2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高一下学期开学数学试卷
一、选择题：
1．（2016高一下·揭阳开学考）若sinα=﹣ ，且α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵sinα=﹣ ，且α为第四象限角，∴cosα= = ，则tanα= =﹣ ，
故选：C．
【分析】根据同角三角函数的基本关系以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，可得tanα的值．
2．（2016高二上·黑龙江期中）设命题p： n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A． n∈N，n2＞2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2=2n
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是： n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
3．（2016高一下·揭阳开学考）经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（ ）
A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=0
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，
把（﹣1，2）代入可得：﹣5+6+m=0，解得m=﹣1．
∴要求的直线方程为：5x+3y﹣1=0．
故选：B．
【分析】设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入即可得出．
4．（2016高一下·揭阳开学考）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．15 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．
∴ = =30．
故选C．
【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．
5．（2016高一下·揭阳开学考）要得到函数y=sin（2x﹣ ）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：要得到函数y=sin（2x﹣ ）=sin[2（x﹣ ）]的图象，需要将函数y=sin2x的图象，向右平移 单位即可．
故选：D．
【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．
6．（2016高一下·揭阳开学考）已知等差数列{an}中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（ ）
A．102 B．36 C．48 D．51
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}中a3+a9+a15=9，
∴3a9=9．解得a9=3，
∴数列{an}的前17项和S17= =17a9=51．
故选：D．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和求解．
7．（2016高一下·揭阳开学考）已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（ ）
A． =1 B． =1 C．y2﹣ =1 D． =1
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，由于双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），则其焦点在y轴上，且c=2，
可以设其标准方程为： ﹣ =1，且a2+b2=4，①
又由其经过点P（﹣3，2），则有=1，②
联立①②解可得a2=1，b2=3，
则其标准方程为：y2﹣ =1．
故选：C．
【分析】根据题意，可以确定双曲线的焦点在y轴上，且c=2，进而可以设其标准方程为： ﹣ =1，分析可得a2+b2=4，①以及=1，②；联立解可得a2、b2的值，即可得答案．
8．（2016高一下·揭阳开学考）设变量x，y满足约束条件 目标函数z=x﹣2y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣2y，得y= ，
平移直线y= ，当直线y= 经过点A时，直线的在y轴上的截距最小，此时z最大，
由 ，解得 ，即A（2，0），
此时z的最大值为z=2﹣2×0=2．
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值．
9．（2016高一下·揭阳开学考）阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：s=0，n=2，
第一次循环，i=1≤8，s= ，n=3，i=2；
第二次循环，i=2≤8，s= ，n=4，i=3；
第三次循环，i=3≤8，s= ，n=5，i=4；
…，
第八次循环，i=8≤8，s= ，n=9，i=9＞8，
输出s= ，
故选：A．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
10．（2016高一下·揭阳开学考）在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意可得， 的区域为边长为2的正方形，面积为4
∵ 的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4﹣
P= =1﹣
故选D
【分析】由题意可知不等式的区域为边长为2的正方形，面积为4， 的区域是圆的外面的区域，面积S=4﹣ ，代入概率公式即可求解
11．（2016高一下·揭阳开学考）已知F1，F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 中，a=5，
∵F1，F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，
∴由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20，
∵|AB|=8，
∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12．
故选：C．
【分析】根据已知条件，由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，由此能求出结果．
12．（2016高一下·揭阳开学考）N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（ ）
A． ﹣2 B． ﹣ C． + D． +
【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：如图，
过M作⊙O切线交⊙O于T，
根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．
反过来，如果∠OMT≥30°，
则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．
∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．
∵|OT|=1，∴|OM|≤2．
即 （|y0|≥1）．
把y0=1代入 ，求得A（ ），B（ ），
∴ ，
∴动点M运动的区域面积为2×（ ）= ．
故选：A．
【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足 （|y0|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．
二、填空题：
13．（2016高一下·揭阳开学考）若| |=2，| |=4，且（ + ）⊥ ，则 与 的夹角是 ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意得 （ + ） = + =4+2×4 cos＜ ， ＞=0，
∴cos＜ ， ＞=﹣ ，∴＜ ， ＞= ，
故答案为 ．
【分析】利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即 （ + ） = + =0，求得 cos＜ ， ＞=﹣ ，故＜ ， ＞= ．
14．（2016高一下·揭阳开学考）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求 + 的最小值 ．
【答案】3+2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，x+2y=1，
则 =（x+2y） （ ）=3+ ≥3+2 =3+2 ，
故答案为3+2 ．
【分析】根据题意，x+2y=1，对于 可变形为（x+2y） （ ），相乘计算可得，3+ ，由基本不等式的性质，可得答案．
15．（2016高一下·揭阳开学考）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2=0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；
又有直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，
则有F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），
则有c=2，b=1，
a= = ，
故其离心率e= = ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的坐标，即可得椭圆中焦点F1的坐标和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案．
16．（2016高一下·揭阳开学考）已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为 ．
【答案】 =1（x≠±7）
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．
∴2a=14，c=6，∴b= ，故顶点C的轨迹方程为 =1（x≠±7）．
故答案为 =1（x≠±7）．
【分析】由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质 求出a、b 的值，即得顶点C的轨迹方程．
三、解答题：
17．（2016高一下·揭阳开学考）已知 ，求实数m的取值范围．
【答案】解：（1）设函数 ，
函数为R上的单调递增函数
得，m2+m≤﹣m+3
即，m2+2m﹣3≤0
得，（m﹣1）（m+3）≤0
所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．
18．（2016高一上·浦东期末）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．
【答案】解：由题意 ．
SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y．
．
当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．．
面积的最小值为24平方米．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】由题意 ，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
19．（2016高一下·揭阳开学考）设a是实数，函数f（x）=a﹣ （x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
【答案】（1）解：
（2）解：证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）= = = ，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以 即 ，
又由2x＞0，得 ， ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数
【知识点】函数的图象
【解析】【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．
20．（2016高一下·揭阳开学考）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．
【答案】（1）解：由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1
（2）解：函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1
（3）解：函数图象开口向上，对称轴x=a，
当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）max=1﹣a．
当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：f（x）max=1+3a．
当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）max=1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．
21．（2016高一下·揭阳开学考）在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当x∈[1，3]时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：由初等函数性质知， 在[0，+∞）上单调递减，
而 在[0，+∞）上单调递增，
所以 是[0，+∞）上的弱减函数
（2）解：不等式化为 在x∈[1，3]上恒成立，则 ，
而 在[1，3]单调递增，∴ 的最小值为 ， 的最大值为 ，
∴ ，∴a∈[﹣1， ]
（3）解：由题意知方程 在[0，3]上有两个不同根，① 当x=0时，上式恒成立；
②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程 只有一解，
根据 ，令 ，则t∈（1，2]，方程化为 在t∈（1，2]上只有一解，所以
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断 是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得 ，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程 只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．
1 / 12016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高一下学期开学数学试卷
一、选择题：
1．（2016高一下·揭阳开学考）若sinα=﹣ ，且α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．（2016高二上·黑龙江期中）设命题p： n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A． n∈N，n2＞2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2=2n
3．（2016高一下·揭阳开学考）经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（ ）
A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=0
4．（2016高一下·揭阳开学考）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．15 B．20 C．30 D．60
5．（2016高一下·揭阳开学考）要得到函数y=sin（2x﹣ ）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
6．（2016高一下·揭阳开学考）已知等差数列{an}中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（ ）
A．102 B．36 C．48 D．51
7．（2016高一下·揭阳开学考）已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（ ）
A． =1 B． =1 C．y2﹣ =1 D． =1
8．（2016高一下·揭阳开学考）设变量x，y满足约束条件 目标函数z=x﹣2y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．2 C． D．
9．（2016高一下·揭阳开学考）阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2016高一下·揭阳开学考）在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式 的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2016高一下·揭阳开学考）已知F1，F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
12．（2016高一下·揭阳开学考）N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（ ）
A． ﹣2 B． ﹣ C． + D． +
二、填空题：
13．（2016高一下·揭阳开学考）若| |=2，| |=4，且（ + ）⊥ ，则 与 的夹角是 ．
14．（2016高一下·揭阳开学考）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求 + 的最小值 ．
15．（2016高一下·揭阳开学考）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为 ．
16．（2016高一下·揭阳开学考）已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为 ．
三、解答题：
17．（2016高一下·揭阳开学考）已知 ，求实数m的取值范围．
18．（2016高一上·浦东期末）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．
19．（2016高一下·揭阳开学考）设a是实数，函数f（x）=a﹣ （x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
20．（2016高一下·揭阳开学考）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．
21．（2016高一下·揭阳开学考）在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当x∈[1，3]时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵sinα=﹣ ，且α为第四象限角，∴cosα= = ，则tanα= =﹣ ，
故选：C．
【分析】根据同角三角函数的基本关系以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，可得tanα的值．
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是： n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
3．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，
把（﹣1，2）代入可得：﹣5+6+m=0，解得m=﹣1．
∴要求的直线方程为：5x+3y﹣1=0．
故选：B．
【分析】设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入即可得出．
4．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．
∴ = =30．
故选C．
【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．
5．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：要得到函数y=sin（2x﹣ ）=sin[2（x﹣ ）]的图象，需要将函数y=sin2x的图象，向右平移 单位即可．
故选：D．
【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．
6．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}中a3+a9+a15=9，
∴3a9=9．解得a9=3，
∴数列{an}的前17项和S17= =17a9=51．
故选：D．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和求解．
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，由于双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），则其焦点在y轴上，且c=2，
可以设其标准方程为： ﹣ =1，且a2+b2=4，①
又由其经过点P（﹣3，2），则有=1，②
联立①②解可得a2=1，b2=3，
则其标准方程为：y2﹣ =1．
故选：C．
【分析】根据题意，可以确定双曲线的焦点在y轴上，且c=2，进而可以设其标准方程为： ﹣ =1，分析可得a2+b2=4，①以及=1，②；联立解可得a2、b2的值，即可得答案．
8．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣2y，得y= ，
平移直线y= ，当直线y= 经过点A时，直线的在y轴上的截距最小，此时z最大，
由 ，解得 ，即A（2，0），
此时z的最大值为z=2﹣2×0=2．
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值．
9．【答案】A
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：s=0，n=2，
第一次循环，i=1≤8，s= ，n=3，i=2；
第二次循环，i=2≤8，s= ，n=4，i=3；
第三次循环，i=3≤8，s= ，n=5，i=4；
…，
第八次循环，i=8≤8，s= ，n=9，i=9＞8，
输出s= ，
故选：A．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
10．【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意可得， 的区域为边长为2的正方形，面积为4
∵ 的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4﹣
P= =1﹣
故选D
【分析】由题意可知不等式的区域为边长为2的正方形，面积为4， 的区域是圆的外面的区域，面积S=4﹣ ，代入概率公式即可求解
11．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 中，a=5，
∵F1，F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，
∴由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20，
∵|AB|=8，
∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12．
故选：C．
【分析】根据已知条件，由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，由此能求出结果．
12．【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：如图，
过M作⊙O切线交⊙O于T，
根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．
反过来，如果∠OMT≥30°，
则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．
∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．
∵|OT|=1，∴|OM|≤2．
即 （|y0|≥1）．
把y0=1代入 ，求得A（ ），B（ ），
∴ ，
∴动点M运动的区域面积为2×（ ）= ．
故选：A．
【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足 （|y0|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．
13．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意得 （ + ） = + =4+2×4 cos＜ ， ＞=0，
∴cos＜ ， ＞=﹣ ，∴＜ ， ＞= ，
故答案为 ．
【分析】利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即 （ + ） = + =0，求得 cos＜ ， ＞=﹣ ，故＜ ， ＞= ．
14．【答案】3+2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，x+2y=1，
则 =（x+2y） （ ）=3+ ≥3+2 =3+2 ，
故答案为3+2 ．
【分析】根据题意，x+2y=1，对于 可变形为（x+2y） （ ），相乘计算可得，3+ ，由基本不等式的性质，可得答案．
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2=0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；
又有直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，
则有F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），
则有c=2，b=1，
a= = ，
故其离心率e= = ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的坐标，即可得椭圆中焦点F1的坐标和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案．
16．【答案】 =1（x≠±7）
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．
∴2a=14，c=6，∴b= ，故顶点C的轨迹方程为 =1（x≠±7）．
故答案为 =1（x≠±7）．
【分析】由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质 求出a、b 的值，即得顶点C的轨迹方程．
17．【答案】解：（1）设函数 ，
函数为R上的单调递增函数
得，m2+m≤﹣m+3
即，m2+2m﹣3≤0
得，（m﹣1）（m+3）≤0
所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．
18．【答案】解：由题意 ．
SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y．
．
当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．．
面积的最小值为24平方米．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】由题意 ，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
19．【答案】（1）解：
（2）解：证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）= = = ，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以 即 ，
又由2x＞0，得 ， ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数
【知识点】函数的图象
【解析】【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．
20．【答案】（1）解：由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1
（2）解：函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1
（3）解：函数图象开口向上，对称轴x=a，
当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）max=1﹣a．
当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：f（x）max=1+3a．
当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）max=1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．
21．【答案】（1）解：由初等函数性质知， 在[0，+∞）上单调递减，
而 在[0，+∞）上单调递增，
所以 是[0，+∞）上的弱减函数
（2）解：不等式化为 在x∈[1，3]上恒成立，则 ，
而 在[1，3]单调递增，∴ 的最小值为 ， 的最大值为 ，
∴ ，∴a∈[﹣1， ]
（3）解：由题意知方程 在[0，3]上有两个不同根，① 当x=0时，上式恒成立；
②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程 只有一解，
根据 ，令 ，则t∈（1，2]，方程化为 在t∈（1，2]上只有一解，所以
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断 是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得 ，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程 只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．
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