2016-2017学年河北省邯郸市大名一中高一下学期开学数学试卷（重点班）
一、选择题
1．（2017·抚顺模拟）若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（ RA）∩B=（ ）
A．{0} B．{2} C．{2，4} D．{0，1，2}
2．（2016高一下·大名开学考）已知f（x）=log3x，f（a）＞f（2），那么a的取值范围是（ ）
A．{a|a＞2} B．{a|1＜a＜2}
C． D．
3．（2016高一下·大名开学考）函数f（x）= + 的定义域为（ ）
A．{x|x≠2} B．{x|x＜﹣3或x＞3}
C．{x|﹣3≤x≤3} D．{x|﹣3≤x≤3且≠2}
4．（2017·南充模拟）设a=log310，b=log37，则3a﹣b=（ ）
A． B． C． D．
5．（2016高一下·大名开学考）以下函数在R上为减函数的是（ ）
A．y=log x B．y=x﹣1 C．y=（ ）x D．y=x2
6．（2016高一下·大名开学考）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（ ）
A．0 B．2或﹣1 C．0或﹣3 D．﹣3
7．（2016高一下·大名开学考）如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（ ）
A． B． C． D．
8．（2016高一下·大名开学考）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
1）m α，n α，m∥β，n∥β α∥β
2）n∥m，n⊥α m⊥α
3）α∥β，m α，n β m∥n
4）m⊥α，m⊥n n∥α
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2016高一下·大名开学考）如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm．
A．12 B．16 C． D．
10．（2016高二上·铜陵期中）设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=0
11．（2016高一下·大名开学考）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C． D．
12．（2016高一下·大名开学考）已知函数f（x）= ，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．[2，3） D．（2，3]
二、填空题
13．（2016高一下·大名开学考）直线l1： x﹣y+1=0，l2：x+5=0，则直线l1与l2的相交所成的锐角为 ．
14．（2016高一下·大名开学考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
15．（2016高一下·大名开学考）函数f（x）= ﹣log2 为奇函数，则实数a= ．
16．（2016高一下·大名开学考）已知函数f（x）= ，记f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+f（16）=m，f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ）=n，则m+n= ．
三、解答题
17．（2016高一下·大名开学考）（Ⅰ）已知集合A={（x，y）|y=x2+2}，B={（x，y）|y=6﹣x2}，求A∩B；
（Ⅱ）已知集合A={y|y=x2+2}，B={y|y=6﹣x2}，求A∩B．
18．（2016高一下·大名开学考）如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．
（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；
（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．
19．（2016高一下·大名开学考）在平行四边形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），点M是线段AB的中点线段CM与BD交于点P．
（1）求直线CM的方程；
（2）求点P的坐标．
20．（2016高一下·大名开学考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．
（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求 的值．
21．（2016高一下·大名开学考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）= ，其中x是仪器的产量（单位：台）；
（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；
（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
22．已知函数f（x）= （x2﹣2ax+3）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（﹣1）=﹣3，求f（x）单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）在（﹣∞，2）上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，
则（ RA）∩B={2}；
故选：B．
【分析】根据题意，由集合B={y|y=2x，x∈A}，结合A的元素可得集合B，分析可得（ RA）∩B中的元素为属于B不属于A的元素，即可得答案．
2．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，
∵f（a）＞f（2），∴a＞2，
故选A．
【分析】由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，即可得出结论．
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：﹣3≤x≤3或x≠2，
故函数的定义域是{x|﹣3≤x≤3且≠2}，
故选：D．
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．
4．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：∵a=log310，b=log37，
∴3a=10，3b=7，
∴3a﹣b= = ．
故选：D
【分析】由已知得3a=10，3b=7，从而3a﹣b= ．
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解： 的定义域为（0，+∞），不能说在R上为减函数；
y=x﹣1，y=x2在R上都没有单调性；
指数函数 在R上为减函数．
故选：C．
【分析】根据对数函数的定义域，反比例函数、指数函数和二次函数的单调性便可找出正确选项．
6．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1⊥l2，
∴a+a（a+2）=0，解得a=0或a=﹣3
故选：C
【分析】由垂直可得a+a（a+2）=0，解方程可得．
7．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．
侧面ACBD为直角梯形，
PA⊥AB．
该几何体的体积V= = ．
故选：D．
【分析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．侧面ACBD为直角梯形，PA⊥AB．
8．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于（1），m α，n α，m∥β，n∥β α∥β，错误，当m∥n时，α与β可能相交；
对于（2），n∥m，n⊥α m⊥α，正确，原因是：n⊥α，则n垂直α内的两条相交直线，又m∥n，则m也垂直α内的这两条相交直线，则m⊥α；
对于（3），α∥β，m α，n β m∥n，错误，m与n可能异面；
对于（4），m⊥α，m⊥n n∥α，错误，也可能是n α．
∴正确命题的个数是1个．
故选：B．
【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．
9．【答案】B
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：由直观图可得原图如图所示，且OA=2， ，
所以AB=6，所以周长为16，
故选：B．
【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．
10．【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：由 可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），
则点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上．
根据点A（﹣1，﹣1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是
，化简可得x﹣2y﹣1=0．
故选：A．
【分析】由 可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），根据点B（0，1）关于y=x 的对称点
C（1，0）在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．
11．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，
则由等面积法得 ，
所以（AC+AB+BC）r=6×8，又AB=6，BC=8，
所以AC=10，所以r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，
若r增大，则无法保证球在三棱柱内，
故球的最大半径为2，所以 ．
故选：D．
【分析】先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得（AC+AB+BC）r=6×8，解得r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．
12．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据已知画出函数图象：
不妨设a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴﹣log2a=log2b=﹣c2+4c﹣3，
∴log2（ab）=0，
解得ab=1，2＜c＜3，
∴2＜abc＜3．
故选：B
【分析】利用分段函数的定义作出函数f（x）的图象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k则可得a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标根据图象可得出a，b，c的范围同时a，b还满足﹣log2a=log2b，即可得答案．
13．【答案】30°
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】解：∵直线l1： x﹣y+1=0的斜率为 ，倾斜角为60°，
而l2：x+5=0的斜率不存在，故它的倾斜角为90°，
直线l1与l2的相交所成的锐角为30°，
故答案为：30°．
【分析】求出每条直线的直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．
14．【答案】③④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；
故答案为：③④
【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．
15．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣ ﹣log2 =﹣ +log2
∴a=±1，
a=﹣1，函数定义域不关于原点对称，舍去．
故答案为1．
【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣ ﹣log2 =﹣ +log2 ，即可求出a的值．
16．【答案】18
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：f（x）+f（ ）= + = + = =4，
f（1）= =2，
则m+n=f（1）+{[f（2）+f（ ）]+[f（4）+f（ ）]+[f（8）+f（ ）]+[f（16）+f（ ）]}=2+4×4=18，
故答案为：18
【分析】先计算可找规律：f（x）+f（ ）=4，然后利用该结论可求答案．
17．【答案】解：（Ⅰ）联立得： ，
消去y得：x2+2=6﹣x2，
解得：x=± ，
把x= 代入得：y=4；把x=﹣ 代入得：y=4，
则A∩B={（ ，4），（﹣ ，4）}；
（Ⅱ）由y=x2+2≥2，得到A={y|y≥2}，
由y=6﹣x2≤6，得到B={y|y≤6}，
则A∩B={y|2≤x≤6}
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】（Ⅰ）联立A与B中两函数解析式，求出解即可确定出两集合的交集；（Ⅱ）求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可．
18．【答案】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC．
因为AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AA1⊥BC，
而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．
又BC 平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，
得 ，
所以
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴ =（7，3）+（4，6）﹣（1，1）=（10，8）．
∴C点坐标C（10，8）．
由中点坐标公式可得：点M坐标（ ， ），即（4，2）．
kCM= =1，
得出直线CM方程y﹣2=x﹣4，可得：x﹣y﹣2=0
（2）解：kBD= =﹣1，
∴BD直线方程y﹣6=﹣（x﹣4），x+y﹣10=0，
联立方程组 ，
解得x=6，y=4，
所以点P坐标为（6，4）
【知识点】待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）由 ，可得 ．利用中点坐标公式可得：点M坐标（4，2）．利用斜率计算公式与中点坐标公式即可得出．（2）利用斜率计算公式可得kBD=﹣1，利用点斜式可得BD直线方程，联立解出即可得出．
20．【答案】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．
DE 平面PCD，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC
（2）解：由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，
可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB
（3）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，
所以 = ；
由（1）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，
所以 ．
在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE+
于是 = =4
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能证明DE⊥平面PBC．（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（3）由PD是阳马P﹣ABCD的高，得到 = ；由DE是鳖臑D﹣BCE的高，得到 ．由此能求出 的值．
21．【答案】（1）解：当0≤x≤400时，
当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x
所以
（2）解：当0≤x≤400时
当x=300时，f（x）max=25000，
当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000
所以当x=300时，f（x）max=25000
答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】 【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
22．【答案】（1）解：∵函数f（x）= （x2﹣2ax+3）的定义域为R，
∴x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a2﹣12＜0
即a的取值范围﹣
（2）解：∵f（﹣1）=﹣3，∴a=2
∵f（x）= （x2﹣4x+3）．x2﹣4x+3＞0，x＜1或x＞3
设m（x）=x2﹣4x+3，对称轴x=2，
∴在（﹣∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
根据符合函数单调性规律可判断：
f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数
（3）解：函数f（x）= （x2﹣2ax+3）．
设n（x）=x2﹣2ax+3，
可知在（﹣∞，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数
∵f（x）在（﹣∞，2）上为增函数
∴a≥2且4﹣4a+3≥0，a≥2且a≤ ，不可能成立．
不存在实数a，使f（x）在（﹣∞，2）上为增函数．
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0（2）求出a转化为二次函数问题（3）根据符合函数单调性求解．
1 / 12016-2017学年河北省邯郸市大名一中高一下学期开学数学试卷（重点班）
一、选择题
1．（2017·抚顺模拟）若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（ RA）∩B=（ ）
A．{0} B．{2} C．{2，4} D．{0，1，2}
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，
则（ RA）∩B={2}；
故选：B．
【分析】根据题意，由集合B={y|y=2x，x∈A}，结合A的元素可得集合B，分析可得（ RA）∩B中的元素为属于B不属于A的元素，即可得答案．
2．（2016高一下·大名开学考）已知f（x）=log3x，f（a）＞f（2），那么a的取值范围是（ ）
A．{a|a＞2} B．{a|1＜a＜2}
C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，
∵f（a）＞f（2），∴a＞2，
故选A．
【分析】由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，即可得出结论．
3．（2016高一下·大名开学考）函数f（x）= + 的定义域为（ ）
A．{x|x≠2} B．{x|x＜﹣3或x＞3}
C．{x|﹣3≤x≤3} D．{x|﹣3≤x≤3且≠2}
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：﹣3≤x≤3或x≠2，
故函数的定义域是{x|﹣3≤x≤3且≠2}，
故选：D．
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．
4．（2017·南充模拟）设a=log310，b=log37，则3a﹣b=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：∵a=log310，b=log37，
∴3a=10，3b=7，
∴3a﹣b= = ．
故选：D
【分析】由已知得3a=10，3b=7，从而3a﹣b= ．
5．（2016高一下·大名开学考）以下函数在R上为减函数的是（ ）
A．y=log x B．y=x﹣1 C．y=（ ）x D．y=x2
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解： 的定义域为（0，+∞），不能说在R上为减函数；
y=x﹣1，y=x2在R上都没有单调性；
指数函数 在R上为减函数．
故选：C．
【分析】根据对数函数的定义域，反比例函数、指数函数和二次函数的单调性便可找出正确选项．
6．（2016高一下·大名开学考）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（ ）
A．0 B．2或﹣1 C．0或﹣3 D．﹣3
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1⊥l2，
∴a+a（a+2）=0，解得a=0或a=﹣3
故选：C
【分析】由垂直可得a+a（a+2）=0，解方程可得．
7．（2016高一下·大名开学考）如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．
侧面ACBD为直角梯形，
PA⊥AB．
该几何体的体积V= = ．
故选：D．
【分析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．侧面ACBD为直角梯形，PA⊥AB．
8．（2016高一下·大名开学考）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
1）m α，n α，m∥β，n∥β α∥β
2）n∥m，n⊥α m⊥α
3）α∥β，m α，n β m∥n
4）m⊥α，m⊥n n∥α
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于（1），m α，n α，m∥β，n∥β α∥β，错误，当m∥n时，α与β可能相交；
对于（2），n∥m，n⊥α m⊥α，正确，原因是：n⊥α，则n垂直α内的两条相交直线，又m∥n，则m也垂直α内的这两条相交直线，则m⊥α；
对于（3），α∥β，m α，n β m∥n，错误，m与n可能异面；
对于（4），m⊥α，m⊥n n∥α，错误，也可能是n α．
∴正确命题的个数是1个．
故选：B．
【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．
9．（2016高一下·大名开学考）如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm．
A．12 B．16 C． D．
【答案】B
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：由直观图可得原图如图所示，且OA=2， ，
所以AB=6，所以周长为16，
故选：B．
【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．
10．（2016高二上·铜陵期中）设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=0
【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：由 可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），
则点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上．
根据点A（﹣1，﹣1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是
，化简可得x﹣2y﹣1=0．
故选：A．
【分析】由 可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），根据点B（0，1）关于y=x 的对称点
C（1，0）在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．
11．（2016高一下·大名开学考）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，
则由等面积法得 ，
所以（AC+AB+BC）r=6×8，又AB=6，BC=8，
所以AC=10，所以r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，
若r增大，则无法保证球在三棱柱内，
故球的最大半径为2，所以 ．
故选：D．
【分析】先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得（AC+AB+BC）r=6×8，解得r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．
12．（2016高一下·大名开学考）已知函数f（x）= ，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．[2，3） D．（2，3]
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据已知画出函数图象：
不妨设a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴﹣log2a=log2b=﹣c2+4c﹣3，
∴log2（ab）=0，
解得ab=1，2＜c＜3，
∴2＜abc＜3．
故选：B
【分析】利用分段函数的定义作出函数f（x）的图象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k则可得a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标根据图象可得出a，b，c的范围同时a，b还满足﹣log2a=log2b，即可得答案．
二、填空题
13．（2016高一下·大名开学考）直线l1： x﹣y+1=0，l2：x+5=0，则直线l1与l2的相交所成的锐角为 ．
【答案】30°
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】解：∵直线l1： x﹣y+1=0的斜率为 ，倾斜角为60°，
而l2：x+5=0的斜率不存在，故它的倾斜角为90°，
直线l1与l2的相交所成的锐角为30°，
故答案为：30°．
【分析】求出每条直线的直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．
14．（2016高一下·大名开学考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
【答案】③④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；
故答案为：③④
【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．
15．（2016高一下·大名开学考）函数f（x）= ﹣log2 为奇函数，则实数a= ．
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣ ﹣log2 =﹣ +log2
∴a=±1，
a=﹣1，函数定义域不关于原点对称，舍去．
故答案为1．
【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣ ﹣log2 =﹣ +log2 ，即可求出a的值．
16．（2016高一下·大名开学考）已知函数f（x）= ，记f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+f（16）=m，f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ）=n，则m+n= ．
【答案】18
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：f（x）+f（ ）= + = + = =4，
f（1）= =2，
则m+n=f（1）+{[f（2）+f（ ）]+[f（4）+f（ ）]+[f（8）+f（ ）]+[f（16）+f（ ）]}=2+4×4=18，
故答案为：18
【分析】先计算可找规律：f（x）+f（ ）=4，然后利用该结论可求答案．
三、解答题
17．（2016高一下·大名开学考）（Ⅰ）已知集合A={（x，y）|y=x2+2}，B={（x，y）|y=6﹣x2}，求A∩B；
（Ⅱ）已知集合A={y|y=x2+2}，B={y|y=6﹣x2}，求A∩B．
【答案】解：（Ⅰ）联立得： ，
消去y得：x2+2=6﹣x2，
解得：x=± ，
把x= 代入得：y=4；把x=﹣ 代入得：y=4，
则A∩B={（ ，4），（﹣ ，4）}；
（Ⅱ）由y=x2+2≥2，得到A={y|y≥2}，
由y=6﹣x2≤6，得到B={y|y≤6}，
则A∩B={y|2≤x≤6}
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】（Ⅰ）联立A与B中两函数解析式，求出解即可确定出两集合的交集；（Ⅱ）求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可．
18．（2016高一下·大名开学考）如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．
（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；
（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．
【答案】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC．
因为AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AA1⊥BC，
而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．
又BC 平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，
得 ，
所以
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．
19．（2016高一下·大名开学考）在平行四边形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），点M是线段AB的中点线段CM与BD交于点P．
（1）求直线CM的方程；
（2）求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ =（7，3）+（4，6）﹣（1，1）=（10，8）．
∴C点坐标C（10，8）．
由中点坐标公式可得：点M坐标（ ， ），即（4，2）．
kCM= =1，
得出直线CM方程y﹣2=x﹣4，可得：x﹣y﹣2=0
（2）解：kBD= =﹣1，
∴BD直线方程y﹣6=﹣（x﹣4），x+y﹣10=0，
联立方程组 ，
解得x=6，y=4，
所以点P坐标为（6，4）
【知识点】待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）由 ，可得 ．利用中点坐标公式可得：点M坐标（4，2）．利用斜率计算公式与中点坐标公式即可得出．（2）利用斜率计算公式可得kBD=﹣1，利用点斜式可得BD直线方程，联立解出即可得出．
20．（2016高一下·大名开学考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．
（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求 的值．
【答案】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．
DE 平面PCD，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC
（2）解：由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，
可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB
（3）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，
所以 = ；
由（1）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，
所以 ．
在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE+
于是 = =4
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能证明DE⊥平面PBC．（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（3）由PD是阳马P﹣ABCD的高，得到 = ；由DE是鳖臑D﹣BCE的高，得到 ．由此能求出 的值．
21．（2016高一下·大名开学考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）= ，其中x是仪器的产量（单位：台）；
（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；
（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：当0≤x≤400时，
当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x
所以
（2）解：当0≤x≤400时
当x=300时，f（x）max=25000，
当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000
所以当x=300时，f（x）max=25000
答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】 【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
22．已知函数f（x）= （x2﹣2ax+3）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（﹣1）=﹣3，求f（x）单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）在（﹣∞，2）上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵函数f（x）= （x2﹣2ax+3）的定义域为R，
∴x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a2﹣12＜0
即a的取值范围﹣
（2）解：∵f（﹣1）=﹣3，∴a=2
∵f（x）= （x2﹣4x+3）．x2﹣4x+3＞0，x＜1或x＞3
设m（x）=x2﹣4x+3，对称轴x=2，
∴在（﹣∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
根据符合函数单调性规律可判断：
f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数
（3）解：函数f（x）= （x2﹣2ax+3）．
设n（x）=x2﹣2ax+3，
可知在（﹣∞，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数
∵f（x）在（﹣∞，2）上为增函数
∴a≥2且4﹣4a+3≥0，a≥2且a≤ ，不可能成立．
不存在实数a，使f（x）在（﹣∞，2）上为增函数．
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0（2）求出a转化为二次函数问题（3）根据符合函数单调性求解．
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