2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高一下学期开学数学试卷（普通班）
一、选择题
1．（2016高一下·黄陵开学考）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（ ）
A．{1} B．{﹣1，1}
C．{1，0} D．{﹣1，0，1}
2．（2016高一下·黄陵开学考）函数y= 的定义域为（ ）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
3．（2016高一下·黄陵开学考）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2016高一下·黄陵开学考）下面说法不正确的选项（ ）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
5．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）=（x﹣ ）0+ 的定义域为（ ）
A． B．[﹣2，+∞）
C． D．
6．（2016高一下·黄陵开学考）下列3个命题：
（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；
（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2016高一下·黄陵开学考）已知f（x）=ax5+bx﹣ +2，f （2）=4，则 f（﹣2）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（x2）的定义域是（ ）
A．[﹣1，4] B．[0，16] C．[﹣2，2] D．[1，4]
9．（2016高一下·黄陵开学考）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（0，1） B．（0，1）∪（0，1]
C．（0，1） D．（0，1]
10．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于x= 对称
C．关于点（ ，0）对称 D．关于x= 对称
11．（2016高一下·黄陵开学考）已知双曲线c： =1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2 a，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0 A则实数b的取值范围是（ ）
A．b≠0 B．b＜0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b≤4或b≥4
二、填空题
13．（2016高一下·黄陵开学考）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数 的定义域是 ．
14．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）= 的值域是
15．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数y= 的定义域为R，则实数k的取值范围是 ．
16．（2016高一下·黄陵开学考）对定义域分别为D1，D2的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= ，f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），则h（x）的单调减区间是 ．
三、解答题
17．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=ax（x≥0）的图象经过点（2， ），其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
18．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．
19．（2016高一下·黄陵开学考）计算下列各式：
（1） ；
（2） ．
20．（2016高一下·黄陵开学考）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）
21．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[ ， ]，都有f（x）﹣2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
22．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数 ，若满足f（1）=
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）为奇函数．
（3）判断并证明函数f（x）的单调性．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由1≤2x＜4得20≤2x＜22，所以0≤x＜2，则B={x|0≤x＜2}，
又合A={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，
故选：C．
【分析】由1≤2x＜4得20≤2x＜22，求出x的范围及求出集合B，由交集的运算求出A∩B．
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y= ，
∴1﹣x≥0，x≥0，
∴0≤x≤1，
故选D．
【分析】根据根式有意义的条件求函数的定义域．
3．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义和图像即可判断。
4．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：函数的单调区间可以是函数的定义域，如一次函数和指数函数，故A正确；
函数的多个单调增区间的并集可能不是其单调增区间，如正弦函数和正切函数，故B不正确；
具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，故C正确；
关于原点对称的图象一定是奇函数的图象，故D正确；
故选：B．
【分析】由函数单调性的性质及函数奇偶性的性质对四个选项进行判断即可找出不正确的选项，得到答案
5．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则 ，
即 ，即x≥﹣2且x≠ ，
即函数的定义域为 ，
故选：C．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
6．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数，不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），因此不正确．
其中正确命题的个数是0．
故选：A．
【分析】（1）不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），即可判断出正误．
7．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（x）﹣2=ax5+bx﹣ 为奇函数，
则f（2）﹣2=a 25+2b﹣ ，
f（﹣2）﹣2=﹣a 25﹣2b+ ，
两式相加得f（﹣2）﹣2+f（2）﹣2=0，
即f（﹣2）=2+2﹣f（2）=4﹣4=0，
故选：A．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系即可．
8．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，即﹣2≤x≤3，
∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，4]，
由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．
∴y=f（x2）的定义域是[﹣2，2]．
故选：C．
【分析】由函数y=f（x+1）的定义域求得函数y=f（x）的定义域，再由x2在f（x）的定义域范围内求得x的范围得答案．
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；
∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；
函数 在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；
综上所知，a的取值范围是（0，1]；
故选：D．
【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；
10．【答案】A
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，可得 =π，
求得ω=2．
把f（x）的图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数为y=sin[2（x﹣ ）+φ]=sin（2x+φ﹣ ），
再根据得到的函数为奇函数，可得φ﹣ =kπ，k∈z，即φ=kπ+ ，故φ=﹣ ，f（x）=sin（2x﹣ ）．
令x= ，求得f（x）=0，可得函数f（x）的图象关于点 对称，
故选：A．
【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再根据奇偶性求出φ，可得函数的解析式；再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，得出结论．
11．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：连接NF，设MN交x轴于点B
∵⊙F中，M、N关于OF对称，
∴∠NBF=90°且|BN|= |MN|= = ，
设N（m， ），可得 = ，得m=
Rt△BNF中，|BF|=c﹣m=
∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（ ）2+（ ）2=c2
化简整理，得b= c，可得a= ，故双曲线C的离心率e= =2
故选：C
【分析】连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（ ， ），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．
12．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合．
由f（f（x））=0，可得 （x2+bx+c）2+b（x2+bx+c）+c=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0．
故函数f（x）=x2+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=﹣b，故A={0，﹣b}．
方程f（f（x））=0，即 （x2+bx）2+b（x2+bx）=0，即 （x2+bx）（x2+bx+b）=0，
解得x=0，或x=﹣b，或 x= ．
由于存在x0∈B，x0 A，故b2﹣4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }，
故选B．
【分析】由f（f（x））=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，﹣b}．方程f（f（x））=0即（x2+bx）（x2+bx+b）=0，解得x=0，或x=﹣b，或 x= ．由于存在x0∈B，x0 A，故b2﹣4b≥0，从而求得实数b的取值范围．
13．【答案】x∈[0，1）
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，2]
要使函数g（x）有意义，需使f（2x）有意义且x﹣1≠0
所以
解得0≤x＜1
故答案为[0，1）
【分析】求函数的定义域需各部分都有意义，分母不为0；利用f（x）的定义域[0，2]要使f（2x）有意义，只需0≤2x≤2，解即可得答案．
14．【答案】[﹣8，1]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数f（x）= ，
当0≤x≤3时，f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，其值域为[﹣3，1]，
当﹣2≤x≤0时，f（x）=x2+6x=（x+3）2﹣9，其值域为[﹣8，0]
∴可得f（x）的值域范围是[﹣8，1]．
故答案为[﹣8，1]．
【分析】分别根据定义域求解出函数的值域的并集，可得f（x）的值域范围．
15．【答案】0≤k＜3
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数y= 的定义域为R，
∴kx2+2kx+3≠0恒成立，
当k=0时，3≠0恒成立，满足题意；
当k≠0时，△＜0，
即4k2﹣12k＜0，
解得0＜k＜3；
综上，实数k的取值范围是0≤k＜3．
故答案为：0≤k＜3．
【分析】根据题意，得出kx2+2kx+3≠0恒成立，讨论k的取值，求出k的取值范围即可．
16．【答案】（﹣∞，1），[ ，2]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意，函数h（x）= ，
∵f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），
∴h（x）的解析式h（x）= ，
当1≤x≤2时，h（x）=（x﹣2）（﹣2x+3）=﹣2x2+7x﹣6，其对称轴为x= ，
故h（x）在[ ，2]上单调递减，
当x＜1时，h（x）=﹣2x+3为减函数，故减区间为（﹣∞，1），
综上所述h（x）的单调减区间为（﹣∞，1），[ ，2]，
故答案为：（﹣∞，1），[ ，2]
【分析】由题中所给的新定义函数，根据其规则结合f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），直接写出h（x）的解析式即可得到答案．
17．【答案】（1）解：∵函数f（x）=ax（x≥0）的图象经过点（2， ），
∴ =a2，
∴a=
（2）解：由（1）知f（x）=（ ）x，
∵x≥0，∴0＜（ ）x≤（ ）0=1，
即0＜f（x）≤1．
∴函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，1]
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换
【解析】【分析】（1）由函数f（x）=ax（x≥0）的图象经过点（2， ）列式求得a值；（2）直接利用指数式的单调性求得函数的值域．
18．【答案】（1）解：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
证明如下：
设0＜x1＜x2，则 ＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ ）=0，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ ）=f（ ）＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增
（2）解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴ ，解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）设0＜x1＜x2 ＞1，依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）f（x）+f（x﹣2）≤3 f（x）+f（x﹣2）≤f（8） ，解之即可．
19．【答案】（1）解：原式=
=
= =
（2）解：原式=
=
=
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将各项的底数化为幂的形式，利用指数的运算法则求解即可．（2）将 化为3的分数指数幂形式，将lg25+lg4利用对数的运算法则化为lg100=2， 由对数的意义知为2，结果可求出．
20．【答案】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元
（2）解：当0＜x≤100时，P=60
当100＜x＜550时，
当x≥550时，P=51
所以
（3）解：设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元
【知识点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元；（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P=51，则当100＜x＜550时， 得到P为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x=500，1000即可得到对应的利润．
21．【答案】（1）解：∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3﹣a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得﹣ ＜a＜ ，又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2
（2）解：由（1）知f（x）=x2+2x+2．
证明：∵x∈[ ， ]，∴不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立．
易知[﹣（x+ ）]min=﹣ ，
故只需2（1﹣m）≤﹣ 即可．
解得m≥
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；（2）不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立，只需要求出[﹣（x+ ）]min=﹣ ，然后2（1﹣m）≤﹣ 求出m的范围即可．
22．【答案】（1）解：f（1）= ；
∴ ；
∴a=1
（2）解：证明： ；
该函数定义域为R，f（﹣x）= ；
∴f（x）为奇函数
（3）解： ，可看出x增大时，f（x）增大，∴f（x）在R上为增函数，证明如下：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
= ；
∵x1＜x2；
∴ ， ；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在R上为增函数
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据f（1）= 便可求出a=1；（2）写出 ，定义域显然为R，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得出该函数为奇函数；（3）分离常数得到 ，根据单调性定义便可判断该函数在R上单调递增，根据增函数的定义证明：设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在R上单调递增．
1 / 12016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高一下学期开学数学试卷（普通班）
一、选择题
1．（2016高一下·黄陵开学考）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（ ）
A．{1} B．{﹣1，1}
C．{1，0} D．{﹣1，0，1}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由1≤2x＜4得20≤2x＜22，所以0≤x＜2，则B={x|0≤x＜2}，
又合A={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，
故选：C．
【分析】由1≤2x＜4得20≤2x＜22，求出x的范围及求出集合B，由交集的运算求出A∩B．
2．（2016高一下·黄陵开学考）函数y= 的定义域为（ ）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y= ，
∴1﹣x≥0，x≥0，
∴0≤x≤1，
故选D．
【分析】根据根式有意义的条件求函数的定义域．
3．（2016高一下·黄陵开学考）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义和图像即可判断。
4．（2016高一下·黄陵开学考）下面说法不正确的选项（ ）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：函数的单调区间可以是函数的定义域，如一次函数和指数函数，故A正确；
函数的多个单调增区间的并集可能不是其单调增区间，如正弦函数和正切函数，故B不正确；
具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，故C正确；
关于原点对称的图象一定是奇函数的图象，故D正确；
故选：B．
【分析】由函数单调性的性质及函数奇偶性的性质对四个选项进行判断即可找出不正确的选项，得到答案
5．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）=（x﹣ ）0+ 的定义域为（ ）
A． B．[﹣2，+∞）
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则 ，
即 ，即x≥﹣2且x≠ ，
即函数的定义域为 ，
故选：C．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
6．（2016高一下·黄陵开学考）下列3个命题：
（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；
（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数，不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），因此不正确．
其中正确命题的个数是0．
故选：A．
【分析】（1）不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），即可判断出正误．
7．（2016高一下·黄陵开学考）已知f（x）=ax5+bx﹣ +2，f （2）=4，则 f（﹣2）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（x）﹣2=ax5+bx﹣ 为奇函数，
则f（2）﹣2=a 25+2b﹣ ，
f（﹣2）﹣2=﹣a 25﹣2b+ ，
两式相加得f（﹣2）﹣2+f（2）﹣2=0，
即f（﹣2）=2+2﹣f（2）=4﹣4=0，
故选：A．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系即可．
8．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（x2）的定义域是（ ）
A．[﹣1，4] B．[0，16] C．[﹣2，2] D．[1，4]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，即﹣2≤x≤3，
∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，4]，
由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．
∴y=f（x2）的定义域是[﹣2，2]．
故选：C．
【分析】由函数y=f（x+1）的定义域求得函数y=f（x）的定义域，再由x2在f（x）的定义域范围内求得x的范围得答案．
9．（2016高一下·黄陵开学考）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（0，1） B．（0，1）∪（0，1]
C．（0，1） D．（0，1]
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；
∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；
函数 在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；
综上所知，a的取值范围是（0，1]；
故选：D．
【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；
10．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于x= 对称
C．关于点（ ，0）对称 D．关于x= 对称
【答案】A
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，可得 =π，
求得ω=2．
把f（x）的图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数为y=sin[2（x﹣ ）+φ]=sin（2x+φ﹣ ），
再根据得到的函数为奇函数，可得φ﹣ =kπ，k∈z，即φ=kπ+ ，故φ=﹣ ，f（x）=sin（2x﹣ ）．
令x= ，求得f（x）=0，可得函数f（x）的图象关于点 对称，
故选：A．
【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再根据奇偶性求出φ，可得函数的解析式；再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，得出结论．
11．（2016高一下·黄陵开学考）已知双曲线c： =1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2 a，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：连接NF，设MN交x轴于点B
∵⊙F中，M、N关于OF对称，
∴∠NBF=90°且|BN|= |MN|= = ，
设N（m， ），可得 = ，得m=
Rt△BNF中，|BF|=c﹣m=
∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（ ）2+（ ）2=c2
化简整理，得b= c，可得a= ，故双曲线C的离心率e= =2
故选：C
【分析】连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（ ， ），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．
12．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0 A则实数b的取值范围是（ ）
A．b≠0 B．b＜0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b≤4或b≥4
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合．
由f（f（x））=0，可得 （x2+bx+c）2+b（x2+bx+c）+c=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0．
故函数f（x）=x2+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=﹣b，故A={0，﹣b}．
方程f（f（x））=0，即 （x2+bx）2+b（x2+bx）=0，即 （x2+bx）（x2+bx+b）=0，
解得x=0，或x=﹣b，或 x= ．
由于存在x0∈B，x0 A，故b2﹣4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }，
故选B．
【分析】由f（f（x））=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，﹣b}．方程f（f（x））=0即（x2+bx）（x2+bx+b）=0，解得x=0，或x=﹣b，或 x= ．由于存在x0∈B，x0 A，故b2﹣4b≥0，从而求得实数b的取值范围．
二、填空题
13．（2016高一下·黄陵开学考）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数 的定义域是 ．
【答案】x∈[0，1）
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，2]
要使函数g（x）有意义，需使f（2x）有意义且x﹣1≠0
所以
解得0≤x＜1
故答案为[0，1）
【分析】求函数的定义域需各部分都有意义，分母不为0；利用f（x）的定义域[0，2]要使f（2x）有意义，只需0≤2x≤2，解即可得答案．
14．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）= 的值域是
【答案】[﹣8，1]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数f（x）= ，
当0≤x≤3时，f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，其值域为[﹣3，1]，
当﹣2≤x≤0时，f（x）=x2+6x=（x+3）2﹣9，其值域为[﹣8，0]
∴可得f（x）的值域范围是[﹣8，1]．
故答案为[﹣8，1]．
【分析】分别根据定义域求解出函数的值域的并集，可得f（x）的值域范围．
15．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数y= 的定义域为R，则实数k的取值范围是 ．
【答案】0≤k＜3
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数y= 的定义域为R，
∴kx2+2kx+3≠0恒成立，
当k=0时，3≠0恒成立，满足题意；
当k≠0时，△＜0，
即4k2﹣12k＜0，
解得0＜k＜3；
综上，实数k的取值范围是0≤k＜3．
故答案为：0≤k＜3．
【分析】根据题意，得出kx2+2kx+3≠0恒成立，讨论k的取值，求出k的取值范围即可．
16．（2016高一下·黄陵开学考）对定义域分别为D1，D2的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= ，f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），则h（x）的单调减区间是 ．
【答案】（﹣∞，1），[ ，2]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意，函数h（x）= ，
∵f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），
∴h（x）的解析式h（x）= ，
当1≤x≤2时，h（x）=（x﹣2）（﹣2x+3）=﹣2x2+7x﹣6，其对称轴为x= ，
故h（x）在[ ，2]上单调递减，
当x＜1时，h（x）=﹣2x+3为减函数，故减区间为（﹣∞，1），
综上所述h（x）的单调减区间为（﹣∞，1），[ ，2]，
故答案为：（﹣∞，1），[ ，2]
【分析】由题中所给的新定义函数，根据其规则结合f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），直接写出h（x）的解析式即可得到答案．
三、解答题
17．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=ax（x≥0）的图象经过点（2， ），其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
【答案】（1）解：∵函数f（x）=ax（x≥0）的图象经过点（2， ），
∴ =a2，
∴a=
（2）解：由（1）知f（x）=（ ）x，
∵x≥0，∴0＜（ ）x≤（ ）0=1，
即0＜f（x）≤1．
∴函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，1]
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换
【解析】【分析】（1）由函数f（x）=ax（x≥0）的图象经过点（2， ）列式求得a值；（2）直接利用指数式的单调性求得函数的值域．
18．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．
【答案】（1）解：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
证明如下：
设0＜x1＜x2，则 ＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ ）=0，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ ）=f（ ）＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增
（2）解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴ ，解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）设0＜x1＜x2 ＞1，依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）f（x）+f（x﹣2）≤3 f（x）+f（x﹣2）≤f（8） ，解之即可．
19．（2016高一下·黄陵开学考）计算下列各式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式=
=
= =
（2）解：原式=
=
=
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将各项的底数化为幂的形式，利用指数的运算法则求解即可．（2）将 化为3的分数指数幂形式，将lg25+lg4利用对数的运算法则化为lg100=2， 由对数的意义知为2，结果可求出．
20．（2016高一下·黄陵开学考）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）
【答案】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元
（2）解：当0＜x≤100时，P=60
当100＜x＜550时，
当x≥550时，P=51
所以
（3）解：设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元
【知识点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元；（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P=51，则当100＜x＜550时， 得到P为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x=500，1000即可得到对应的利润．
21．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[ ， ]，都有f（x）﹣2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3﹣a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得﹣ ＜a＜ ，又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2
（2）解：由（1）知f（x）=x2+2x+2．
证明：∵x∈[ ， ]，∴不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立．
易知[﹣（x+ ）]min=﹣ ，
故只需2（1﹣m）≤﹣ 即可．
解得m≥
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；（2）不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立，只需要求出[﹣（x+ ）]min=﹣ ，然后2（1﹣m）≤﹣ 求出m的范围即可．
22．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数 ，若满足f（1）=
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）为奇函数．
（3）判断并证明函数f（x）的单调性．
【答案】（1）解：f（1）= ；
∴ ；
∴a=1
（2）解：证明： ；
该函数定义域为R，f（﹣x）= ；
∴f（x）为奇函数
（3）解： ，可看出x增大时，f（x）增大，∴f（x）在R上为增函数，证明如下：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
= ；
∵x1＜x2；
∴ ， ；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在R上为增函数
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据f（1）= 便可求出a=1；（2）写出 ，定义域显然为R，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得出该函数为奇函数；（3）分离常数得到 ，根据单调性定义便可判断该函数在R上单调递增，根据增函数的定义证明：设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在R上单调递增．
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