2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2016高一下·武邑开学考）若集合 ，则M∩N=（ ）
A．{y|y≥1} B．{y|y＞1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
2．（2016高一下·武邑开学考）以下六个关系式：①0∈{0}②{0} ③0.3 Q④0∈N⑤{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
3．（2016高一下·武邑开学考）下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（ ）
A．y= B．y=logaax（a＞0且a≠1）
C．y=a （a＞0且a≠1） D．y=
4．（2016高一下·武邑开学考）函数y= 的定义域为（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2] C．（0，2] D．[1，+∞）
5．（2016高一上·饶阳期中） =（ ）
A．14 B．0 C．1 D．6
6．（2016高一下·武邑开学考）设f（x）= ，则f（1）=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2016高一下·武邑开学考）为得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可由函数y= sin2x的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
8．（2016高一下·武邑开学考）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且 =2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ）
A． B．（2，+∞）
C． D．
9．（2016高一下·武邑开学考）已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x，有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间[﹣ ， ]上是增函数；③f（x）的图象关于点（ ，0）对称；④x= 是f（x）的一条对称轴．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2016高二下·三原期中）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
11．（2016高一下·武邑开学考）关于函数 ，看下面四个结论（ ）
①f（x）是奇函数；②当x＞2007时， 恒成立；③f（x）的最大值是 ；④f（x）的最小值是 ．其中正确结论的个数为：
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2017高一上·定州期末）函数f（x）=3sinx ln（1+x）的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
13．（2016高一下·武邑开学考）一圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的表面积为 ．
14．（2016高一下·武邑开学考）计算 = ．
15．（2016高一下·武邑开学考）已知函数 ，则 = ．
16．（2016高一下·武邑开学考）下列四个结论：
①函数 的值域是（0，+∞）；
②直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a=﹣1；
③过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3；
④若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的侧面积等于球的表面积．
其中正确的结论序号为 ．
三、解答题：
17．（2016高一下·武邑开学考）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0的距离的一半．
（1）求m的值；
（2）判断直线l与圆 的位置关系．
18．（2016高一下·武邑开学考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD
（1）证明AC⊥PB
（2）证明：平面PBC∥平面EFG．
19．（2016高一下·武邑开学考）已知f（x）=4sinωxsin（ωx+ ）﹣1（ω＞0），f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）当x∈[0， ]时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）请用“五点作图法”画出f（x）在[0，π]上的图象．
20．（2016高一下·武邑开学考）已知函数f（x）= 的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（ ）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．
21．（2016高一下·武邑开学考）如图所示，游乐场中摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（wt+φ）+h（A＞0，w＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（1）求f（t）的单调区间；
（2）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．
22．（2016高一下·武邑开学考）已知函数 ，函数 x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数 的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由集合M中的函数y=2x＞0，得到函数的值域为y＞0，
∴集合M={y|y＞0}，
由集合N中的函数y= ≥0，得到函数的值域为y≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y＞0}．
故选C
【分析】求出指数函数y=2x及函数y= 的值域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．
2．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：根据元素与集合的关系可判定①④正确，③错误，
根据集合与集合的关系可判定②⑤正确，
故选：A．
【分析】根据元素和集合以及集合和集合的关系判断即可．
3．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A．y= =|x|，与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．
B．y=logaax=x，函数的定义域和对应法则与y=x相同，是同一函数，满足条件．
C．y=a =ax与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．
D．y= =x，（x≠0），函数的定义域与y=x不相同，不是同一函数，
故选：B
【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y=x相同即可．
4．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则4﹣2x≥0，
即2x≤4
即x≤2，
∴函数的定义域为（﹣∞，2]，
故选：B．
【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．
5．【答案】B
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】解： =4﹣ ﹣lg10﹣2+3lne=4﹣9+2+3=0，
故选：B．
【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．
6．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵f（x）= ，
∴f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1=f（3）+1
=2×3﹣1+1=6．
故选：D．
【分析】由已知得f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1，由此能求出结果．
7．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数y=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ）= sin[2（x﹣ ）]，
∴把函数y= sin2x的图象向右平移 个单位，可得函数y=sin2x﹣cos2x的图象，
故选：B．
【分析】由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
8．【答案】A
【知识点】偶函数；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）＞2，即 f（log4x）＞ ，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞ =log42，或 log4x＜﹣ = ，
∴0＜x＜ ，或 x＞2，
故选 A．
【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞ ，即 log4x＞ ，或 log4x＜﹣ ，利用对数函数的定义域和单调性
求出不等式的解集．
9．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），
② f（x）的最小正周期为π，故①正确；
②由2x﹣ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）得：x∈[﹣ +kπ， +kπ]（k∈Z），
故f（x）在区间[﹣ ， ]上不是单调函数，故②错误；
③ 由2x﹣ =2kπ得：x= +kπ，（k∈Z），
当k=0时，f（x）的图象关于点（ ，0）对称，故③正确；
④ 由2x﹣ = +2kπ得：x= +kπ，（k∈Z），
当k=0时，f（x）的图象关于x= 对称，
故④正确；
故选：C
【分析】函数f（x）= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．
10．【答案】A
【知识点】反证法与放缩法
【解析】【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
11．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：y=f（x）的定义域为x∈R，且f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2007，sin21000π=0，且（ ）1000π＞0
∴f（1000π）= ﹣（ ）1000π＜ ，因此结论②错．
对于结论③，f（x）= ﹣（ ）|x|+ =1﹣ cos2x﹣（ ）|x|，﹣1≤cos2x≤1，
∴﹣ ≤1﹣cos2x≤ ，（ ）|x|＞0
故1﹣ cos2x﹣（ ）|x|＜ ，即结论③错．
对于结论④，cos2x，（ ）|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1﹣ cos2x﹣（ ）|x|在x=0时可取得最小值﹣ ，即结论④是正确的．
故选：A．
【分析】根据题意：依次分析命题：①运用f（﹣x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin2x= 进行转化，
然后利用cos2x和（ ）|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．
12．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：由f（x）=3sinx ln（x+1）知x＞﹣1，当x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）＜3lne=3，
∵f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ，令f′（x）=0，即3cosxln（x+1）+3sinx =0，
当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0， ＞0，∴cosx＜0，∴ ＜x＜π，∴函数的极值点在（ ，π），
故答案为：B．
【分析】由题意可得当x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）＜3lne=3，求导得f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ， 令f′（x）=0故当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0，.即 cosx＜0， ＜x＜π∴函数的极值点在（ ，π）。
13．【答案】300π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设底面的半径r，则r=sin30°×20=10，
∴该圆锥的侧面积S=π×10×20=200π．
∴圆锥的表面积为200π+π 102=300π．
故答案为：300π
【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论．
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=（ ） +lg100+2= +4= ，
故答案为：
【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可
15．【答案】2
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（ ）=1，
=f（1）=2
故答案为：2
【分析】由已知中 ，将x= 代入计算，可得答案．
16．【答案】④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于①，∵ ，∴函数 的值域是（0，1）∪（1，+∞），故错；
对于②，直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a=﹣1或0，故错；
对于③，过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3或y=2x，故错；
对于④，若圆柱的底面直径与高都等于球的直径2r，则圆柱的侧面积等于2πr 2r=4πr2等于球的表面积，故正确．
故答案为：④
【分析】①， ，∴函数 ≠1；
②，a=0时，直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0也平行；
③，过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线还有过原点的直线；
④，利用公式求出圆柱的侧面积即可．
17．【答案】（1）解：2x﹣y+1=0化为4x﹣2y+2=0，
则两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于 = ，
∴点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离= = ，
∵m＞0
∴m=5
（2）解：圆C：x2+（y﹣2）2= 的圆心C（0，2），半径r= ，
∵C到直线l的距离d= = ，
∴l与圆C相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）求出两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离，利用两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半，建立方程，即可求m的值；（2）求出C到直线l的距离，即可得出结论．
18．【答案】（1）证明：连结BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB 平面PBD，∴AC⊥PB
（2）证明：∵G、E分别为CD、PD的中点，∴CE∥PC，
又GE 平面PBC，PC 平面PBC，
∴GE∥平面PBC，
在正方形ABCD中，G、F分别为CD、AB的中点，
∴GF∥BC，又GF 平面PBC，BC 平面PBC，
∴GF∥平面PBC，
∵GF∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连结BD，推导出PD⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（2）推导出GE∥平面PBC，GF∥平面PBC，由此能证明平面PBC∥平面EFG．
19．【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=4sinωxsin（ωx+ ）﹣1=2sin2ωx﹣1+2 sinωxcosωx=2sin（2ωx﹣ ）
由f（x）的最小正周期为π，得ω=1，所以f（x）=2sin（2x﹣ ）．
因为x∈[0， ]，所以2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
故当2x﹣ = ，即x= 时，f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2ωx﹣ ）知：
2x﹣ ﹣ 0 π
x 0 π
f（x） ﹣1 0 2 0 ﹣2 ﹣1
【知识点】五点法画三角函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（Ⅰ）先化简f（x），由周期可求ω，从而得f（x）解析式，再根据函数性质求出f（x）的最大值（Ⅱ）用“五点法”可得f（x）的图象，注意x的范围
20．【答案】（1）解：由题意知，f（x）为奇函数；
∴f（0）=b=0，则 ；
又 ；
∴a=1；
∴
（2）解：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：
= ；
又﹣1＜x1＜x2＜1；
∴ ；
∴f（x1）﹣f（x2）＜0；
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解：由f（x2﹣1）+f（x）＜0得f（x2﹣1）＜﹣f（x）；
即f（x2﹣1）＜f（﹣x）；
由（2）知f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则 ；
∴原不等式的解集为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据条件即可得出f（x）为奇函数，原点有定义，从而f（0）=0，得出b=0，再由f（ ）= 即可求出a=1；（2）根据增函数的定义，设任意的﹣1＜x1＜x2＜1，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2），从而便得出f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据f（x）为奇函数便可得出f（x2﹣1）＜﹣f（x），由f（x）在（﹣1，1）上为增函数即可得到不等式组 ，解该不等式组便可得出原不等式的解集．
21．【答案】（1）解：由题意可得A=40， =6，∴ω= ，φ=﹣ ，h=40.5，
故f（t）=40sin（ t﹣ ）+40.5=40.5﹣40cos t，
令2kπ≤ t≤2kπ+π，求得6k≤t≤6k+3，可得函数的增区间为[6k，6k+3]，k∈Z；
令2kπ+π≤ t≤2kπ+2π，求得6k+3≤t≤6k+6，可得函数的减区间为[6k+3，6k+6]，k∈Z
（2）解：证明：∵f（t）=40.5﹣40cos t，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40[cos t+cos（ t+ ）+cos（ t+ ）]．
又 cos t+cos（ t+ ）﹣cos（ t+ ）=cos t﹣cos（ t﹣ ）﹣cos（ t+ ）
=cos t﹣cos t﹣ sin t+ sin t=0，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40×0=121.5，显然为定值，
故要证得结论成立
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的图象和性质，求得f（t）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（t）的单调区间．（2）利用诱导公式、两角和差的三角公式化简 f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得结论．
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
令u=mx2+2x+m，则 ，
当m=0时，u=2x， 的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若 的定义域为R，
则 ，
解得m＞1，
综上所述，m＞1
（2）解： = ，x∈[﹣1，1]，
令 ，则 ，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当 时， 时， ；
当 时，t=a时， ；
当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．
综上所述，
（3）解： ，
假设存在，由题意，知
解得 ，
∴存在m=0，n=2，使得函数 的定义域为[0，2]，值域为[0，4]
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）若 的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；（2）令 ，则函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化为：y=t2﹣2at+3， ，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；（3）假设存在，由题意，知 解得答案．
1 / 12016-2017学年河北省衡水市武邑中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2016高一下·武邑开学考）若集合 ，则M∩N=（ ）
A．{y|y≥1} B．{y|y＞1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
【答案】C
【知识点】交集及其运算；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由集合M中的函数y=2x＞0，得到函数的值域为y＞0，
∴集合M={y|y＞0}，
由集合N中的函数y= ≥0，得到函数的值域为y≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y＞0}．
故选C
【分析】求出指数函数y=2x及函数y= 的值域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．
2．（2016高一下·武邑开学考）以下六个关系式：①0∈{0}②{0} ③0.3 Q④0∈N⑤{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：根据元素与集合的关系可判定①④正确，③错误，
根据集合与集合的关系可判定②⑤正确，
故选：A．
【分析】根据元素和集合以及集合和集合的关系判断即可．
3．（2016高一下·武邑开学考）下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（ ）
A．y= B．y=logaax（a＞0且a≠1）
C．y=a （a＞0且a≠1） D．y=
【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A．y= =|x|，与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．
B．y=logaax=x，函数的定义域和对应法则与y=x相同，是同一函数，满足条件．
C．y=a =ax与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．
D．y= =x，（x≠0），函数的定义域与y=x不相同，不是同一函数，
故选：B
【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y=x相同即可．
4．（2016高一下·武邑开学考）函数y= 的定义域为（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2] C．（0，2] D．[1，+∞）
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则4﹣2x≥0，
即2x≤4
即x≤2，
∴函数的定义域为（﹣∞，2]，
故选：B．
【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．
5．（2016高一上·饶阳期中） =（ ）
A．14 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】解： =4﹣ ﹣lg10﹣2+3lne=4﹣9+2+3=0，
故选：B．
【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．
6．（2016高一下·武邑开学考）设f（x）= ，则f（1）=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵f（x）= ，
∴f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1=f（3）+1
=2×3﹣1+1=6．
故选：D．
【分析】由已知得f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1，由此能求出结果．
7．（2016高一下·武邑开学考）为得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可由函数y= sin2x的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数y=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ）= sin[2（x﹣ ）]，
∴把函数y= sin2x的图象向右平移 个单位，可得函数y=sin2x﹣cos2x的图象，
故选：B．
【分析】由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
8．（2016高一下·武邑开学考）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且 =2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ）
A． B．（2，+∞）
C． D．
【答案】A
【知识点】偶函数；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）＞2，即 f（log4x）＞ ，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞ =log42，或 log4x＜﹣ = ，
∴0＜x＜ ，或 x＞2，
故选 A．
【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞ ，即 log4x＞ ，或 log4x＜﹣ ，利用对数函数的定义域和单调性
求出不等式的解集．
9．（2016高一下·武邑开学考）已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x，有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间[﹣ ， ]上是增函数；③f（x）的图象关于点（ ，0）对称；④x= 是f（x）的一条对称轴．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），
② f（x）的最小正周期为π，故①正确；
②由2x﹣ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）得：x∈[﹣ +kπ， +kπ]（k∈Z），
故f（x）在区间[﹣ ， ]上不是单调函数，故②错误；
③ 由2x﹣ =2kπ得：x= +kπ，（k∈Z），
当k=0时，f（x）的图象关于点（ ，0）对称，故③正确；
④ 由2x﹣ = +2kπ得：x= +kπ，（k∈Z），
当k=0时，f（x）的图象关于x= 对称，
故④正确；
故选：C
【分析】函数f（x）= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．
10．（2016高二下·三原期中）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
【答案】A
【知识点】反证法与放缩法
【解析】【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
11．（2016高一下·武邑开学考）关于函数 ，看下面四个结论（ ）
①f（x）是奇函数；②当x＞2007时， 恒成立；③f（x）的最大值是 ；④f（x）的最小值是 ．其中正确结论的个数为：
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：y=f（x）的定义域为x∈R，且f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2007，sin21000π=0，且（ ）1000π＞0
∴f（1000π）= ﹣（ ）1000π＜ ，因此结论②错．
对于结论③，f（x）= ﹣（ ）|x|+ =1﹣ cos2x﹣（ ）|x|，﹣1≤cos2x≤1，
∴﹣ ≤1﹣cos2x≤ ，（ ）|x|＞0
故1﹣ cos2x﹣（ ）|x|＜ ，即结论③错．
对于结论④，cos2x，（ ）|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1﹣ cos2x﹣（ ）|x|在x=0时可取得最小值﹣ ，即结论④是正确的．
故选：A．
【分析】根据题意：依次分析命题：①运用f（﹣x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin2x= 进行转化，
然后利用cos2x和（ ）|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．
12．（2017高一上·定州期末）函数f（x）=3sinx ln（1+x）的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：由f（x）=3sinx ln（x+1）知x＞﹣1，当x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）＜3lne=3，
∵f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ，令f′（x）=0，即3cosxln（x+1）+3sinx =0，
当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0， ＞0，∴cosx＜0，∴ ＜x＜π，∴函数的极值点在（ ，π），
故答案为：B．
【分析】由题意可得当x= 时，f（ ）=3sin ln（ +1）=3ln（ +1）＜3lne=3，求导得f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx ， 令f′（x）=0故当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0，.即 cosx＜0， ＜x＜π∴函数的极值点在（ ，π）。
二、填空题：
13．（2016高一下·武邑开学考）一圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的表面积为 ．
【答案】300π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设底面的半径r，则r=sin30°×20=10，
∴该圆锥的侧面积S=π×10×20=200π．
∴圆锥的表面积为200π+π 102=300π．
故答案为：300π
【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论．
14．（2016高一下·武邑开学考）计算 = ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=（ ） +lg100+2= +4= ，
故答案为：
【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可
15．（2016高一下·武邑开学考）已知函数 ，则 = ．
【答案】2
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（ ）=1，
=f（1）=2
故答案为：2
【分析】由已知中 ，将x= 代入计算，可得答案．
16．（2016高一下·武邑开学考）下列四个结论：
①函数 的值域是（0，+∞）；
②直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a=﹣1；
③过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3；
④若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的侧面积等于球的表面积．
其中正确的结论序号为 ．
【答案】④
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于①，∵ ，∴函数 的值域是（0，1）∪（1，+∞），故错；
对于②，直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a=﹣1或0，故错；
对于③，过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3或y=2x，故错；
对于④，若圆柱的底面直径与高都等于球的直径2r，则圆柱的侧面积等于2πr 2r=4πr2等于球的表面积，故正确．
故答案为：④
【分析】①， ，∴函数 ≠1；
②，a=0时，直线2x+ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0也平行；
③，过点A（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线还有过原点的直线；
④，利用公式求出圆柱的侧面积即可．
三、解答题：
17．（2016高一下·武邑开学考）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0的距离的一半．
（1）求m的值；
（2）判断直线l与圆 的位置关系．
【答案】（1）解：2x﹣y+1=0化为4x﹣2y+2=0，
则两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于 = ，
∴点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离= = ，
∵m＞0
∴m=5
（2）解：圆C：x2+（y﹣2）2= 的圆心C（0，2），半径r= ，
∵C到直线l的距离d= = ，
∴l与圆C相切
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）求出两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离，利用两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0（m＞0）的距离的一半，建立方程，即可求m的值；（2）求出C到直线l的距离，即可得出结论．
18．（2016高一下·武邑开学考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD
（1）证明AC⊥PB
（2）证明：平面PBC∥平面EFG．
【答案】（1）证明：连结BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB 平面PBD，∴AC⊥PB
（2）证明：∵G、E分别为CD、PD的中点，∴CE∥PC，
又GE 平面PBC，PC 平面PBC，
∴GE∥平面PBC，
在正方形ABCD中，G、F分别为CD、AB的中点，
∴GF∥BC，又GF 平面PBC，BC 平面PBC，
∴GF∥平面PBC，
∵GF∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连结BD，推导出PD⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（2）推导出GE∥平面PBC，GF∥平面PBC，由此能证明平面PBC∥平面EFG．
19．（2016高一下·武邑开学考）已知f（x）=4sinωxsin（ωx+ ）﹣1（ω＞0），f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）当x∈[0， ]时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）请用“五点作图法”画出f（x）在[0，π]上的图象．
【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=4sinωxsin（ωx+ ）﹣1=2sin2ωx﹣1+2 sinωxcosωx=2sin（2ωx﹣ ）
由f（x）的最小正周期为π，得ω=1，所以f（x）=2sin（2x﹣ ）．
因为x∈[0， ]，所以2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
故当2x﹣ = ，即x= 时，f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2ωx﹣ ）知：
2x﹣ ﹣ 0 π
x 0 π
f（x） ﹣1 0 2 0 ﹣2 ﹣1
【知识点】五点法画三角函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（Ⅰ）先化简f（x），由周期可求ω，从而得f（x）解析式，再根据函数性质求出f（x）的最大值（Ⅱ）用“五点法”可得f（x）的图象，注意x的范围
20．（2016高一下·武邑开学考）已知函数f（x）= 的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（ ）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．
【答案】（1）解：由题意知，f（x）为奇函数；
∴f（0）=b=0，则 ；
又 ；
∴a=1；
∴
（2）解：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：
= ；
又﹣1＜x1＜x2＜1；
∴ ；
∴f（x1）﹣f（x2）＜0；
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解：由f（x2﹣1）+f（x）＜0得f（x2﹣1）＜﹣f（x）；
即f（x2﹣1）＜f（﹣x）；
由（2）知f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则 ；
∴原不等式的解集为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据条件即可得出f（x）为奇函数，原点有定义，从而f（0）=0，得出b=0，再由f（ ）= 即可求出a=1；（2）根据增函数的定义，设任意的﹣1＜x1＜x2＜1，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2），从而便得出f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据f（x）为奇函数便可得出f（x2﹣1）＜﹣f（x），由f（x）在（﹣1，1）上为增函数即可得到不等式组 ，解该不等式组便可得出原不等式的解集．
21．（2016高一下·武邑开学考）如图所示，游乐场中摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（wt+φ）+h（A＞0，w＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（1）求f（t）的单调区间；
（2）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．
【答案】（1）解：由题意可得A=40， =6，∴ω= ，φ=﹣ ，h=40.5，
故f（t）=40sin（ t﹣ ）+40.5=40.5﹣40cos t，
令2kπ≤ t≤2kπ+π，求得6k≤t≤6k+3，可得函数的增区间为[6k，6k+3]，k∈Z；
令2kπ+π≤ t≤2kπ+2π，求得6k+3≤t≤6k+6，可得函数的减区间为[6k+3，6k+6]，k∈Z
（2）解：证明：∵f（t）=40.5﹣40cos t，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40[cos t+cos（ t+ ）+cos（ t+ ）]．
又 cos t+cos（ t+ ）﹣cos（ t+ ）=cos t﹣cos（ t﹣ ）﹣cos（ t+ ）
=cos t﹣cos t﹣ sin t+ sin t=0，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40×0=121.5，显然为定值，
故要证得结论成立
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的图象和性质，求得f（t）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（t）的单调区间．（2）利用诱导公式、两角和差的三角公式化简 f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得结论．
22．（2016高一下·武邑开学考）已知函数 ，函数 x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数 的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
令u=mx2+2x+m，则 ，
当m=0时，u=2x， 的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若 的定义域为R，
则 ，
解得m＞1，
综上所述，m＞1
（2）解： = ，x∈[﹣1，1]，
令 ，则 ，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当 时， 时， ；
当 时，t=a时， ；
当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．
综上所述，
（3）解： ，
假设存在，由题意，知
解得 ，
∴存在m=0，n=2，使得函数 的定义域为[0，2]，值域为[0，4]
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）若 的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；（2）令 ，则函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化为：y=t2﹣2at+3， ，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；（3）假设存在，由题意，知 解得答案．
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