2016-2017学年广东省揭阳市揭西县南桥中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题：
1．（2016高一下·揭西开学考）已知复数 ，其中i是虚数单位，则|z|=（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵ =3﹣3i，
∴|z|= =3 ，
故选：C．
【分析】根据复数的运算性质求出z，从而求出z的模．
2．（2016高一下·揭西开学考）已知集合A={x|x2＜4}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
则A∩B={﹣1，0，1}，
故选：C．
【分析】求出关于A的不等式，求出A、B的交集即可．
3．（2016高一下·揭西开学考）命题“ x∈R，ex﹣x﹣1＜0”的否定是（ ）
A． x∈R，ex﹣x﹣1≥0 B． x∈R，ex﹣x﹣1＞0
C． x∈R，ex﹣x﹣1＞0 D． x∈R，ex﹣x﹣1≥0
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“ x∈R，e2﹣x﹣1＜0”的否定是 x∈R，e2﹣x﹣1≥0；
故选：D
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
4．（2016高二上·宁阳期中）在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
5．（2016高一下·揭西开学考）各项均为正数的等差数列{an}中， ，则a7=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴由等差数列性质，即为6a7﹣a72=0，
∵等差数列{an}各项不为零，
∴a7=6，
故选：C．
【分析】结合等差数列性质，由已知，即可解出a7=6．
6．（2016高一下·揭西开学考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．40+π B．40+2π C．40+3π D．40+4π
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下列部分组成的，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
∴该几何体的表面积S=2π×1×1+2×（2×2+2×4×2）=40+2π．
故选：B．
【分析】由三视图可知：该几何体由上下列部分组成的，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
7．（2016高一下·揭西开学考）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3不满足条件，
第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
故选：B．
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．
8．（2016高一下·揭西开学考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（2，﹣1）和坐标满足 的动点M（x，y），则目标函数z= 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：通解因为z= ，则z=2x﹣y，根据线性约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数
z=2x﹣y 的图象与直线y=2x 平行，由可行域知，当直线y=2x﹣z 经过点（2，﹣1）时，目标函数可以取到最大
值5．
法2．最优解由约束条件确定的可行域为三角形，其顶点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（ ， ），（2，﹣1），
则由z= ，得z=2x﹣y 过点（2，﹣1）时取到最大值5．
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积公式计算z根据z的几何意义，结合数形结合进行求解即可．
9．（2016高一下·揭西开学考）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得y=2sin[2（x+ ）+ ]=2sin（2x+ ）的图象，
令2x+ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，故平移后图象的对称轴方程得x= + ，k∈Z，
故选：A．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10．（2016高一下·揭西开学考）已知四边形ABCD为正方形， =3 ，AP与CD交于点E，若 =m +n ，则m﹣n=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图，
；
∴BP=3CP；
∴AB=3CE=CD；
∴ ；
∴ ；
∴∴
又 ；
∴由平面向量基本定理得， ；
∴ ．
故选D．
【分析】可以画出图形，根据条件 ，从而根据向量减法的几何意义便可得到 ，这样可以求出向量 ，这样根据平面向量基本定理便可得出m﹣n的值．
11．（2016高一下·揭西开学考）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，
设P（x，2），则
∵△APF的面积为1，
∴ =1，
∴x=2，
∴P（2，2）．
代入抛物线的方程可得p=1，
∴|PF|=2+ = ．
故选：D．
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，利用△APF的面积为1，求出P的坐标，答案可得．
12．（2016高一下·揭西开学考）数列{an}满足a1=1，an an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），则使得ak＞ 的最大正整数k为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由an an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），变形为： = +1，变形为 =1=2 ，
∴数列 是等比数列，首项为2，公比为2．
∴ +1=2n，
∴an= ，
又a10= = ，
a11= = ，
故选：D．
【分析】由an an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），变形为： = +1，变形为 =1=2 ，利用等比数列的通项公式即可得出．
二、填空题：
13．（2016高一下·揭西开学考）曲线y=ex+3x在x=0处的切线方程为 ．
【答案】y=4x+1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y=ex+3x，
∴y′=ex+3，
∴曲线y=ex+3x在x=0处的切线的斜率为：k=4，
∴曲线y=ex+3x在点x=0处的切线的方程为：y﹣1=4x，即y=4x+1．
故答案为y=4x+1．
【分析】欲求在x=0处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
14．（2016高一下·揭西开学考）已知 ，则sin2α的值为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：∵已知 ，即 sinα+cosα= ，
平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α= = ，则sin2α=﹣ ，
故答案为： ．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，求得sin2α的值．
15．（2016高一下·揭西开学考）已知 ，且 ，则 与 的夹角大小为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ﹣2 + =3 +3 +6 ，
∵ ，∴ =﹣ =﹣ ，
∴cos＜ ＞= =﹣ ，
∴ 与 的夹角大小为 ．
故答案为： ．
【分析】对 两边平方，得出 与 的关系，代入夹角公式计算即可．
16．（2016高一下·揭西开学考）点P是圆x2+y2+2x﹣3=0上任意一点，则点P在第一象限的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：如图：圆x2+y2+2x﹣3=0的圆心（﹣1，0），半径为2，
圆在第一象限部分的弧长为： ×2．
圆的周长为：4π，
所以点P在第一象限的概率为： = ．
故答案为： ．
【分析】求出圆在第一象限的部分的弧长，利用几何概型求出概率即可．
三、解答题：
17．（2016高一下·揭西开学考）已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于 （其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．
【答案】（1）解：如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D两点，
过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r2=1+a2．①
∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于 ，设 为劣弧，∴∠CPD=90°，
过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r2=2b2．②
联立①②消去r可得：2b2=1+a2，即为a，b所满足的关系式．
（2）解：点P到直线x﹣2y=0的距离|PA|= =d，
∵PA⊥OA，∴|OA|= = ，
∴S△OAP= = ，
∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P= =
= ，当且仅当d2=r2﹣d2，即 ，解得
∴P的最大值为
【知识点】几何概型；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质即可得出；（2）利用点到直线的距离公式、两点间的距离公式先计算出三角形的面积，利用几何概率的计算公式得出概率，进而利用导数求得其最大值．
18．（2016高一下·揭西开学考）已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．
【答案】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）
圆C的半径 ，
∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，
（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），
即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有： ，
∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，
∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，
由圆的性质可知：
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可写出圆C的标准方程；（Ⅱ）利用点斜式设出过点P（2，﹣1）作圆C的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与P点的距离满足勾股定理，求出切线长．
19．（2016高一下·揭西开学考）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为 = ，求此时直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ．
∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d= ≤ = ．
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，
设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，
∴ ，化简的x2=3﹣2x1…①
又 消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴ …②
由①②解得 ，代入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0．
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ．求出圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d；利用基本不等式的性质、比较d与半径的关系即可得出．（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，利用勾股定理与两点之间的距离公式即可得出；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，直线与圆的方程联立消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，再利用根与系数的关系即可得出．
20．（2016高一下·揭西开学考）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．
【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
第五组为：0.02×5×300=30人，
第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30为首项，总和为300的等差数列，
∴第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人，45人，60人，75人，90人．
∴绘制的频率分布直方图如右图所示；
（Ⅱ）第四组中抽取人数： 人，
第五组中抽取人数： 人，
∴两组共6人；
设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B1，B2在同一小组：（A1，A2，A3），（A4，B1，B2）；（A1，A2，A4），（A3，B1，B2）；
（A1，A3，A4），（A2，B1，B2）；（A2，A3，A4），（A1，B1，B2），共有4种可能结果；
情况二：B1，B2不在同一小组：（B1，A1，A2），（B2，A3，A4）；（B1，A1，A3），（B2，A2，A4）；
（B1，A1，A4），（B2，A2，A3）；（B1，A2，A3），（B2，A1，A4）；
（B1，A2，A4），（B2，A1，A3）；（B1，A3，A4），（B2，A1，A2），共有6种可能结果；
两种情况总共10种可能结果，
∴两人被分在一组的概率为 ．
（另解：两人被分在一组的概率为 ）．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出第五组的数据，再根据题意求出第一组、第四组、第二组、第三组的数据来，由此绘制频率分布直方图；（Ⅱ）根据分层抽样求出从第四、五组中抽取人数，组成样本，用列举法列出这六人分成两组的基本事件数，求出第五组中的2人被分在一组的概率即可．
（另解：用排列与组合的方法求出两人被分在一组的概率也可）．
1 / 12016-2017学年广东省揭阳市揭西县南桥中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题：
1．（2016高一下·揭西开学考）已知复数 ，其中i是虚数单位，则|z|=（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
2．（2016高一下·揭西开学考）已知集合A={x|x2＜4}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
3．（2016高一下·揭西开学考）命题“ x∈R，ex﹣x﹣1＜0”的否定是（ ）
A． x∈R，ex﹣x﹣1≥0 B． x∈R，ex﹣x﹣1＞0
C． x∈R，ex﹣x﹣1＞0 D． x∈R，ex﹣x﹣1≥0
4．（2016高二上·宁阳期中）在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2016高一下·揭西开学考）各项均为正数的等差数列{an}中， ，则a7=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2016高一下·揭西开学考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．40+π B．40+2π C．40+3π D．40+4π
7．（2016高一下·揭西开学考）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2016高一下·揭西开学考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（2，﹣1）和坐标满足 的动点M（x，y），则目标函数z= 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2016高一下·揭西开学考）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2016高一下·揭西开学考）已知四边形ABCD为正方形， =3 ，AP与CD交于点E，若 =m +n ，则m﹣n=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
11．（2016高一下·揭西开学考）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．（2016高一下·揭西开学考）数列{an}满足a1=1，an an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），则使得ak＞ 的最大正整数k为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
二、填空题：
13．（2016高一下·揭西开学考）曲线y=ex+3x在x=0处的切线方程为 ．
14．（2016高一下·揭西开学考）已知 ，则sin2α的值为 ．
15．（2016高一下·揭西开学考）已知 ，且 ，则 与 的夹角大小为 ．
16．（2016高一下·揭西开学考）点P是圆x2+y2+2x﹣3=0上任意一点，则点P在第一象限的概率为 ．
三、解答题：
17．（2016高一下·揭西开学考）已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于 （其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．
18．（2016高一下·揭西开学考）已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．
19．（2016高一下·揭西开学考）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为 = ，求此时直线l的方程．
20．（2016高一下·揭西开学考）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵ =3﹣3i，
∴|z|= =3 ，
故选：C．
【分析】根据复数的运算性质求出z，从而求出z的模．
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
则A∩B={﹣1，0，1}，
故选：C．
【分析】求出关于A的不等式，求出A、B的交集即可．
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“ x∈R，e2﹣x﹣1＜0”的否定是 x∈R，e2﹣x﹣1≥0；
故选：D
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
4．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
5．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴由等差数列性质，即为6a7﹣a72=0，
∵等差数列{an}各项不为零，
∴a7=6，
故选：C．
【分析】结合等差数列性质，由已知，即可解出a7=6．
6．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下列部分组成的，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
∴该几何体的表面积S=2π×1×1+2×（2×2+2×4×2）=40+2π．
故选：B．
【分析】由三视图可知：该几何体由上下列部分组成的，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
7．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3不满足条件，
第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
故选：B．
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．
8．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：通解因为z= ，则z=2x﹣y，根据线性约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数
z=2x﹣y 的图象与直线y=2x 平行，由可行域知，当直线y=2x﹣z 经过点（2，﹣1）时，目标函数可以取到最大
值5．
法2．最优解由约束条件确定的可行域为三角形，其顶点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（ ， ），（2，﹣1），
则由z= ，得z=2x﹣y 过点（2，﹣1）时取到最大值5．
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积公式计算z根据z的几何意义，结合数形结合进行求解即可．
9．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度，
可得y=2sin[2（x+ ）+ ]=2sin（2x+ ）的图象，
令2x+ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，故平移后图象的对称轴方程得x= + ，k∈Z，
故选：A．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图，
；
∴BP=3CP；
∴AB=3CE=CD；
∴ ；
∴ ；
∴∴
又 ；
∴由平面向量基本定理得， ；
∴ ．
故选D．
【分析】可以画出图形，根据条件 ，从而根据向量减法的几何意义便可得到 ，这样可以求出向量 ，这样根据平面向量基本定理便可得出m﹣n的值．
11．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，
设P（x，2），则
∵△APF的面积为1，
∴ =1，
∴x=2，
∴P（2，2）．
代入抛物线的方程可得p=1，
∴|PF|=2+ = ．
故选：D．
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，利用△APF的面积为1，求出P的坐标，答案可得．
12．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由an an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），变形为： = +1，变形为 =1=2 ，
∴数列 是等比数列，首项为2，公比为2．
∴ +1=2n，
∴an= ，
又a10= = ，
a11= = ，
故选：D．
【分析】由an an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），变形为： = +1，变形为 =1=2 ，利用等比数列的通项公式即可得出．
13．【答案】y=4x+1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y=ex+3x，
∴y′=ex+3，
∴曲线y=ex+3x在x=0处的切线的斜率为：k=4，
∴曲线y=ex+3x在点x=0处的切线的方程为：y﹣1=4x，即y=4x+1．
故答案为y=4x+1．
【分析】欲求在x=0处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
14．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：∵已知 ，即 sinα+cosα= ，
平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α= = ，则sin2α=﹣ ，
故答案为： ．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，求得sin2α的值．
15．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ﹣2 + =3 +3 +6 ，
∵ ，∴ =﹣ =﹣ ，
∴cos＜ ＞= =﹣ ，
∴ 与 的夹角大小为 ．
故答案为： ．
【分析】对 两边平方，得出 与 的关系，代入夹角公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：如图：圆x2+y2+2x﹣3=0的圆心（﹣1，0），半径为2，
圆在第一象限部分的弧长为： ×2．
圆的周长为：4π，
所以点P在第一象限的概率为： = ．
故答案为： ．
【分析】求出圆在第一象限的部分的弧长，利用几何概型求出概率即可．
17．【答案】（1）解：如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D两点，
过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r2=1+a2．①
∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于 ，设 为劣弧，∴∠CPD=90°，
过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r2=2b2．②
联立①②消去r可得：2b2=1+a2，即为a，b所满足的关系式．
（2）解：点P到直线x﹣2y=0的距离|PA|= =d，
∵PA⊥OA，∴|OA|= = ，
∴S△OAP= = ，
∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P= =
= ，当且仅当d2=r2﹣d2，即 ，解得
∴P的最大值为
【知识点】几何概型；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质即可得出；（2）利用点到直线的距离公式、两点间的距离公式先计算出三角形的面积，利用几何概率的计算公式得出概率，进而利用导数求得其最大值．
18．【答案】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）
圆C的半径 ，
∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，
（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），
即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有： ，
∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，
∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，
由圆的性质可知：
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可写出圆C的标准方程；（Ⅱ）利用点斜式设出过点P（2，﹣1）作圆C的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与P点的距离满足勾股定理，求出切线长．
19．【答案】（Ⅰ）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ．
∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d= ≤ = ．
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，
设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，
∴ ，化简的x2=3﹣2x1…①
又 消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴ …②
由①②解得 ，代入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0．
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ．求出圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d；利用基本不等式的性质、比较d与半径的关系即可得出．（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，利用勾股定理与两点之间的距离公式即可得出；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，直线与圆的方程联立消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，再利用根与系数的关系即可得出．
20．【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
第五组为：0.02×5×300=30人，
第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30为首项，总和为300的等差数列，
∴第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人，45人，60人，75人，90人．
∴绘制的频率分布直方图如右图所示；
（Ⅱ）第四组中抽取人数： 人，
第五组中抽取人数： 人，
∴两组共6人；
设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B1，B2在同一小组：（A1，A2，A3），（A4，B1，B2）；（A1，A2，A4），（A3，B1，B2）；
（A1，A3，A4），（A2，B1，B2）；（A2，A3，A4），（A1，B1，B2），共有4种可能结果；
情况二：B1，B2不在同一小组：（B1，A1，A2），（B2，A3，A4）；（B1，A1，A3），（B2，A2，A4）；
（B1，A1，A4），（B2，A2，A3）；（B1，A2，A3），（B2，A1，A4）；
（B1，A2，A4），（B2，A1，A3）；（B1，A3，A4），（B2，A1，A2），共有6种可能结果；
两种情况总共10种可能结果，
∴两人被分在一组的概率为 ．
（另解：两人被分在一组的概率为 ）．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出第五组的数据，再根据题意求出第一组、第四组、第二组、第三组的数据来，由此绘制频率分布直方图；（Ⅱ）根据分层抽样求出从第四、五组中抽取人数，组成样本，用列举法列出这六人分成两组的基本事件数，求出第五组中的2人被分在一组的概率即可．
（另解：用排列与组合的方法求出两人被分在一组的概率也可）．
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