11.4.1直线与平面垂直（第2课时）教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册
文档属性
| 名称 | 11.4.1直线与平面垂直（第2课时）教案-2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 285.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-06 09:20:56 | ||
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文档简介
11.4.1直线与平面垂直第二课时教案
教学课时：第2课时
教学目标：
1、联系生活实际理解直线与平面垂直的性质，理解直线与平面所成角的定义，理解点到面、线到面、面与面的距离；
2、在观察，归纳，猜想和证明的过程中经历直线与平面垂直的性质探究及性质定理的形成过程，培养学生数学抽象、概括的能力，体会逻辑推理、直观想象的学科素养；
3、体会直线与平面垂直的判定和性质定理的应用，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生探究的意识和创新，应用的能力；
4、体会反证法的思考方式和证明过程，培养学生“正难则反”的思变意识．
教学重点：
直线与平面垂直的性质定理．
教学难点：
反证法证明直线与平面垂直的性质定理2．
教学过程：
一、提出问题，解决问题
我们已经学习了直线与平面垂直的判定定理，那么直线与平面垂直又有哪些性质呢？
问题1：如果一条直线垂直于一个平面，这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系呢？（利用实物和图片进行直观演示）
【学生活动1】
1、直观发现：这条直线和平面内的任何一条直线都垂直；
2、理性证明：根据线面垂直的定义，可以证明；
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
【设计意图】
联系生活实际，引入性质定理1，一是使学生有个直观的认识，再结合直线与平面垂直的定义，使学生感受观察，归纳，猜想，证明这一数学思维活动.二是以天安门广场的五星红旗为引例，培养学生的家国情怀．
【学生活动2】
学生自主完成课本113页尝试与发现（1）
1、直观发现：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；
2、理性证明：已知：l∥m，
求证：
证明：设a，b为平面内的任意两条相交直线
性质定理2：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
【设计意图】
学生在观察，归纳，猜想和证明的基础上，进一步体会立体几何中的文字语言，图形语言和数学语言.通过性质定理2的证明，培养学生严谨的逻辑推理能力．
【学生活动3】
学生自主完成课本113页尝试与发现（2）
1、直观发现：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
2、理性证明：
分析：l,m是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，我们一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，我们要想说明l，m共面本身就很困难，要证明平行就更难了.此时提醒学生可以转换思路，既然正着推不出来，那是不是可以逆着来呢？比如l，m不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法.
证明：设，假设l与m不平行，则过点O可作直线与l平行，由线面垂直的性质定理，可知.
因为
由过点O有两条不同的直线都与直线a垂直，这是不可能的，因此假设不成立，即l∥m．
上述证明过程也说明，过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直．
性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
【知识拓展】
反证法（Proofs
by
Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”
.具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.
【设计意图】
直接证明比较困难的时候，我们选择反证法.通过性质定理3的证明，让学生感受反证法的证明过程，了解反证法的思考过程及特点，从而培养学生逆向思维，“正难则反”的思变习惯．
问题2：线面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，我们通常来研究其判定定理和性质定理；那么当直线与平面不垂直时，我们来研究哪些问题呢？
【学生活动4】
阅读课本114页，理解斜线相关定义，理解直线与平面所成角的概念；
【设计意图】
当直线与平面不垂直时，学生可能从斜线的长度，斜线与平面所成的角，斜线的射影，斜线与平面内的直线的位置关系等角度去研究，在这里可以尝试大胆放手，让学生畅所欲言，教师最后结合具体情况，进行课堂调控．
二
例题讲解，深化理解
例3：如图所示，三棱锥S-ABC中，,,求这个三棱锥的体积．
分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是要找到S在底面的射影.
解：设S在底面的射影为O，则由SA=SB=SC,有OA=OB=OC,即O为的外心，又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点
又是直角三角形
【设计意图】
利用线面垂直，可以求出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积.另外，因为直线与平面平行时，直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离．
三、课堂练习，巩固所学
例4：如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线,．
【变式训练】课本116页第5题．
【设计意图】
例4及其变式的设计目的有两个，一是线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，二是引导学生总结出“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”
“平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影”这两个结论．
四、课后作业
课本115页A组第3,4,5题，B组第2,3题．
五、归纳总结
1、直线与平面垂直的性质定理；
2、直线与平面所成的角；
3、知识结构图．
教学课时：第2课时
教学目标：
1、联系生活实际理解直线与平面垂直的性质，理解直线与平面所成角的定义，理解点到面、线到面、面与面的距离；
2、在观察，归纳，猜想和证明的过程中经历直线与平面垂直的性质探究及性质定理的形成过程，培养学生数学抽象、概括的能力，体会逻辑推理、直观想象的学科素养；
3、体会直线与平面垂直的判定和性质定理的应用，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生探究的意识和创新，应用的能力；
4、体会反证法的思考方式和证明过程，培养学生“正难则反”的思变意识．
教学重点：
直线与平面垂直的性质定理．
教学难点：
反证法证明直线与平面垂直的性质定理2．
教学过程：
一、提出问题，解决问题
我们已经学习了直线与平面垂直的判定定理，那么直线与平面垂直又有哪些性质呢？
问题1：如果一条直线垂直于一个平面，这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系呢？（利用实物和图片进行直观演示）
【学生活动1】
1、直观发现：这条直线和平面内的任何一条直线都垂直；
2、理性证明：根据线面垂直的定义，可以证明；
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
【设计意图】
联系生活实际，引入性质定理1，一是使学生有个直观的认识，再结合直线与平面垂直的定义，使学生感受观察，归纳，猜想，证明这一数学思维活动.二是以天安门广场的五星红旗为引例，培养学生的家国情怀．
【学生活动2】
学生自主完成课本113页尝试与发现（1）
1、直观发现：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；
2、理性证明：已知：l∥m，
求证：
证明：设a，b为平面内的任意两条相交直线
性质定理2：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
【设计意图】
学生在观察，归纳，猜想和证明的基础上，进一步体会立体几何中的文字语言，图形语言和数学语言.通过性质定理2的证明，培养学生严谨的逻辑推理能力．
【学生活动3】
学生自主完成课本113页尝试与发现（2）
1、直观发现：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
2、理性证明：
分析：l,m是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，我们一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，我们要想说明l，m共面本身就很困难，要证明平行就更难了.此时提醒学生可以转换思路，既然正着推不出来，那是不是可以逆着来呢？比如l，m不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法.
证明：设，假设l与m不平行，则过点O可作直线与l平行，由线面垂直的性质定理，可知.
因为
由过点O有两条不同的直线都与直线a垂直，这是不可能的，因此假设不成立，即l∥m．
上述证明过程也说明，过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直．
性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
【知识拓展】
反证法（Proofs
by
Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”
.具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.
【设计意图】
直接证明比较困难的时候，我们选择反证法.通过性质定理3的证明，让学生感受反证法的证明过程，了解反证法的思考过程及特点，从而培养学生逆向思维，“正难则反”的思变习惯．
问题2：线面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，我们通常来研究其判定定理和性质定理；那么当直线与平面不垂直时，我们来研究哪些问题呢？
【学生活动4】
阅读课本114页，理解斜线相关定义，理解直线与平面所成角的概念；
【设计意图】
当直线与平面不垂直时，学生可能从斜线的长度，斜线与平面所成的角，斜线的射影，斜线与平面内的直线的位置关系等角度去研究，在这里可以尝试大胆放手，让学生畅所欲言，教师最后结合具体情况，进行课堂调控．
二
例题讲解，深化理解
例3：如图所示，三棱锥S-ABC中，,,求这个三棱锥的体积．
分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是要找到S在底面的射影.
解：设S在底面的射影为O，则由SA=SB=SC,有OA=OB=OC,即O为的外心，又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点
又是直角三角形
【设计意图】
利用线面垂直，可以求出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积.另外，因为直线与平面平行时，直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离．
三、课堂练习，巩固所学
例4：如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线,．
【变式训练】课本116页第5题．
【设计意图】
例4及其变式的设计目的有两个，一是线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，二是引导学生总结出“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”
“平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影”这两个结论．
四、课后作业
课本115页A组第3,4,5题，B组第2,3题．
五、归纳总结
1、直线与平面垂直的性质定理；
2、直线与平面所成的角；
3、知识结构图．