2016-2017学年四川省成都市崇庆中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2016高一下·成都开学考）设集合A={x|﹣2＜x＜7 }，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2016高一下·成都开学考） =（ ）
A． B． C． D．
3．（2016高一下·成都开学考）函数f（x）= +lg（x+1）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）
C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）
4．（2016高一下·成都开学考）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（ ）
A． B． C．y=﹣tanx D．y=﹣x3
5．（2016高一下·成都开学考）如果cos（π+A）=﹣ ，那么sin（ ）的值为（ ）
A．- B． C． D．
6．（2016高一下·成都开学考）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98
7．（2016高一下·成都开学考）设a=40.8，b=80.46，c=（ ）﹣1.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
8．（2016高一下·成都开学考）把函数y=sin（5x﹣ ）的图象向右平移 个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，所得的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2017高一上·武汉期中）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=loga| |的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2016高一下·成都开学考）已知向量 与 的夹角为120°，且 =2，| |=3，若 = + ，且 ⊥ ，则实数λ的值为（）
A． B．13 C．6 D．
11．（2016高一上·杭州期末）已知函数f（x）=logsin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）
C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]
12．（2016高一下·成都开学考）函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．﹣
二、填空题
13．（2016高一下·成都开学考）已知平面向量 ， ，且 ∥ ，则m= ．
14．（2016高一上·杭州期末）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形面积为 cm2．
15．（2016高一下·成都开学考）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为 ．
16．（2016高一下·成都开学考）下列命题：
1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期为π；
2）函数y=tan 的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣ ， ）上有3个零点；
4）若 ∥ ， ，则
其中错误的是
三、解答题
17．（2016高一上·杭州期末）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}
（1）分别求A∩B，A∪B
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C A，求实数a的取值范围．
18．（2016高一下·成都开学考）综合题。
（1）已知 ，求 的值．
（2） ．
19．（2016高一下·成都开学考）已知f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，求：
（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，求实数m的取值范围．
20．（2016高一下·成都开学考）已知函数 （a，b是常数，a＞0且a≠1）在区间 上有最大值3，最小值为 ．试求a，b的值．
21．（2016高一上·杭州期末）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（ ， ）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
22．（2016高一下·成都开学考）设函数f（x）= （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点（1， ），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=logm[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为B={x|x＞1，x∈N}，且A={x|﹣2＜x＜7 }，
所以，A∩B={x||﹣2＜x＜7，且x＞1，x∈N}
即A∩B={2，3，4，5，6}，
因此，A与B的交集中含有5个元素，
答案为：C．
【分析】根据题意直接得出A∩B={x||﹣2＜x＜7，且x＞1，x∈N}={2，3，4，5，6}，即有5个元素．
2．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：cos =cos（π+ ）=﹣cos =﹣
故选D．
【分析】根据诱导公式可知cos =cos（π+ ），进而求得答案．
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数f（x）有意义，则 ，
即 ，
解得x＞﹣1且x≠1，
即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），
故选：D
【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A．对数函数 的定义域为（0，+∞），不是奇函数，∴该选项错误；
B．反比例函数 在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
C．y=﹣tanx在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
D．y=﹣x3为奇函数，且在定义域内单调递减，∴该选项正确．
故选D．
【分析】根据对数函数的定义域，反比例函数和正切函数的单调性，奇函数及减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
5．【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：cos（π+A）=﹣ ，
可得cosA= ，
那么sin（ ）=cosA= ．
故选：B．
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
6．【答案】A
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．
7．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：a=40.8=21.6，b=80.46=21.38，c=（ ）﹣1.2=21.2，
根据函数y=2x在R上单调递增，
而1.2＜1.38＜1.6，
∴21.2＜21.38＜21.6，即c＜b＜a，
故选：A．
【分析】先将指数化成都以2为底，然后根据函数y=2x在R上单调性进行比较即可
8．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数为y=sin[5（x﹣ ） ]=sin（5x﹣ ），
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，可得到函数 的图象，
故选D．
【分析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．
9．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．
因此，必有0＜a＜1．
先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象．
而函数y=loga| |=﹣loga|x|，其图象如红颜色的图象．
故答案选：B．
【分析】本题考查的是指数型和对数型函数的图象问题。
10．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ = + ，且 ⊥ ，
∴ =（ + ） （ ）
=
= =0．
∵向量 与 的夹角为120°，且| |=2，| |=3，
∴2×3（λ﹣1） cos120°﹣4λ+9=0．
解得： ．
故选：D．
【分析】由 ⊥ ，得 =0，用向量 表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．
11．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，
∵sin1∈（0，1），
∴函数y=logsin1t是关于t的减函数，
结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，
又∵在[2，+∞）上t＞0总成立
∴，解之得﹣4＜a≤4．
∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故选：D．
【分析】令t=x2﹣ax+3a，函数y=logsin1t是关于t的减函数，由此能求出实数a的取值范围．
12．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数图象可得：A=2，T=2（6﹣2）=8= ，故解得：ω= ，可得函数解析式为：f（x）=2sin x，
所以，有：f（1）=
f（2）=2
f（3）=
f（4）=0
f（5）=﹣
f（6）=﹣2
f（7）=﹣
f（8）=0
f（9）=
…
观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，
由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=0．
故选：A．
【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+…+f（2006）转化为一个数列求和问题，然后利用分组求和法，即可得到答案．
13．【答案】﹣4
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：∵ ∥ ，
∴m+4=0
∴m=﹣4
故答案为：﹣4
【分析】根据题意，有 ∥ ，进而根据向量平行的充要条件，构造方程m+4=0，解可得答案．
14．【答案】2π
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为 ，
∴半径r= ，
∴这条弧所在的扇形面积为S= cm2．
故答案为：2π
【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．
15．【答案】6
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如图所示，
则f（x）的最大值为y=x+2与y=10﹣x交点的纵坐标，
即当x=4时，y=6．
故答案为6．
【分析】利用新定义，画出函数图象即可得出．
16．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）函数y=cos（2x+ ）最小正周期为π，则y=|cos（2x+ ）|最小正周期为 ；则（1）错误，（2）由 = ，得x=kπ，即函数y=tan 的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z正确，则（2）正确；（3）由f（x）=tanx﹣sinx=0得，tanx=sinx，则sinx=0或cosx=1，
则在（﹣ ， ）内，x=0，此时函数只有1个零点；则（3）错误，（4）若 ∥ ， ，则 错误，当 = 时，结论不成立，则（4）错误，
故错误的是（1）（3）（4），
故答案为：（1）（3）（4）
【分析】（1）根据三角函数的周期性质进行判断，（2）根据正切函数的对称性进行判断．（3）根据函数零点的定义进行求解．（4）根据向量平行的性质进行判断．
17．【答案】（1）解：由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]．
由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．
∴A∩B=[1，2）．
A∪B=（0，3]．
（2）解：由C A，
当C为空集时，a≤1．
当C为非空集合时，可得 1＜a≤3．
综上所述：a的取值范围是a≤3．
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）利用指数函数与对数函数的单调性分别化简A，B，再利用集合的运算性质即可得出．（2）由C A，对集合C分类讨论：当C为空集时，当C为非空集合时，即可得出．
18．【答案】（1）解：法（一）： ．
法（二）：由 ，即 ，则cosα=3sinα，∴
（2）解：原式=
【知识点】对数的性质与运算法则；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由条件利用同角三角的基本关系，求得要求式子的值．（2）由条件利用对数的运算性质，求得所给式子的结果．
19．【答案】（1）解：由于f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，它的最小正周期为 =π，
令2x+ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x= + ，k∈Z
（2）解：令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函数f（x）的增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z
（3）解：若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，则函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0， ]上有交点．
∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，f（x）∈[2﹣ ， ]，
故m﹣1∈[2﹣ ， ]，∴m∈[3﹣ ， ]
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论．（2）求出y=sin（2x+ ）的减区间，即为f（x）的单调递增区间，再利用正弦函数的单调性得出结论．（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0， ]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得m的范围．
20．【答案】解：令t=x2+2x=x（x+2），∵∴t∈[﹣1，0]
当0＜a＜1时，a0≤at≤a﹣1，∴
依题意得 ，
当a＞1时，a﹣1≤at≤a0，∴
依题意得
综上知，a=2，b=2或
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【分析】先将x2+2x看作一个整体，求出其范围，再对a分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论确定函数 取最小值和最大值的情况，列出方程组求解．
21．【答案】（1）解：角φ的终边经过点P（1，﹣ ），tanφ=﹣ ，∵﹣ ＜φ＜0，∴φ=﹣ ．
由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，得T= ，即 = ，∴ω=3．
∴f（x）=2sin（3x﹣ ）
（2）解：∵x∈（ ， ），
∴3x﹣ ∈（0，π），
∴0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，
问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．
∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）． 作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．
∵t= 时，y=﹣ ；t=0时，y=0；t=2时，y=10．
∴当﹣m=﹣ 或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
∴m的取值范围是：m= 或﹣10＜m≤0．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由题意，先求tanφ=﹣ ，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．（2）由x∈（ ， ），可得0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象，讨论即可得解m的求值范围．
22．【答案】（1）解：f（x）是定义域为R的奇函数
∴f（0）=0，
∴t=2
（2）解：由（1）得f（x）=ax﹣a﹣x，
∵f（1）＞0得 又a＞0
∴a＞1，
由f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0得f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1），
∵f（x）为奇函数，
∴f（kx﹣x2）＜f（1﹣x），
∵a＞1∴f（x）=ax﹣a﹣x为R上的增函数，
∴kx﹣x2＜1﹣x对一切x∈R恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立
故△=（k+1）2﹣4＜0解得﹣3＜k＜1
（3）解：函数f（x）的图象过点（1， ），
∴a=2，假设存在正数m，且m≠1符合题意，由a=2得 = =
设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，
∵x∈[1，log23]，
∴ 记h（t）=t2﹣mt+2，
∵函数 在[1，log23]上的最大值为0，
∴（ⅰ）若0＜m＜1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2在 有最小值为1
由于对称轴 ∴ ，不合题意
（ⅱ）若m＞1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2＞0在 上恒成立，且最大值为1，最小值大于0
①
又此时 ，
故g（x）在[1，log23]无意义
所以
② 无解，
综上所述：故不存在正数m，使函数 在[1，log23]上的最大值为0
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可知f（0）=0，得出t=2；（2）由f（1）＞0得 又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）=ax﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；（3）把点代入求出a=2，假设存在正数m，构造函数设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．
1 / 12016-2017学年四川省成都市崇庆中学高一下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2016高一下·成都开学考）设集合A={x|﹣2＜x＜7 }，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为B={x|x＞1，x∈N}，且A={x|﹣2＜x＜7 }，
所以，A∩B={x||﹣2＜x＜7，且x＞1，x∈N}
即A∩B={2，3，4，5，6}，
因此，A与B的交集中含有5个元素，
答案为：C．
【分析】根据题意直接得出A∩B={x||﹣2＜x＜7，且x＞1，x∈N}={2，3，4，5，6}，即有5个元素．
2．（2016高一下·成都开学考） =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：cos =cos（π+ ）=﹣cos =﹣
故选D．
【分析】根据诱导公式可知cos =cos（π+ ），进而求得答案．
3．（2016高一下·成都开学考）函数f（x）= +lg（x+1）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）
C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数f（x）有意义，则 ，
即 ，
解得x＞﹣1且x≠1，
即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），
故选：D
【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．
4．（2016高一下·成都开学考）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（ ）
A． B． C．y=﹣tanx D．y=﹣x3
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A．对数函数 的定义域为（0，+∞），不是奇函数，∴该选项错误；
B．反比例函数 在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
C．y=﹣tanx在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
D．y=﹣x3为奇函数，且在定义域内单调递减，∴该选项正确．
故选D．
【分析】根据对数函数的定义域，反比例函数和正切函数的单调性，奇函数及减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
5．（2016高一下·成都开学考）如果cos（π+A）=﹣ ，那么sin（ ）的值为（ ）
A．- B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：cos（π+A）=﹣ ，
可得cosA= ，
那么sin（ ）=cosA= ．
故选：B．
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
6．（2016高一下·成都开学考）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98
【答案】A
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．
7．（2016高一下·成都开学考）设a=40.8，b=80.46，c=（ ）﹣1.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：a=40.8=21.6，b=80.46=21.38，c=（ ）﹣1.2=21.2，
根据函数y=2x在R上单调递增，
而1.2＜1.38＜1.6，
∴21.2＜21.38＜21.6，即c＜b＜a，
故选：A．
【分析】先将指数化成都以2为底，然后根据函数y=2x在R上单调性进行比较即可
8．（2016高一下·成都开学考）把函数y=sin（5x﹣ ）的图象向右平移 个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，所得的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数为y=sin[5（x﹣ ） ]=sin（5x﹣ ），
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，可得到函数 的图象，
故选D．
【分析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．
9．（2017高一上·武汉期中）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=loga| |的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．
因此，必有0＜a＜1．
先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象．
而函数y=loga| |=﹣loga|x|，其图象如红颜色的图象．
故答案选：B．
【分析】本题考查的是指数型和对数型函数的图象问题。
10．（2016高一下·成都开学考）已知向量 与 的夹角为120°，且 =2，| |=3，若 = + ，且 ⊥ ，则实数λ的值为（）
A． B．13 C．6 D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ = + ，且 ⊥ ，
∴ =（ + ） （ ）
=
= =0．
∵向量 与 的夹角为120°，且| |=2，| |=3，
∴2×3（λ﹣1） cos120°﹣4λ+9=0．
解得： ．
故选：D．
【分析】由 ⊥ ，得 =0，用向量 表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．
11．（2016高一上·杭州期末）已知函数f（x）=logsin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）
C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，
∵sin1∈（0，1），
∴函数y=logsin1t是关于t的减函数，
结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，
又∵在[2，+∞）上t＞0总成立
∴，解之得﹣4＜a≤4．
∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故选：D．
【分析】令t=x2﹣ax+3a，函数y=logsin1t是关于t的减函数，由此能求出实数a的取值范围．
12．（2016高一下·成都开学考）函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．﹣
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数图象可得：A=2，T=2（6﹣2）=8= ，故解得：ω= ，可得函数解析式为：f（x）=2sin x，
所以，有：f（1）=
f（2）=2
f（3）=
f（4）=0
f（5）=﹣
f（6）=﹣2
f（7）=﹣
f（8）=0
f（9）=
…
观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，
由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=0．
故选：A．
【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+…+f（2006）转化为一个数列求和问题，然后利用分组求和法，即可得到答案．
二、填空题
13．（2016高一下·成都开学考）已知平面向量 ， ，且 ∥ ，则m= ．
【答案】﹣4
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：∵ ∥ ，
∴m+4=0
∴m=﹣4
故答案为：﹣4
【分析】根据题意，有 ∥ ，进而根据向量平行的充要条件，构造方程m+4=0，解可得答案．
14．（2016高一上·杭州期末）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形面积为 cm2．
【答案】2π
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为 ，
∴半径r= ，
∴这条弧所在的扇形面积为S= cm2．
故答案为：2π
【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．
15．（2016高一下·成都开学考）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为 ．
【答案】6
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如图所示，
则f（x）的最大值为y=x+2与y=10﹣x交点的纵坐标，
即当x=4时，y=6．
故答案为6．
【分析】利用新定义，画出函数图象即可得出．
16．（2016高一下·成都开学考）下列命题：
1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期为π；
2）函数y=tan 的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣ ， ）上有3个零点；
4）若 ∥ ， ，则
其中错误的是
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：（1）函数y=cos（2x+ ）最小正周期为π，则y=|cos（2x+ ）|最小正周期为 ；则（1）错误，（2）由 = ，得x=kπ，即函数y=tan 的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z正确，则（2）正确；（3）由f（x）=tanx﹣sinx=0得，tanx=sinx，则sinx=0或cosx=1，
则在（﹣ ， ）内，x=0，此时函数只有1个零点；则（3）错误，（4）若 ∥ ， ，则 错误，当 = 时，结论不成立，则（4）错误，
故错误的是（1）（3）（4），
故答案为：（1）（3）（4）
【分析】（1）根据三角函数的周期性质进行判断，（2）根据正切函数的对称性进行判断．（3）根据函数零点的定义进行求解．（4）根据向量平行的性质进行判断．
三、解答题
17．（2016高一上·杭州期末）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}
（1）分别求A∩B，A∪B
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]．
由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．
∴A∩B=[1，2）．
A∪B=（0，3]．
（2）解：由C A，
当C为空集时，a≤1．
当C为非空集合时，可得 1＜a≤3．
综上所述：a的取值范围是a≤3．
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）利用指数函数与对数函数的单调性分别化简A，B，再利用集合的运算性质即可得出．（2）由C A，对集合C分类讨论：当C为空集时，当C为非空集合时，即可得出．
18．（2016高一下·成都开学考）综合题。
（1）已知 ，求 的值．
（2） ．
【答案】（1）解：法（一）： ．
法（二）：由 ，即 ，则cosα=3sinα，∴
（2）解：原式=
【知识点】对数的性质与运算法则；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由条件利用同角三角的基本关系，求得要求式子的值．（2）由条件利用对数的运算性质，求得所给式子的结果．
19．（2016高一下·成都开学考）已知f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，求：
（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由于f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，它的最小正周期为 =π，
令2x+ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x= + ，k∈Z
（2）解：令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函数f（x）的增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z
（3）解：若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，则函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0， ]上有交点．
∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，f（x）∈[2﹣ ， ]，
故m﹣1∈[2﹣ ， ]，∴m∈[3﹣ ， ]
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论．（2）求出y=sin（2x+ ）的减区间，即为f（x）的单调递增区间，再利用正弦函数的单调性得出结论．（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0， ]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得m的范围．
20．（2016高一下·成都开学考）已知函数 （a，b是常数，a＞0且a≠1）在区间 上有最大值3，最小值为 ．试求a，b的值．
【答案】解：令t=x2+2x=x（x+2），∵∴t∈[﹣1，0]
当0＜a＜1时，a0≤at≤a﹣1，∴
依题意得 ，
当a＞1时，a﹣1≤at≤a0，∴
依题意得
综上知，a=2，b=2或
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【分析】先将x2+2x看作一个整体，求出其范围，再对a分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论确定函数 取最小值和最大值的情况，列出方程组求解．
21．（2016高一上·杭州期末）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（ ， ）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：角φ的终边经过点P（1，﹣ ），tanφ=﹣ ，∵﹣ ＜φ＜0，∴φ=﹣ ．
由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，得T= ，即 = ，∴ω=3．
∴f（x）=2sin（3x﹣ ）
（2）解：∵x∈（ ， ），
∴3x﹣ ∈（0，π），
∴0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，
问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．
∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）． 作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．
∵t= 时，y=﹣ ；t=0时，y=0；t=2时，y=10．
∴当﹣m=﹣ 或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
∴m的取值范围是：m= 或﹣10＜m≤0．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由题意，先求tanφ=﹣ ，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．（2）由x∈（ ， ），可得0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象，讨论即可得解m的求值范围．
22．（2016高一下·成都开学考）设函数f（x）= （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点（1， ），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=logm[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：f（x）是定义域为R的奇函数
∴f（0）=0，
∴t=2
（2）解：由（1）得f（x）=ax﹣a﹣x，
∵f（1）＞0得 又a＞0
∴a＞1，
由f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0得f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1），
∵f（x）为奇函数，
∴f（kx﹣x2）＜f（1﹣x），
∵a＞1∴f（x）=ax﹣a﹣x为R上的增函数，
∴kx﹣x2＜1﹣x对一切x∈R恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立
故△=（k+1）2﹣4＜0解得﹣3＜k＜1
（3）解：函数f（x）的图象过点（1， ），
∴a=2，假设存在正数m，且m≠1符合题意，由a=2得 = =
设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，
∵x∈[1，log23]，
∴ 记h（t）=t2﹣mt+2，
∵函数 在[1，log23]上的最大值为0，
∴（ⅰ）若0＜m＜1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2在 有最小值为1
由于对称轴 ∴ ，不合题意
（ⅱ）若m＞1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2＞0在 上恒成立，且最大值为1，最小值大于0
①
又此时 ，
故g（x）在[1，log23]无意义
所以
② 无解，
综上所述：故不存在正数m，使函数 在[1，log23]上的最大值为0
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可知f（0）=0，得出t=2；（2）由f（1）＞0得 又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）=ax﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；（3）把点代入求出a=2，假设存在正数m，构造函数设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．
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