人教A版选修2-3 高二数学：2.4 正态分布 同步练习

选修2-3 2.4 正态分布
一、选择题
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是(　　)
A．f(x)＝e－　　
B．f(x)＝e
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝e－
[答案]　A
2．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.6 D．0.8
[答案]　A
[解析]　由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ>2)＝(1－0.8)＝0.1，故选A.
3．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于(　　)
A．2 B．10
C. D．可以是任意实数
[答案]　A
[解析]　由于ξ的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.∴k＝2.
4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　　)
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
[答案]　C
[解析]　由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，
60×0.9974≈60人．
5．(2010·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
[答案]　C
[解析]　∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，
故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.
6．以φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于(　　)
A．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)
B．φ(1)－φ(－1)
C．φ
D．2φ(μ＋σ)
[答案]　B
[解析]　设η＝，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)
＝φ(1)－φ(－1)．
[点评]　一般正态分布N(μ，σ2)向标准正态分布N(0,1)转化．
7．给出下列函数：①f(x)＝e－；②f(x)＝e－；③f(x)＝e－；④f(x)＝e－(x－μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
[答案]　C
[解析]　对于①，f(x)＝e－.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝e.若σ＝，则应为f(x)＝e－，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．
8．(2008·安徽)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
[答案]　A
[解析]　根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.
二、填空题
9．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图象关于直线________对称，f(x)的最大值为________．
[答案]　x＝3　
10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
[答案]　1
[解析]　正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.
11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．
[答案]　0.8
[解析]　∵μ＝1，∴正态曲线关于直线x＝1对称．
∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．
12．(2010·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．
[答案]　(24.94,25.06)
[解析]　正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．
三、解答题
13．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于.求该正态分布的概率密度函数的解析式．
[解析]　由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是，所以＝，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
14．(2010·邯郸高二检测)设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①ξ～N(2,9)，②P(ξ>c＋1)＝P(ξ解答本题可利用正态曲线的对称性来求解．
[解析]　由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
[点评]　解答此类问题要注意以下知识的应用：
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
(3)P(xP(x<μ－a)＝P(x≥μ＋a)
若b<μ，则P(x15．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？
[解析]　设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，
所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．
因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．
16．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.
(1)求概率密度函数；
(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？
[解析]　(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80.
＝，所以σ＝8.
故概率密度函数解析式是φμ，σ(x)＝e－.
(2)尺寸在72mm～88mm之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.28%.