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第五章 三角形 复习
2.认识三角形的边、内角、顶点。
一、 认识三角形
1.了解三角形定义:
A
B
C
（1）边上的性质：
三角形的任意两边之和大于第三边
三角形的任意两边之差小于第三边
（2）角上的性质：
三角形三内角和等于180度
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
二、三角形的性质
A
B
C
D
∠ACD= ∠A + ∠B
练一练：
1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”)
① 3，4，5（ ） ② 8，7，15（ ）
③ 13，12，20（ ）④5，5，11（ ）
不能
不能
能
能
直角三角形
钝角三角形
3、根据下列条件判断它们是什么三角形？
（1）三个内角的度数是1:2:3（ ）
（2）两个内角是50°和30°（ ）
5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，
这个三角形的周长是 _________
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为
奇数，那么第三边长是 ______
3、在△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 ＜AC＜ ___
（第6题） （第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度
7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
则∠B= 度，∠C= 度
4
14
7或 9
17cm
100
50
60
8.在△ABC中，如果∠A＋∠B＝
2∠C，∠A≠∠B，那么（ ）
A、∠A、∠B、∠C都不等于600
B、∠A＝600
C、∠B＝600，
D、∠C＝600
D
则△ABC是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
∠B=
9.在△ABC中，如果∠A=
∠C
∠B=3
10.在△ABC中，如果∠A=2
∠C
则△ABC是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
A
A
1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念
三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念
B
C
E
A
BE=EC
线段AE是三角形BC边上的中线.
B
C
D
1
2
A
∠1=∠2
线段AD是三角形∠BAC的角平分线.
A
B
C
D
线段AD是BC边上的高.
∠ADB=∠ADC =90°
B
C
E
A
直线DE是BC边上的中垂线.
∠DEB=∠DEC =90°
且 BE=EC
D
四、三角形三线的性质
1.三角形的三条中线交于一点.（三角形内部）
2.三角形的三条角平分线交于一点. （三角形内部）
3.三角形的三条高所在直线交于一点
①锐角三角形的三条高交于同一点. （三角形内部）
②直角三角形的三条高交于直角顶点.
（三角形边上或直角顶点）
③钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）
1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长=________.
C
B
A
E
2.如图,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,
则∠ECF的度数=______度.
B
C
D
F
E
A
练一练:
10.5
90
邻补角的角平分线的夹角为90度。
4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，∠BDC的度数。
400
800
A
B
C
E
D
F
3.如图，AD、BF都是△ABC的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。
30
五、三角形全等的判定方法
（1）全等三角形的定义
（2）边边边公理（SSS）
（3）边角边公理（SAS）
三边对应相等的两个三角形全等
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
能够完全重合的两个三角形是全等三角形
（4）角边角公理（ASA）
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（5）角角边公理（AAS）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
ASS
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
AAA
不能把“AAS”、“ASA”简述为“两角
和一边对应相等的两个三角形全等”？
A
B
C
D
E
在△ADE和△ABC中
但△ABC和△ADE不全等
结论：说明两个三角形全等时,特别注意边和角“位置上对应相等” 。
如图,已知AC平分∠BCD,要说明△ABC≌△ADC,还需要增加一个什么条件 请说明理由。
D
C
A
B
或∠BAC=∠DAC
BC=CD
或∠B=∠D
4、如图AD=BC，要判定 △ABC≌△CDA，还需要的条件是 .
A
B
C
D
ＡＢ＝ＣＤ
或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ
B
A
F
C
D
E
如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,
说明∠EFD=∠BCA的理由。
A
C
B
O
D
如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
思考题：
角平分线上的任意一点到这个角两边的距离相等
角平分线的性质：
A
B
P
C
如图，若点P是∠CAB的平分线上一点，并且PB⊥AB，PC⊥AC，
则有 PC=PB
书写格式: ∵点P是∠CAB的平分线上一点，
PB⊥AB，PC⊥AC，
∴PC=PB
如图,在△ABC中, AD是△BAC的角平分线，DE是△ABD的高线， ∠C=90 度。若DE=2，BD=3，求线段BC的长。
B
D
E
A
C
（要求写出完整的解题过程）
四、线段中垂线的性质
１、 线段垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
A
C
O
B
l
几何表述：
∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴CA=CB
如下图，已知△ABC中，DE是BC边上的中垂线，若AC=5，EC=2， △ADC的周长是13，求△ABC的周长。
A
B
C
D
E
如上图，EF是AB的中垂线，分别延长BE、AE至D，C，使DE=CE，则AD与BC相等吗 请说明理由。
A
B
C
D
E
F
三角形中线的性质：
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形
A
B
C
D
如图，若AD是△ABC中BC边上的中线，
则有
△ABD的面积=△ACD的面积
A
B
C
D
E
如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
如上图，△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD:CD=2:3 ，DE:AE=1:4 ，△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
A
B
C
D
E
练习:1、图中三角形的个数是（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
E
A
当增加n条线的时候，有多少个三角形？
2、如图，∠1=∠2，AB=CD，AC与BD相交于点O，则图中必定全等的三角形有（ ）
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 6对
C
3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度
B
C
D
A
G
M
H
E
F
360
4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 .
5、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。
6或８
6、要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么∠AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD≌ △ . 理是 ，得到 ∠OED=∠ ，再说明△PEC≌△ ，理由是 ，得到PE= ；最后说明△EOP≌△ ，理由是 ，从而说明了∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB。
ＦOＣ
ＳＡＳ
ＯＦＣ
ＰＦＤ
ＡＡＳ
ＰＦ
ＦＯＰ
ＳＡＳ
7. (1)如图，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD,
CE是⊿ABC的______，求证： BD=CE。
高线
证明：∵ＢＤ，ＣＥ是⊿ＡＢＣ的高线
∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ＝９０°
∵ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝∠Ａ
∴⊿ＡＤＢ≌⊿ＡＥＣ（ＡＡＳ）
∴ＢＤ＝ＣＥ
.(2) 如图，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD
CE是⊿ABC的______，求证：BD=CE
中线
证明：∵ＡＢ＝ＡＣ
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
又∵ＢＤ，ＣＥ是中线
∴ＣＤ＝１／２ＡＣ ，ＢＥ＝１／２ＡＢ
而ＡＢ＝ＡＣ
∴ＣＤ＝ＢＥ
又ＢＣ＝ＣＢ
∴⊿ＤＣＢ≌⊿ＥＢＣ （ＳＡＳ）
∴ＢＤ＝ＣＥ
(3). 如图，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD
CE是⊿ABC的______，求证：BD=CE
角的平分线
证明：∵ＢＤ，ＣＥ是⊿ＡＢＣ的角平分线
∴∠１＝１／２∠ＡＢＣ，∠２＝１／２∠ＡＣＢ
∵ＡＢ＝ＡＣ
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
∴∠１＝∠２
∵ＢＣ＝ＣＢ
∴⊿ＤＢＣ≌⊿ＥＣＢ（ＡＳＡ）
∴ＢＤ＝ＣＥ
开启 智慧
你说 我说
8、把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置,判断AB和CD两条对角线是否互相垂直,并说明理由.
你们可要好好动动
脑哟！
这是一种什么图形
变换？
