11.3.1平行直线与异面直线 教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.3.1平行直线与异面直线 教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 71.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-06 09:19:41 | ||
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文档简介
11.3.1平行直线与异面直线教案
教学课时：1课时
教学目标：
1、结合学生已经学习掌握的相关知识，掌握空间中两条直线平行和两条直线异面两种位置关系，了解空间四边形的基本特征；
2、借助空间形式认识事物的位置关系，体会立体几何证明的基本思路及方法；
3、发展学生几何直观和空间想象能力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，训练学生数学空间想象力等学科素养．
教学重点：
空间两条直线的平行关系和异面关系．
教学难点：
立体几何证明的思路及方法．
教学过程：
一、平行直线
【提出问题，解决问题】
问题1：初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？
问题2：初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
【学生活动】
1、学生通过观察生活中的实例，探究初中平面几何中的结论在空间中是否成立；
2、学生尝试将观察的结果用规范的数学语言表达出来．
分析：不难看出，前面两个结论在空间中仍成立，即
1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
2、平行于同一条直线的两条直线互相平行．
上述结论2通常称为空间平行线的传递性，用符号表示为：
如果a//b,a//c,则b//c.如图所示．
问题3：观察下图正方体，还可以得到哪些结论呢？
【学生活动】
学生观察所给的几何体，进行小组内集思广益，尽可能的发掘所给几何体中直线与直线，直线所成角的基本特征．
空间中的等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
如图所示，在空间中，
如果AC∥A′C′，AB∥A′B′，则有∠BAC=∠B′A′C′．
【思考】
如果和都在同一个平面内，能证明这个结论么？
一般情况下，等角定理的证明．
如图，在AB上取一点E，在A′B′上取一点E′，使得AE=
A′E′；
在AC上取一点F，在A′C′上取一点F′
，使得AF=
A′F′；
由空间平行线的传递性可知，因此EFF′E′是一个平行四边形，所以EF=
E′F′.
于是有△EAF≌△E′A′F′,从而∠EAF=∠E′A′F′．
【设计意图】
借助空间形式认识事物的位置关系，体会立体几何证明的基本思路及方法是本节课的教学目标之一，可以通过等角定理的证明，使学生对于空间证明有基本的认识和了解，同时为后面空间中平行关系、垂直关系的证明打下基础，提高学生分析和解决问题的能力．
二、异面直线
异面直线指的是空间中，既不平行也不相交的直线．
【学生活动】
1、通过生活中实际例子，发现异面直线在实际生活中是广泛存在的；
2、思考在立体几何中怎样作异面直线的直观图？
3、研究确定异面直线的判定方法．
异面直线的几种作图方式：
异面直线的一种判定方法
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
图中，
此时，直线l与直线AB是异面的.这是因为同时
通过直线l与点B的平面只能是α，如果l与AB
共面，则矛盾．
【设计意图】
直观想象是高中学生必备的数学学科核心素养之一，培养学生的直观想象可以帮助他们建立借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化的能力.前面几次学生活动的安排，都是让学生自主的从实际生活出发，从具体实物出发，借助空间形式认识事物的位置关系，同时直观想象也是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段.这部分设计对于实现本节课的教学目标，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识有着很大帮助．
三、空间四边形
顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形．
其中4个点都是空间四边形的定点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线．
【例题讲解深化理解】
例1
（课本99页，例）
如图所示空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，AD，CB，CD的中点．
求证：四边形EFHG平行四边形．
证明：在？ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知且
同理.
因此，所以四边形EFHG是平行四边形
.
【思考1】EFHG是矩形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？
【思考2】EFHG是菱形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？
【思考3】EFHG是正方形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？
【设计意图】
设置连贯的问题串，目的是启发学生思维，鼓励学生通过猜想，证明结论，经历这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、推理论证等能力，在相同条件，不同设定情况下提升直观想象的素养，积累数学探究活动经验．
例2
（课本99页，练习A5）
画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使这两条直线
分别成为
（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线．
【设计意图】
利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物是直观想象的主要表现方式，学生在前面已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系，并且能够借助其他几何体进行了理解，此处两道例题的设定既是对本节课知识的巩固，也是对后面学习判断空间中平行关系，熟悉空间中平行关系的性质做以铺垫．
【课堂练习，巩固所学】
1.（课本99页，练习A
第4题）
画出三棱锥S-ABC，写出其棱所在直线中互为异面直线的直线．
参考答案：SA和BC
，SB和AC，SC和AB．
2.（课本99页，练习B
第1题）
已知直线a，b和平面.
试作图表示出它们之间的位置关系．
四、归纳总结
1、空间中两条直线平行和两条直线异面两种位置关系，了解空间四边形的基本特征；
2、用直观图形象的表示两条直线的位置关系，立体几何证明的基本思路及方法．
五、课后作业
1、课本99页，练习A
第2题；
2、课本99页，练习A
第3题；
3、课本99页，练习B
第3题．
教学课时：1课时
教学目标：
1、结合学生已经学习掌握的相关知识，掌握空间中两条直线平行和两条直线异面两种位置关系，了解空间四边形的基本特征；
2、借助空间形式认识事物的位置关系，体会立体几何证明的基本思路及方法；
3、发展学生几何直观和空间想象能力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，训练学生数学空间想象力等学科素养．
教学重点：
空间两条直线的平行关系和异面关系．
教学难点：
立体几何证明的思路及方法．
教学过程：
一、平行直线
【提出问题，解决问题】
问题1：初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？
问题2：初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
【学生活动】
1、学生通过观察生活中的实例，探究初中平面几何中的结论在空间中是否成立；
2、学生尝试将观察的结果用规范的数学语言表达出来．
分析：不难看出，前面两个结论在空间中仍成立，即
1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
2、平行于同一条直线的两条直线互相平行．
上述结论2通常称为空间平行线的传递性，用符号表示为：
如果a//b,a//c,则b//c.如图所示．
问题3：观察下图正方体，还可以得到哪些结论呢？
【学生活动】
学生观察所给的几何体，进行小组内集思广益，尽可能的发掘所给几何体中直线与直线，直线所成角的基本特征．
空间中的等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
如图所示，在空间中，
如果AC∥A′C′，AB∥A′B′，则有∠BAC=∠B′A′C′．
【思考】
如果和都在同一个平面内，能证明这个结论么？
一般情况下，等角定理的证明．
如图，在AB上取一点E，在A′B′上取一点E′，使得AE=
A′E′；
在AC上取一点F，在A′C′上取一点F′
，使得AF=
A′F′；
由空间平行线的传递性可知，因此EFF′E′是一个平行四边形，所以EF=
E′F′.
于是有△EAF≌△E′A′F′,从而∠EAF=∠E′A′F′．
【设计意图】
借助空间形式认识事物的位置关系，体会立体几何证明的基本思路及方法是本节课的教学目标之一，可以通过等角定理的证明，使学生对于空间证明有基本的认识和了解，同时为后面空间中平行关系、垂直关系的证明打下基础，提高学生分析和解决问题的能力．
二、异面直线
异面直线指的是空间中，既不平行也不相交的直线．
【学生活动】
1、通过生活中实际例子，发现异面直线在实际生活中是广泛存在的；
2、思考在立体几何中怎样作异面直线的直观图？
3、研究确定异面直线的判定方法．
异面直线的几种作图方式：
异面直线的一种判定方法
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
图中，
此时，直线l与直线AB是异面的.这是因为同时
通过直线l与点B的平面只能是α，如果l与AB
共面，则矛盾．
【设计意图】
直观想象是高中学生必备的数学学科核心素养之一，培养学生的直观想象可以帮助他们建立借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化的能力.前面几次学生活动的安排，都是让学生自主的从实际生活出发，从具体实物出发，借助空间形式认识事物的位置关系，同时直观想象也是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段.这部分设计对于实现本节课的教学目标，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识有着很大帮助．
三、空间四边形
顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形．
其中4个点都是空间四边形的定点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线．
【例题讲解深化理解】
例1
（课本99页，例）
如图所示空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，AD，CB，CD的中点．
求证：四边形EFHG平行四边形．
证明：在？ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知且
同理.
因此，所以四边形EFHG是平行四边形
.
【思考1】EFHG是矩形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？
【思考2】EFHG是菱形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？
【思考3】EFHG是正方形时，空间四边形ABCD分别满足什么条件？
【设计意图】
设置连贯的问题串，目的是启发学生思维，鼓励学生通过猜想，证明结论，经历这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、推理论证等能力，在相同条件，不同设定情况下提升直观想象的素养，积累数学探究活动经验．
例2
（课本99页，练习A5）
画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使这两条直线
分别成为
（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线．
【设计意图】
利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物是直观想象的主要表现方式，学生在前面已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系，并且能够借助其他几何体进行了理解，此处两道例题的设定既是对本节课知识的巩固，也是对后面学习判断空间中平行关系，熟悉空间中平行关系的性质做以铺垫．
【课堂练习，巩固所学】
1.（课本99页，练习A
第4题）
画出三棱锥S-ABC，写出其棱所在直线中互为异面直线的直线．
参考答案：SA和BC
，SB和AC，SC和AB．
2.（课本99页，练习B
第1题）
已知直线a，b和平面.
试作图表示出它们之间的位置关系．
四、归纳总结
1、空间中两条直线平行和两条直线异面两种位置关系，了解空间四边形的基本特征；
2、用直观图形象的表示两条直线的位置关系，立体几何证明的基本思路及方法．
五、课后作业
1、课本99页，练习A
第2题；
2、课本99页，练习A
第3题；
3、课本99页，练习B
第3题．