x）=x3 B．f（x）=﹣x﹣1
C．f（x）=log2x D．f（x）=2x
【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．
B．f（x）f（y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=﹣（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立．
C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．
D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立．
故选：A
【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．
8．（2015高一下·枣阳开学考）函数y=sin22x是（ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：∵f（x）=sin22x= ﹣ cos4x∴f（﹣x）= ﹣ cos（﹣4x ）= ﹣ cos4x=f（x）为偶函数
T=
故选D．
【分析】先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．
9．（2015高一下·枣阳开学考）（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值是 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：根据tan45°=tan（21°+24°）= =1
得到tan21°+tan24°=1﹣tan21°tan24°，
可得tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1
同理得到tan22°+tan23°=1﹣tan22°tan23°，
tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1；
（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）
=[（1+tan21°）（1+tan24°）][（1+tan22°）（1+tan23°）]
=（1+tan24°+tan21°+tan24°tan21°）（1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°）
=（1+1﹣tan24°tan21°+tan24°tan21°）（1+1﹣tan22°tan23°+tan22°tan23°）
=4
故选C．
【分析】把原式的一四项结合，二三项结合，利用tan45°=tan（21°+24°）=tan（22°+23°）以及两角和的正切函数公式，分别化简后，即可求出结果．
10．（2015高一下·枣阳开学考）已知向量 =（1，m）， =（m，2），若 ∥ ，则实数m等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ 或 D．0
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：∵ =（1，m）， =（m，2），且 ，所以1 2=m m，解得m= 或m= ．
故选C．
【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．
11．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
【分析】 根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．
12．（2015高一下·枣阳开学考）已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2013）=k，则f（﹣2013）=（ ）
A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1，
∴f（x）﹣1=ax3+bx，
令F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx，
∵ab≠0，
∴函数F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx是奇函数，
∴F（﹣2013）=﹣F（2013），
即f（﹣2013）﹣1=﹣[f（2013）﹣1]=﹣k+1，
∴f（﹣2013）=2﹣k．
故选：D．
【分析】将f（x）=ax3+bx+1转化为f（x）﹣1=ax3+bx，则函数F（x）=f（x）﹣1为奇函数，然后利用奇函数的性质进行求解．
二、填空题：
13．（2015高一下·枣阳开学考）如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且 ， ，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴ =| | | |cos120°=﹣
∵AM是△AEF的中线，
∴ = （ ）= （ + ）
同理，可得 = （ + ），
由此可得 = ﹣ = （1﹣m） + （1﹣n）
∴ =[ （1﹣m） + （1﹣n） ]2= （1﹣m）2+ （1﹣m）（1﹣n） + （1﹣n）2
= （1﹣m）2﹣ （1﹣m）（1﹣n）+ （1﹣n）2，
∵m+4n=1，可得1﹣m=4n
∴代入上式得 = ×（4n）2﹣ ×4n（1﹣n）+ （1﹣n）2= n2﹣ n+
∵m，n∈（0，1），
∴当n= 时， 的最小值为 ，此时 的最小值为 ．
故答案为：
【分析】由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出 =﹣ ．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到 = （ ）且 = （ + ），进而得到 = ﹣ = （1﹣m） + （1﹣n） ．将此式平方，代入题中数据化简可得 = （1﹣m）2﹣ （1﹣m）（1﹣n）+ （1﹣n）2，结合m+4n=1消去m，得 = n2﹣ n+ ，结合二次函数的性质可得当n= 时， 的最小值为 ，所以 的最小值为 ．
14．（2015高一下·枣阳开学考）已知函数y=f（x）对于任意x∈R有 ，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：
①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；
②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；
③函数 的最大值是4；
④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；
⑤当x1，x2∈[1，3]时， ．
其中真命题的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（x+2）=﹣ =f（x），
∴f（x）是周期为2的函数，故①正确；
又因为当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，可知f（x）的图象，由图象可知②正确；
由图象可知f（x）=t∈[1，2]，函数 在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；
因为x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，所以[f（x）]2﹣f（x）=m，因为f（x）∈[1，2]，所以[f（x）]2﹣f（x）∈[0，2]，故m的范围是[0，2]，故④正确；
⑤由图象可知当x1，x2∈[1，3]时， ，故⑤错误．
故答案为：①②④．
【分析】利用条件， ，可得函数的周期性；当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，可知f（x）的图象，可得函数的单调性、最值，即可得出结论．
15．（2015高一下·枣阳开学考）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 ．
【答案】1﹣
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：y=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+
当 =2k ，有最小值1﹣
故答案为1﹣
【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式 化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
16．（2016高一上·淮阴期中）函数f（x）=（ ）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是
【答案】
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为x∈[﹣1，1]，所以
所以
即f（x）∈
故答案为：
【分析】根据x的范围确定 的范围，然后求出函数的值域．
三、解答题
17．（2015高一下·枣阳开学考）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， ），试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
【答案】解：设f（x）=xn，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（2， ），
∴2n= ，
∴n=﹣ ．
这个函数解析式为 y= ．
定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，
所以，y=f（x）是非奇非偶函数
当x＞0时，f（x）是单调减函数，
函数的图象如图．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．
18．（2015高一下·枣阳开学考）判断函数 在（0，1）上的单调性，并给出证明．
【答案】解：是减函数．
证明：设0＜x1＜x2＜1，
则 = ，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．
19．（2015高一下·枣阳开学考）已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）在闭区间[ ]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．
【答案】（1）解：f（x）=2（sin2x+cos2x）2﹣4sin2xcos2x+cos22x﹣3
=2×1﹣sin22x+cos22x﹣3
=cos22x﹣sin22x﹣1
=cos4x﹣1
函数的最小正周期T= =
（2）解：x∈[ ]
4x∈[ ]
∴f（x）=cos4x﹣1在[ ]是减函数
当x= 时
f（x）有最小值f（ ）=cos ﹣1=﹣ ﹣1，此时x的集合是
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的性质
【解析】【分析】通过同角三角函数的基本关系式，二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用周期公式求出函数的最小正周期．（2）通过x∈[ ]，求出 4x∈[ ]，利用函数的单调性，求出函数的最小值，以及x的集合即可．
20．（2015高一下·枣阳开学考）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a= ，求A∩B．
（2）若A∩B= ，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当a= 时，A={x| }，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）解：若A∩B=
当A= 时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠ 时，有
∴﹣2＜a≤ 或a≥2
综上可得， 或a≥2
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）当a= 时，A={x| }，可求A∩B（2）若A∩B= ，则A= 时，A≠ 时，有 ，解不等式可求a的范围
21．（2015高一下·枣阳开学考）已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意 恒成立，求实数m的最大值．
【答案】（1）解：∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
∴f'（x）＞0有 ，∴函数f（x）在 上递增，f'（x）＜0有 ，
∴函数f（x）在 上递减，
∴f（x）在 处取得极小值，极小值为
（2）解：∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3
即mx≤2x lnx+x2+3，又x＞0，
∴ ，
令 ，
令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，
∴h（x）min=h（1）=4．
∴m≤4，
即m的最大值为4．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．
22．（2015高一下·枣阳开学考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x﹣x2，
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，求a，b的值．
【答案】（1）解：设x＜0，可得﹣x＞0，
∵当x≥0时f（x）=2x﹣x2，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，
∴f（x）=x2+2x
∴f（x）=
（2）解：∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1
f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a﹣a2，2b﹣b2]，
f（x）的值域为 ，∴ 解得a=b=1，（舍去）
若1＜a＜b，可得值域为[2b﹣b2，2a﹣a2]，f（x）的值域为 ，
∴ ，解得a=b=1，
若0＜a≤1≤b，可得x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=2﹣1=1，
最小值在x=a或x=b处取得，
∵当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，
∴ =1，可得a=1，
若 =2a﹣a2，可得b=1（舍去）；
若 =2b﹣b2，化简得（b﹣1）（b2﹣b﹣1）=0解得b1= ，b2= （舍去），
∴a=1，b=
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）由题意设x＜0，得﹣x＞0利用已知的解析式求出f（﹣x）=﹣x2﹣2x，再由f（x）=﹣f（﹣x），求出f（x）时的解析式．（2）因为0＜a＜b，利用配方法，可以证明f（x）在x＞0时的单调性，需要分类讨论，再对其进行求解；
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