2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高一下学期开学数学试卷（重点班）
一、选择题
1．（2016高一下·黄陵开学考）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣4，2] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3）
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选B．
【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，能求出A∩B．
2．（2016高一下·黄陵开学考）已知f（x﹣1）=2x+1，则f（3）的值是（ ）
A．5 B．9 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：f（x﹣1）=2x+1，则f（3）=f（4﹣1）=9．
故选：B．
【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
3．（2016高一下·黄陵开学考）若角α的终边过点P（1，﹣2），则tanα的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵角α的终边过点P（1，﹣2），
∴根据三角函数的定义知
tanα= =﹣2，
故选C．
【分析】根据角的一边所过的一个点，若这个点在单位圆上，利用三角函数的定义可以解出任意角的三角函数值，若这个点不是单位圆上的点，则要通过求比值得到结果．
4．（2016高一下·黄陵开学考）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1
=1﹣2sinxcosx﹣1
=﹣sin2x，
∴T=π且为奇函数，
故选D
【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．
5．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0， ）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由函数的图象可知：T=4× =π．
ω= =2．x= 时，函数的最大值为：2．A=2，
2=2sin（ +φ），由函数的图象可得φ= ．
为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）=2sin[2（x+ ）]的图象向右平移 个长度单位．
故选：B．
【分析】求出函数的解析式，利用坐标变换求解即可．
6．（2016高一下·黄陵开学考）下列3个命题：
1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；
3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数，不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），因此不正确．
其中正确命题的个数是0．
故选：A．
【分析】（1）不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），即可判断出正误．
7．（2016高一下·黄陵开学考）已知f（x）=ax5+bx﹣ +2，f （2）=4，则 f（﹣2）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（x）﹣2=ax5+bx﹣ 为奇函数，
则f（2）﹣2=a 25+2b﹣ ，
f（﹣2）﹣2=﹣a 25﹣2b+ ，
两式相加得f（﹣2）﹣2+f（2）﹣2=0，
即f（﹣2）=2+2﹣f（2）=4﹣4=0，
故选：A．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系即可．
8．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（x2）的定义域是（ ）
A．[﹣1，4] B．[0，16] C．[﹣2，2] D．[1，4]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，即﹣2≤x≤3，
∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，4]，
由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．
∴y=f（x2）的定义域是[﹣2，2]．
故选：C．
【分析】由函数y=f（x+1）的定义域求得函数y=f（x）的定义域，再由x2在f（x）的定义域范围内求得x的范围得答案．
9．（2016高一上·商丘期中）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（0，1） B．（0，1）∪（0，1]
C．（0，1） D．（0，1]
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；
∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；
函数 在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；
综上所知，a的取值范围是（0，1]；
故选：D．
【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；
10．（2016高一下·黄陵开学考）若集合A={1，2，3，4}，B={0，2，4，5}，则集合A∩B=（ ）
A．{2，4} B．{0，1，2，3，4，5}
C．{2，4，7，8} D．{1，3，4}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={0，2，4，5}，则集合A∩B={2，4}
故选：A．
【分析】直接求A、B的公共元素．
11．（2016高一下·黄陵开学考）y与x成反比例，且当x=2时，y=1，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：∵y与x成反比例，
∴y= ，
∵当x=2时，y=1，
∴1= ，
∴k=2，
∴y= ，
故选：C．
【分析】设出函数解析式，再代入计算，即可求出y关于x的函数关系式．
12．（2016高一下·黄陵开学考）下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，只有B不能表示函数关系．
故选：B
【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．
二、二.填空题
13．（2016高一上·蕲春期中）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
【答案】12
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，
由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
14．（2016高一下·黄陵开学考）函数 的单调增区间是
【答案】[﹣1，2]
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由5﹣x2+4x≥0，解得：﹣1≤x≤5，
故函数的定义域是[﹣1，5]，
令g（x）=﹣x2+4x+5，对称轴是；x=2，开口向下，
故g（x）在[﹣1，2）递增，在（2，5]递减，
根据复合函数的单调性，
得 在[﹣1，2]递增，
故答案为：[﹣1，2]．
【分析】求出函数的定义域，根据二次函数的性质以及复合函数的单调性求出函数的递增区间即可．
15．（2016高一下·黄陵开学考）对于任意x∈R，函数f（x）表示y1=4x+1，y2=x+2，y3=﹣2x+4三个函数值的最小值，则f（x）的最大值是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：解不等式 得：x ；
解不等式 得： ≤x≤ ，
解不等式 得：x ，
∴f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞， ]上单调递增，在（ ， ）上单调递增，在[ ，+∞）上单调递减，
∴当x= 时，f（x）取得最大值f（ ）= ．
故答案为 ．
【分析】求出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，利用f（x）的单调性得出f（x）的最大值．
16．（2016高一下·黄陵开学考）对定义域分别为D1，D2的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= ，f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），则h（x）的单调减区间是
【答案】（﹣∞，1），[ ，2]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意，函数h（x）= ，
∵f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），
∴h（x）的解析式h（x）= ，
当1≤x≤2时，h（x）=（x﹣2）（﹣2x+3）=﹣2x2+7x﹣6，其对称轴为x= ，
故h（x）在[ ，2]上单调递减，
当x＜1时，h（x）=﹣2x+3为减函数，故减区间为（﹣∞，1），
综上所述h（x）的单调减区间为（﹣∞，1），[ ，2]，
故答案为：（﹣∞，1），[ ，2]
【分析】由题中所给的新定义函数，根据其规则结合f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），直接写出h（x）的解析式即可得到答案．
三、解答题
17．（2016高一下·黄陵开学考）已知全集U=R，函数y= + 的定义域为A，函数y= 的定义域为B．
（1）求集合A、B．
（2）（ UA）∪（ UB）．
【答案】（1）解：由 x≥2
A={x|x≥2}
由 x≥﹣2且x≠3
B={x|x≥﹣2且x≠3}
（2）解：A∩B={x|x≥2且x≠3}
∴（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）={x|x＜2或x=3}
【知识点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法
【解析】【分析】（1）根据负数没有平方根及分母不为零列出不等式组，求出不等式组的解集确定出集合A，B．（2）先利用（CUA）（CUB）=CU（A∩B），再结合所求出的集合利用交集的定义即可得到（CUA）∪（CUB）．
18．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．
【答案】（1）解：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
证明如下：
设0＜x1＜x2，则 ＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ ）=0，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ ）=f（ ）＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增
（2）解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴ ，解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）设0＜x1＜x2 ＞1，依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）f（x）+f（x﹣2）≤3 f（x）+f（x﹣2）≤f（8） ，解之即可．
19．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）已知f（x）是偶函数，求a的值．
【答案】（1）解：当a=2时f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
由f（x）≥2得|x﹣1|+|x﹣2|≥2．
（ⅰ）当x≤1，不等式化为1﹣x+2﹣x≥2．即x≤ ．
（ⅱ）当1＜x≤2，不等式化为x﹣1+2﹣x≥2不可能成立．
（iii）当x＞2，不等式化为x﹣1+x﹣2≥2，即x≥2.5．
综上得，f（x）≥2的解集为{x|x≤ 或x≥2.5}
（2）解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴|﹣x﹣1|+|﹣x﹣a|=|x﹣1|+|x﹣a|．
∴a=﹣1
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥2；（2）已知f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），代入计算，即可求a的值．
20．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数 （a＞0）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）在 上是减函数 ，在上是增函数，并写出当x＜0时f（x）的单调区间；
（2）已知函数 ，函数g（x）=﹣x﹣2b，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）证明：当x＞0时，
①设x1，x2是区间 上的任意两个实数，且x1＜x2，
则 = =（x1﹣x2） ，
∵x1，x2∈ ，且x1＜x2，
∴0＜x1x2＜a，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在 上是减函数，
②同理可证在f（x）在 上是增函数；
综上所述得：当x＞0时，f（x）在 上是减函数，在 上是增函数．
∵函数 是奇函数，根据奇函数图象的性质可得，
当x＜0时，f（x）在 是减函数，在 是增函数
（2）解：∵ （x∈[1，3]），
由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上单调递减，[2，3]上单调递增，
∴h（x）min=h（2）=﹣4，h（x）max=maxh（3），h（1）=﹣3，
h（x）∈[﹣4，﹣3]，
又∵g（x）在[1，3]上单调递减，
∴由题意知，[﹣4，﹣3] [﹣3﹣2b，﹣1﹣2b]，
于是有： ，解得 ．
故实数b的范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义可证明x＞0时的单调性，根据奇函数性质可求x＜0时f（x）的单调区间；（2）对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，等价于h（x）的值域为g（x）值域的子集，利用函数单调性易求两函数值域；
21．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[ ， ]，都有f（x）﹣2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3﹣a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得﹣ ＜a＜ ，又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2
（2）解：由（1）知f（x）=x2+2x+2．
证明：∵x∈[ ， ]，∴不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立．
易知[﹣（x+ ）]min=﹣ ，
故只需2（1﹣m）≤﹣ 即可．
解得m≥
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；（2）不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立，只需要求出[﹣（x+ ）]min=﹣ ，然后2（1﹣m）≤﹣ 求出m的范围即可．
22．（2016高一下·黄陵开学考）设函数f（x）= ，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数．
【答案】（1）解：f（x）= = =a﹣ ，
设x1，x2∈R，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣
= ．
当a=1时，f（x）=1﹣ ，设0≤x1＜x2≤3，
则f（x1）﹣f（x2）= ，
又x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[0，3]上是增函数，
∴f（x）max=f（3）=1﹣ = ，f（x）min=f（0）=1﹣ =﹣1
（2）解：设x1＞x2＞0，则x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x1）﹣f（x2）＜0，而f（x1）﹣f（x2）= ，
∴当a+1＜0，即a＜﹣1时，有f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
∴当a＜﹣1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【分析】由于本题两个小题都涉及到函数的单调性的判断，故可先设x1，x2∈R，得到f（x1）﹣f（x2）差，将其整理成几个因子的乘积（1）将a=1的值代入，判断差的符号得出函数的单调性，即可确定函数在区间[0，3]的最大值，计算出结果即可（2）由于函数是定义域（0，+∞）是减函数，设x1＞x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，由此不等式即可得出参数的取值范围．
1 / 12016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高一下学期开学数学试卷（重点班）
一、选择题
1．（2016高一下·黄陵开学考）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣4，2] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3）
2．（2016高一下·黄陵开学考）已知f（x﹣1）=2x+1，则f（3）的值是（ ）
A．5 B．9 C．7 D．8
3．（2016高一下·黄陵开学考）若角α的终边过点P（1，﹣2），则tanα的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
4．（2016高一下·黄陵开学考）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
5．（2016高一下·黄陵开学考）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0， ）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
6．（2016高一下·黄陵开学考）下列3个命题：
1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；
3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2016高一下·黄陵开学考）已知f（x）=ax5+bx﹣ +2，f （2）=4，则 f（﹣2）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（x2）的定义域是（ ）
A．[﹣1，4] B．[0，16] C．[﹣2，2] D．[1，4]
9．（2016高一上·商丘期中）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（0，1） B．（0，1）∪（0，1]
C．（0，1） D．（0，1]
10．（2016高一下·黄陵开学考）若集合A={1，2，3，4}，B={0，2，4，5}，则集合A∩B=（ ）
A．{2，4} B．{0，1，2，3，4，5}
C．{2，4，7，8} D．{1，3，4}
11．（2016高一下·黄陵开学考）y与x成反比例，且当x=2时，y=1，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
12．（2016高一下·黄陵开学考）下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
二、二.填空题
13．（2016高一上·蕲春期中）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
14．（2016高一下·黄陵开学考）函数 的单调增区间是
15．（2016高一下·黄陵开学考）对于任意x∈R，函数f（x）表示y1=4x+1，y2=x+2，y3=﹣2x+4三个函数值的最小值，则f（x）的最大值是 ．
16．（2016高一下·黄陵开学考）对定义域分别为D1，D2的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= ，f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），则h（x）的单调减区间是
三、解答题
17．（2016高一下·黄陵开学考）已知全集U=R，函数y= + 的定义域为A，函数y= 的定义域为B．
（1）求集合A、B．
（2）（ UA）∪（ UB）．
18．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．
19．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）已知f（x）是偶函数，求a的值．
20．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数 （a＞0）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）在 上是减函数 ，在上是增函数，并写出当x＜0时f（x）的单调区间；
（2）已知函数 ，函数g（x）=﹣x﹣2b，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，求实数b的取值范围．
21．（2016高一下·黄陵开学考）已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[ ， ]，都有f（x）﹣2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
22．（2016高一下·黄陵开学考）设函数f（x）= ，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选B．
【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，能求出A∩B．
2．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：f（x﹣1）=2x+1，则f（3）=f（4﹣1）=9．
故选：B．
【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
3．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵角α的终边过点P（1，﹣2），
∴根据三角函数的定义知
tanα= =﹣2，
故选C．
【分析】根据角的一边所过的一个点，若这个点在单位圆上，利用三角函数的定义可以解出任意角的三角函数值，若这个点不是单位圆上的点，则要通过求比值得到结果．
4．【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1
=1﹣2sinxcosx﹣1
=﹣sin2x，
∴T=π且为奇函数，
故选D
【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由函数的图象可知：T=4× =π．
ω= =2．x= 时，函数的最大值为：2．A=2，
2=2sin（ +φ），由函数的图象可得φ= ．
为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）=2sin[2（x+ ）]的图象向右平移 个长度单位．
故选：B．
【分析】求出函数的解析式，利用坐标变换求解即可．
6．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数，不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），因此不正确．
其中正确命题的个数是0．
故选：A．
【分析】（1）不正确，举反例f（x）= ；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0或a=b=0，因此不正确；（3）y=x2﹣2|x|﹣3= ，其递增区间为[﹣1，0]或[1，+∞），即可判断出正误．
7．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴f（x）﹣2=ax5+bx﹣ 为奇函数，
则f（2）﹣2=a 25+2b﹣ ，
f（﹣2）﹣2=﹣a 25﹣2b+ ，
两式相加得f（﹣2）﹣2+f（2）﹣2=0，
即f（﹣2）=2+2﹣f（2）=4﹣4=0，
故选：A．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系即可．
8．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，即﹣2≤x≤3，
∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，4]，
由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．
∴y=f（x2）的定义域是[﹣2，2]．
故选：C．
【分析】由函数y=f（x+1）的定义域求得函数y=f（x）的定义域，再由x2在f（x）的定义域范围内求得x的范围得答案．
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；
∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；
函数 在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；
综上所知，a的取值范围是（0，1]；
故选：D．
【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；
10．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={0，2，4，5}，则集合A∩B={2，4}
故选：A．
【分析】直接求A、B的公共元素．
11．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：∵y与x成反比例，
∴y= ，
∵当x=2时，y=1，
∴1= ，
∴k=2，
∴y= ，
故选：C．
【分析】设出函数解析式，再代入计算，即可求出y关于x的函数关系式．
12．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，只有B不能表示函数关系．
故选：B
【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．
13．【答案】12
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，
由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
14．【答案】[﹣1，2]
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由5﹣x2+4x≥0，解得：﹣1≤x≤5，
故函数的定义域是[﹣1，5]，
令g（x）=﹣x2+4x+5，对称轴是；x=2，开口向下，
故g（x）在[﹣1，2）递增，在（2，5]递减，
根据复合函数的单调性，
得 在[﹣1，2]递增，
故答案为：[﹣1，2]．
【分析】求出函数的定义域，根据二次函数的性质以及复合函数的单调性求出函数的递增区间即可．
15．【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：解不等式 得：x ；
解不等式 得： ≤x≤ ，
解不等式 得：x ，
∴f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞， ]上单调递增，在（ ， ）上单调递增，在[ ，+∞）上单调递减，
∴当x= 时，f（x）取得最大值f（ ）= ．
故答案为 ．
【分析】求出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，利用f（x）的单调性得出f（x）的最大值．
16．【答案】（﹣∞，1），[ ，2]
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意，函数h（x）= ，
∵f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），
∴h（x）的解析式h（x）= ，
当1≤x≤2时，h（x）=（x﹣2）（﹣2x+3）=﹣2x2+7x﹣6，其对称轴为x= ，
故h（x）在[ ，2]上单调递减，
当x＜1时，h（x）=﹣2x+3为减函数，故减区间为（﹣∞，1），
综上所述h（x）的单调减区间为（﹣∞，1），[ ，2]，
故答案为：（﹣∞，1），[ ，2]
【分析】由题中所给的新定义函数，根据其规则结合f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），直接写出h（x）的解析式即可得到答案．
17．【答案】（1）解：由 x≥2
A={x|x≥2}
由 x≥﹣2且x≠3
B={x|x≥﹣2且x≠3}
（2）解：A∩B={x|x≥2且x≠3}
∴（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）={x|x＜2或x=3}
【知识点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法
【解析】【分析】（1）根据负数没有平方根及分母不为零列出不等式组，求出不等式组的解集确定出集合A，B．（2）先利用（CUA）（CUB）=CU（A∩B），再结合所求出的集合利用交集的定义即可得到（CUA）∪（CUB）．
18．【答案】（1）解：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
证明如下：
设0＜x1＜x2，则 ＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ ）=0，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ ）=f（ ）＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增
（2）解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴ ，解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）设0＜x1＜x2 ＞1，依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）f（x）+f（x﹣2）≤3 f（x）+f（x﹣2）≤f（8） ，解之即可．
19．【答案】（1）解：当a=2时f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
由f（x）≥2得|x﹣1|+|x﹣2|≥2．
（ⅰ）当x≤1，不等式化为1﹣x+2﹣x≥2．即x≤ ．
（ⅱ）当1＜x≤2，不等式化为x﹣1+2﹣x≥2不可能成立．
（iii）当x＞2，不等式化为x﹣1+x﹣2≥2，即x≥2.5．
综上得，f（x）≥2的解集为{x|x≤ 或x≥2.5}
（2）解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴|﹣x﹣1|+|﹣x﹣a|=|x﹣1|+|x﹣a|．
∴a=﹣1
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥2；（2）已知f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），代入计算，即可求a的值．
20．【答案】（1）证明：当x＞0时，
①设x1，x2是区间 上的任意两个实数，且x1＜x2，
则 = =（x1﹣x2） ，
∵x1，x2∈ ，且x1＜x2，
∴0＜x1x2＜a，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在 上是减函数，
②同理可证在f（x）在 上是增函数；
综上所述得：当x＞0时，f（x）在 上是减函数，在 上是增函数．
∵函数 是奇函数，根据奇函数图象的性质可得，
当x＜0时，f（x）在 是减函数，在 是增函数
（2）解：∵ （x∈[1，3]），
由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上单调递减，[2，3]上单调递增，
∴h（x）min=h（2）=﹣4，h（x）max=maxh（3），h（1）=﹣3，
h（x）∈[﹣4，﹣3]，
又∵g（x）在[1，3]上单调递减，
∴由题意知，[﹣4，﹣3] [﹣3﹣2b，﹣1﹣2b]，
于是有： ，解得 ．
故实数b的范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义可证明x＞0时的单调性，根据奇函数性质可求x＜0时f（x）的单调区间；（2）对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，等价于h（x）的值域为g（x）值域的子集，利用函数单调性易求两函数值域；
21．【答案】（1）解：∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3﹣a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得﹣ ＜a＜ ，又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2
（2）解：由（1）知f（x）=x2+2x+2．
证明：∵x∈[ ， ]，∴不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立．
易知[﹣（x+ ）]min=﹣ ，
故只需2（1﹣m）≤﹣ 即可．
解得m≥
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；（2）不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立 2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立，只需要求出[﹣（x+ ）]min=﹣ ，然后2（1﹣m）≤﹣ 求出m的范围即可．
22．【答案】（1）解：f（x）= = =a﹣ ，
设x1，x2∈R，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣
= ．
当a=1时，f（x）=1﹣ ，设0≤x1＜x2≤3，
则f（x1）﹣f（x2）= ，
又x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[0，3]上是增函数，
∴f（x）max=f（3）=1﹣ = ，f（x）min=f（0）=1﹣ =﹣1
（2）解：设x1＞x2＞0，则x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x1）﹣f（x2）＜0，而f（x1）﹣f（x2）= ，
∴当a+1＜0，即a＜﹣1时，有f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
∴当a＜﹣1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【分析】由于本题两个小题都涉及到函数的单调性的判断，故可先设x1，x2∈R，得到f（x1）﹣f（x2）差，将其整理成几个因子的乘积（1）将a=1的值代入，判断差的符号得出函数的单调性，即可确定函数在区间[0，3]的最大值，计算出结果即可（2）由于函数是定义域（0，+∞）是减函数，设x1＞x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，由此不等式即可得出参数的取值范围．
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