甘肃省天水一中2012届高三百题集数学理试题

理科数学百题集
一、选择题
1．复数等于 （ ）
A． B． C．－ D．
2. 若，则定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合M＝｛|｝，N＝｛｝，则M N＝ （ ） A． B．{|1} C．｛|1｝ D．{| 1或0}
4. 设是周期为2的奇函数，当时，，则
(A) (B) (C) (D)
5.若a＞0，b＞0，且函数在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则
A. B. C. D.
7.曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）
9. 设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则=
（A） （B）
（C） （D）
10．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是 (　　)
11．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．［0，］ B．［0，）∪［,π)
C．［,π) D．(,］
12． 已知是等差数列，是其前项和，，则过点的直线的斜率是（ ）
A．4 B． C． D．
13． 已知为等差数列，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是 ( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
14. 已知等比数列的前n项和为，且， ，则公比等于 ( )
A. B. C.4 D.
15 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则“a1＜0，且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1＞an”的（ ） （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分比要条件 D．既不充分又不必要条件
16 .设是和的等比中项，则的最大值为 （ ）
A．10 B．7 C．5 D．
17．设O为坐标原点，，若向量的夹角与的夹角相等，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
18．如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其
中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对
的直角边重合．若，则x ，y等于（ ）
A． B．
C． D．
19．已知，且在第二象限，那么在 ( )
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
20．若△ABC的内角A满足,则sinA+cosA等于 （ ）
A． B． C． D．
21．把函数的图象沿向量a=(-m,m)(m＞0)的方向平移后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是 （ ） （ ）
A． B． C． D．
22．同时具有性质：“①最小正周期是②图像关于直线对称③在上是增函数”的一个函数是 （ ）
A． B．
C． D．
23．函数的图像如图所示，,则的值为（ ）
A． B．
C． D．
24若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
25.已知点的坐标满足条件，那么点P到直线的距离的最小值为 ( )
A B C 2 D 1
26. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平
面内的轨迹是 ( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
27.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( )
（A） （B） （C） （D）
28.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么 （ ）
(A) （B） 8 （C） （D） 16
29.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
30．在平面直角坐标系中，已知△的顶点和，顶点在双曲线的右支上，则 等于 ( )
A． B． C． D．
31.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若，，则 （D）若，，则
32．如右图，在正方体-中，为的中点，则与所在直线所成角的余弦值等于 ( ) （ ）
A． B．
C． D．
33.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于( )
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
34．如图所示，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，。若，
则动点在平面内的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分 B．线段
C．双曲线的一部分 D．以上都不是
35.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
36.半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是( )
（A） （B）
（C） （D）
37.表示标准正态总体在区间（，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布,则概率等于( )
A. B. C. D.38．把5名新同学分配到高一年级的A、B、C三个班，每班至少分配一人，其中甲同学已分配到A班，则其余同学的分配方法共有（ ）
A．24种 B．50种 C．56种 D．108种
39. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
40. 一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为(　　)
A. B. C. D.
二 填空题
41．已知集合，，那么 .
42. 若直线与函数的图象有两个公共点，
则a的取值范围是_______．
43．对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是
44.（04年广东卷.3）函数在处连续，则（ ）
45. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则=
46设常数，展开式中的系数为，则______
47 将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
48 在数列中，，则
49. 已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：
①数列0,1,3,5,7具有性质；
②数列0,2,4,6,8具有性质；
③若数列具有性质，则；
④若数列具有性质，则。
其中真命题有 。
50．已知||＝1，||＝2，||＝2，则||＝　　　　　　．
51.在中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若,则 A=__________.
52 .要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（以数字作答）
53如图在直三棱柱中， ，AC=BC=1,侧棱，M为的中点，则AM与平面所成角的正切值为______.
54.如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 。
55.给出下列四个命题：
①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条。
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；
其中正确的命题序号为:
56.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.
57 .以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为
58.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为
59.在二项式的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.
60.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知 0.05 ，在抽测的100根中，棉花纤维的长度在内的有 55 根。
61.若直线经过圆的圆心，则的最小值是
62. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝____
三 解答题
63.（江西理19）设.
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
64.设函数，曲线过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．
（I）求a，b的值；
（II）证明：
65.已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若,求的取值范围。
66.已知函数,
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当>0时，若存在x使得成立，求的取值范围.
67、已知函数
（1）若函数存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）设各项为正的数列满足：求证：
68 已知数列
（I）求数列的通项公式；
（II）记
69 已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值。
70 数列的前项和满足(，且).数列满足.
(Ⅰ)求数列的前项和；
（Ⅱ）若对一切都有，求的取值范围.
71 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。
（I）求的值；
（II）求的通项公式。
（III）由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。
72 数列满足，（）.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
73. 在数列中，已知。
（1）求数列的通项公式；
（2）若（为非零常数），问是否存在整数，使得对任意的都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
74.在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。
75. 已知函数
．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的取值范围．
76. 已知函数（，），且函数的最小正周期为．
(1)求函数的解析式并求的最小值；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若=1，,且，求边长．
77．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设三内角所对边分别为且，求在上的值域．
78.　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.
　　
79 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
80 .设点F(0,),动圆P经过点F且和直线y=相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
⑴求曲线W的方程；⑵过点F作相互垂直的直线，，分别交曲线W于A,B和C,D.①求四边形ABCD面积的最小值；②分别在A,B两点作曲线W的切线，这两条切线的交点记为Q,求证：QA⊥QB,且点Q在某一定直线上。
81．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率e=．
(Ⅰ) 求椭圆E的方程；
(Ⅱ) 过点（1,0）作直线交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
82．已知向量动点到定直线的距离等于并且满足其中是坐标原点，是参数.
（1）求动点的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当时，求的最大值和最小值；
（3）如果动点的轨迹是圆锥曲线，其离心率满足求实数的取值范围。
83.已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴
的对称点为 .
（i）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ii）求△面积的取值范围。
84. 过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点．
（1）若切线，的斜率分别为和，求证： 为定值，并求出定值；
（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（3）当最小时，求的值．
85. 若圆过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线，、为曲线上的两点，点，且满足.
（1）求曲线的方程；
（2）若，直线的斜率为，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程；
（3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：与均为定值.
86. 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
87 如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
88、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
89、已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，,，二面角P-AB-C为，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线EB与平面PAC所成的角。
90、如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，
AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
91、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求证：PC⊥BC；
求点A到平面PBC的距离。
92、如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
93、北京的高考数学试卷中共有8道选择题,每个选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个选项是正确的).评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题都给出了答案,已确定有4道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的,有一道题可以判断其一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题,试求:
(Ⅰ) 该考生得分为40分的概率;
(Ⅱ) 该考生所得分数的分布列及数学期望.
94、某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间有关，每台这种家用电器若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元，若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元。已知每台该种电器的无故障使用时间不超过一年的概率为无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为
（I）求销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率；
（II）求销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率；
95. 已知参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。
（1）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；
（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为（所有取值为0，1，2，3．．．，10）。
根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0.06 0.04 0.06 0.3 0.2 0.3 0.04
0 0 0 0 0.04 0.05 0.05 0.2 0.32 0.32 0.02
①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．
96、甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球，甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中装有2个黑球和3个红球，现从甲箱和乙箱中各取一个小球并且交换。
（1）求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率。
（2）设交换后甲箱中黑球的个数为，
求的分布列和数学期望。
97、某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走①号公路堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走②号公路堵车的概率为，不堵车的概率为．由于客观原因甲、乙两辆汽车走①号公路，丙汽车走②号公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（Ⅰ）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求汽车走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.
98. 如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C）；当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．求：
（Ⅰ）需要四次投掷，点P恰返回到A点的概率；
（Ⅱ）点P恰好返回到A点的概率．
99.2010年11月广州成功举办了第十六届亚运会。在华南理工大学学生会举行的亚运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关亚运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是．
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量的分布列和期望．
（文）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率．
100．盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品。为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止。
（1）求经过3次检查才将两件次品检查出来的概率；
（2）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率。
数学理科百题集答案
一、选择题
1 D ,2 A ,3 C ,4 A,5D,6B,7B,8，B， 9 B ,10 A ,11 B ,12 A,13 C,14 C,15 A,16 C,17 A,18．B,19 C,20 A,21 C,22 C,23 A ，24 D ,25 C,26 D,27 D,28 B,29 D,30 B,31 B,32 B,33 A,34 C ,35 D ,36 A , 37 B ,38 A ,39 A ,40 C
二 填空题
41 42. 43．②④ 44 45. 46 1 47． 48 49. ②③④ 50． 51.52 288 53 54. 55. ②④ 56. 3 57 9 58. 59. 28 60. 55 。61. 4 62 .
三 解答题
63.（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，
所以，当时，在上存在单调递增区间.
（2）令，得两根，，.
所以在，上单调递减，在上单调递增
当时，有，所以在上的最大值为
又，即
所以在上的最小值为，得，，
从而在上的最大值为.
64.
解：（I）
由已知条件得，解得
（II），由（I）知
设则
而
65.
(Ⅰ) ，，又
曲线的切线方程是：，在上式中令，得 ,所以曲线
（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得,故。由题设知，当时，不等式无解；
当时，解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是。
66.
（Ⅰ）当时函数的定义域为；
当时函数的定义域为
（Ⅱ）
令时，得即，
①当时，时，当时，，
故当 时，函数的递增区间为，递减区间为
②当时，，所以，
故当时，在上单调递增．
③当时，若，;若，，
故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为．
（Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为
若存在使得成立，只须，
即
67、
解：（1）依题意在时有解:即在有解.则且方程至少有一个正根.
此时，
（2）
设则列表：
（0，1） 1 （1，2） 2 （2，4）
+ 0 0 +
极大值 极小值
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则解得：
(3)设，则
在为减函数，且故当时有.
假设则，故
从而
即
68
解：(Ⅰ)　由　得 　　　　 　　　
　　　∴数列{}是首项为1，公差为3的等差数列 ∴ 即
　　　　(Ⅱ)　 ∵ 　　　
　 ∴　　
＝
69
解：（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列
∴ ∴ 又∵.　　∴
　　　（2）∵ ① ∴　即
又 ② ①－②：　
　∴ ∴
∴
70
解：（Ⅰ）当时， 　解得
当≥2时 …………2分
，
，两式相减得
　
所以数列是首项为，公比为的等比数列
　　　　　　　　　　　　　　
从而
……=
设……+，则
……＋，
　
（Ⅱ）由可得
① 当时，由 可得，
对一切都成立，此时的解为.　
② 当时，由 可得
≥ 对一切都成立，
.　　　
71
. 解：（I），，，因为，，成等比数列，
所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于，，
，所以。
又，，故．当n=1时，上式也成立，
所以
（III）bn=32n-2-3n-1+2, ∴=9.
72
（Ⅰ）由已知可得，即，即
∴ 数列是公差为1的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
相减得：
∴
73.
74.（I）∵为锐角，
∴
∵ ∴
（II）由（I）知，∴
由得 ，即
又∵ ∴ ( http: / / www. / ) ∴ ,∴
75.：（1）因为 ． 所以 ．
（2）当 时， ，
所以 当，， 当，．
所以的取值范围是．
76. （１），
由得，所以，
所以
（２）由f(B)= 1得，解得
又由知，所以
由余弦定理知
=
所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(或由，解得
,)
77．（1）由，得．
∴． ∴，
即
， ∴．
（2）由即得
则即，
又＝
由，则，故，即值域是
78.（Ⅰ）由题意得
　　　　　
　　　　　由A为锐角得
　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知
　　所以
　　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.
　　当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是.
79 （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（2） 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.
从而
在中，由正弦定理得， AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
= 所以船会进入警戒水域.
80 .⑴由切线性质及抛物线定义知W的方程:
⑵①设方程：，方程：，由弦长公式易知：四边形ABCD的面积S==18≥72，K=±1时，.
②由⑴知W的方程为：，故，则：QA⊥QB.联立方程和得交点Q即Q，当k取任何非零实数时，点Q总在定直线上。
81．
解：(1)，∴所求椭圆E的方程为：
(2)当直线不与x轴重合时，可设直线的方程为：
， 把（2）代人（1）整理得：
∴， 假设存在定点，使得为定值
=
当且仅当，即时，（为定值）．这时
再验证当直线的倾斜角时的情形，此时取，
，
∴存在定点使得对于经过（1,0）点的任意一条直线
均有（恒为定值）．
82．（1）设由题设可得
，
因
即为所求轨迹方程。
当时，动点的轨迹是一条直线；
当时，动点的轨迹是圆；
当时，方程可化为当时，动点的轨迹是双曲线；
当时，动点的轨迹是椭圆。
（2）当时， 的轨迹方程为得
∴当时，取最小值
当时，取最大值16.
因此，的最小值是，最大值是4.
（3）由于即此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为
①当时，
②当时，
而得，
综上，的取值范围是
83.(Ⅰ)易得，则所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)（i）不妨设直线方程为，代入
得：，
设，则有，，
由关于轴的对称点为，得，
根据题设条件设定点为，
得，即，整理得，
，代入得
则定点为
（ii）由（I）中判别式，解得 ，而直线过定点
所以
记，，易得在上位单调递减函数，
得
84. （1），，
即，即，
同理，所以。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：
，所以，所以
（2）因为，所以直线恒过定点
（3），所以，设，所以，当且仅当取等号，即。
因为
因为
所以
85. （1）依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线的方程为；
（2）直线的方程是,即，
由得点、的坐标是或，
当、时，由得,，
所以抛物线在点处切线的斜率为，
直线的方程为，即…………①
线段的中点坐标为，中垂线方程为，即…………②
由①、②解得，
于是，圆的方程为，
即 ，
当、时，抛物线在点处切线的斜率为，此时切线与垂直，所求圆为以为直径的圆，可求得圆为，
（3）设，,，过点的切线方程为，
即，同理可得，所以,，
又=，所以直线的方程为，
即,亦即,所以，
而,，所以
.
86. ：(1)设P(x,y)，则
化简得x2－=1(y≠0)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2－=1联立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知3－k2≠0且△＞0
设B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)
因此M点的坐标为()
,同理可得
因此
＝
＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，
同理可得 因此＝0
综上＝0，即FM⊥FN 故以线段MN为直径的圆经过点F
87 ：(Ⅰ) 连结与交于，
则为的中点，为的中点，为的中位线，//. 又平面，平面//平面
（Ⅱ）(解法1)过作于，由正三棱柱的性质可知，
平面，连结，在正中，
在直角三角形中，
由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，
又得，
，
∴.故所求二面角的大小为.
88、设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴
正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）
（Ⅰ）, 因为， 所以CM⊥SN 。
（Ⅱ）, 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。
89、w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om
（1）证明PC⊥底面ABC，又AB=BC,D为AC中点平面ACP平面ACP
，又平面BDE
（2）由（1）的证明知平面ACP为直线EB与平面PAC所成的角。
为PB在平面ABC上的射影为二面角P-AB-C的平面角
90、
91、（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得， 故点A到平面PBC的距离等于。
92、（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，
因为=及H是EF的中点，所以,
又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz
则（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
设=（x,y,z）为平面的一个法向量，
-2x+2y+2z=0
所以 6x=0.
取，则。又平面的一个法向量，
故。 所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设则，
因为翻折后，与重合，所以，
故， ，得，
经检验，此时点在线段上，所以。
93、 (Ⅰ)要得40分,8道选择题必须全做对,在其余四道题中,有两道题答对的概率为,有一道题答对的概率为,还有一道题答对的概率为,所以得40分的概率为
.
(Ⅱ)依题意,该考生得分的取值是20,25,30,35,40,得分为20表示只做对了四道题,其余各题都做错,故所求概率为;
同样可求得得分为25分的概率为
;
得分为30分的概率为;
得分为35分的概率为;
得分为40分的概率为.
于是的分布列为
20 25 30 35 40
故=.
该考生所得分数的数学期望为.
94、（I）无故障使用时间不超过一年的概率为
无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为
无故障使用时间超过三年的概率为
设销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的事件为A
答：销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率为
（II）设销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的事件为B
答：销售三台这种家电器的销售利润总和为300元的概率为
95. ：（1）从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有种方法，
另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，
所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为
（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为
P=（1-0.2）（1-0.32）=0.544
至少有一人命中8环的概率为p=1-0.544=0.456
② 所以2号射箭运动员的射箭水平高
96、
97、（Ⅰ）由已知条件得
即，则
（Ⅱ）：可能的取值为0，1，2，3
；
；
的分布列为：
所以
98.（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，
其概率为
若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为
（Ⅱ）因为只投掷一次不可能返回到A点；
若投掷两次点P恰能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为
若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为
若投掷四次点P恰能返回到A点，其概率为
所以，点P恰好返回到A点的概率为
99.（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是，根据题意，得
解得 ，；
（2）（理）可能取值0，1，2，3，
； ；
； ．
分布列如下：
0 1 2 3
期望为 ．
100．
A
O
P
Q