《平方差公式》说课稿
四川省南部第二中学 谢发敏
教学内容分析
教学内容：
人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册，15.2.1平方差公式．
地位与作用：
本节课的主要内容是整式乘法中平方差公式的探究、理解和应用．它是在学生已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上对多项式乘法中出现的特殊算式的一种归纳和总结，是从一般到特殊的认识过程的范例．它应用十分广泛，可以简化计算过程、提高学生的运算能力．通过乘法公式的学习，开拓学生视野，更是今后学习因式分解、分式运算及其它代数式变形的重要基础．
教学目标分析
知识与能力目标：
理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算．
过程与方法目标：
经历观察、猜想、操作、归纳等过程，体验数形结合，以及从一般到特殊、具体到抽象的数学思想方法．进一步培养和发展学生的数学语言能力．
情感态度与价值观目标：
在探究和发现数学规律的活动中获得成功的体验，感受数学形式美，从而激发学习数学的兴趣和信心
█教学重点分析
理解平方差公式，会应用公式简化计算．
教法与学法分析
学情分析：
(1)有利因素
学生已经具备了导出平方差公式的知识与技能；
有了对整式运算“快”，“准”的积极心理；
学生数学学习兴趣较浓，合作交流的习惯基本养成．
(2)不利因素
学生观察、抽象、归纳的能力不强；理解和表述数学语言的能力有待提高，部分学生对多项式相乘还不够熟练和准确，学生学习能力也参差不齐.
教学难点分析：
平方差公式的归纳，以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解，
教法分析：
遵循教育学的循序渐进原则、启发性原则，本节课将采用引导发现，启发讨论相结合的教学方法．以“问”之方式来启发学生深思，以“变”之方式诱导学生灵活善变，以“梳”之方式引导学生归纳总结．
情境导入合作探究讨论交流训练应用
学法指导：
在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算公式，培养学生学习的主动性和积极性．
教学手段：
利用多媒体辅助教学，突破教学难点，使公式的推导变形生动、形象、直观，达到提高教学效率的目的．
教学过程分析
教学环节 教学内容 教师活动及学生活动 设计意图及教学效果
（一）创设情景引入新知 某小区的业主们发现开发商承诺的正方形绿地结果变成了长方形绿地，业主们找到开发商，开发商说：“我将事先承诺的边长为a米的正方形绿地一边增加5米，一边减少了5米，只是形状改变面积并没有变化”．面积真如开发商说的那样吗？ (a＋5)(a－5)= a2－5a＋5a－25= a2－25． 屏幕展示，提出问题，学生列式计算(a＋5)(a－5) ．教师指出：我们今天就来研究这类多项式的乘法． 从生活中的实例引入，既能感受数学与实际生活的紧密联系，又能激发学生的学习兴趣，也复习巩固了多项式乘法法则，为几何验证做好铺垫．
（二）自主探索揭示规律 【活动1】探究规律计算下面各题：（1）(m＋2)(m－2)；（2）(p＋q)(p－q)；（3）(2x＋1)(2x－1)．（1）(m＋2)(m－2)＝m2－22；（2）(p＋q)(p－q)＝p2－q2；（3）(2x＋1)(2x－1)＝(2x)2－12．观察这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么？(a＋b)(a－b)＝_____ 学生独立完成计算，然后在教师的指导下分小组进行观察，讨论，归纳结论，最后全班交流小组讨论发现的结果．教师再引导学生猜想． 让学生通过计算，观察每个左边算式和右边结果的特点，发现规律，猜想公式，从而经历从一般到特殊、从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法．
【活动2】验证猜想你能通过计算(a＋b)(a－b)，说明猜想的合理性吗？ 学生通过计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2验证平方差公式． 通过多项式的乘法法则进行计算验证猜想，让感知得到理性的检验，让合情推理与演绎推理并进，从而体现数学学科思维的严谨性．
【活动3】揭示特征你能揭示(a＋b)(a－b)＝a2－b2的结构特征吗？ 教师指导学生先自主辨析，再交流互补，不断完善． 揭示公式的结构特征，是学生理解公式，进而灵活运用公式解决问题的前提条件，进一步完善学生的认知结构，这也是本堂课的学习重点．
【活动4】描述公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2即两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 教师引导学生用文字语言和数学符号语言描述公式，并注意关键字词的理解． 本活动通过两种语言对公式的描述进一步强化学生对公式的准确理解并培养学生的语言表达能力．
（三）数形结合几何验证 【活动5】几何验证学生利用课前准备好的三张纸板拼图验证平方差公式 学生动手拼图验证后，教师多媒体演示． 设置本活动与前面的情景创设遥相呼应，激发学生的学习兴趣，使学生直观地经历图形变化的过程，从数形结合的角度加深对公式的理解．
（四）巩固运用升华提高 【活动6】开心一试1．你能用□和○分别代表a和b来表示平方差公式吗？[（□＋○）（□－○）＝□2－○2]2．试根据等式在□和○里填入数或式，同桌同学之间相互订正： 学生在问题2中可能填出单项式、多项式等代数式，对于出现形式的多样化都给予肯定． 加深学生对公式中a、b广泛含义的理解，帮助学生认清公式的结构特征，在接下来的公式运用中，相信学生会更加得心应手．
【活动7】例题示范例1 （152页）（1）(3x＋2)(3x－2)；（2）(－x＋2y) (－x－2y)；（3）(b＋2a)(2a－b)．(a＋b)(a－b)aba2－b2(3x＋2)(3x－2)(－x＋2y)(－x－2y)(b＋2a)(2a－b) 教师采用表格分析例题降低难度，并板书示范． 通过例题示范，面向全体学生，让学生基本会用公式进行计算，明确解题步骤格式，规范解题格式．
【活动8】慧眼识珠4．判断对错，如果有错，如何改正？（1）(x－2)(x＋2)＝x2－2；（2）(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25；（3）(－1＋3m)(1＋3m)＝1－9m2；（4）(a＋b)( b－a)＝a2－b2；（5）． 学生口答，教师点评． 对学生可能出现的错误进行预设，防微杜渐．
【活动9】巧用活用5．计算：（1）51×49；（2）(3x＋4)(3x－4)－(x＋3)(x－2) ．6．（1）填空：①(－m＋_____)(n＋____)＝n2－m2；②写出与(－a＋b)相乘能利用平方差公式进行计算的因式_______________．③(5a＋b＋3c)(5a＋b－3c)＝A2－B2，则A＝_____，B＝_______．（2）计算(x＋y)(x－y)(x2＋y2) ；（3）计算20102－2011×2009． 学生练习，教师点评． 通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征的理解，这里，让学生连续使用平方差公式，是对公式应用的拓展与提高．
（五）小结梳理布置作业 １．小结（1）本节课你学到了哪些数学知识？［(a＋b)(a－b)＝a2－b2］（2）本节课你感悟到哪些数学思想方法？（转化、数形结合思想） 学生相互交流在本堂课学习的过程中获得的知识与方法、体验与感受、经验与教训,以及可能存在的困惑． 体现教学的民主性,培养学生归纳、概括问题的能力,帮助学生理清知识脉络,引导学生反思学习过程,帮助学生认识自我,增强信心,提高兴趣．
2．作业（1）课内作业①第156页习题15.2的问题1．②先化简，求求值：x(x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中x＝2．（2）课外探究如下图所示，从边长为a的大正方形纸板中，挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成4个相同的等腰梯形，再拼成一个平行四边形，那么通过计算平行四边形的面积，可以验证公式_______________． 为了适应各层次学生的需要,进行分层作业,让学生带着数学问题走出课堂,从而把学生的思维引向一个更加广阔的空间.同时,作业2,让学生在课外运用所学的知识进行实践、探究. 进一步体会数形结合思想，从几何意义上理解代数公式，多方位地理解新知、运用新知．
教学反思与评价
《新课程标准》中明确指出：“教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新．”
在教学活动的组织中始终注意：
（1）以问题为活动的核心．在组织活动前，结合学习内容和学生实际，创设问题情境．
（2）探究是一个活动过程也是学生的思维过程，引导学生多角度思考问题，理解公式的结构特征，达到运用自如的效果．
（3）促进学生发展是活动的目的．让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、验证应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、数学思想方法等各方面的进一步发展．
平方差公式
整式的乘法
因式分解
乘法公式
完全平方公式
分式运算
解方程
数式变形
a+b(共30张PPT)
南充市南部二中 谢发敏
(a+b)(a-b)=a2-b2
义务教育课程标准实验教科书(人教版)《数学》八年级上册
说 课 流 程
教材分析
教学目标分析
教 法 与 学 法 分 析
教 学 过 程 分 析
教 学 评 价 分 析
一、教材分析
本节课的主要内容是整式乘法中平方差公式的探究、理解和应用．是从一般到特殊的认识过程的范例．通过乘法公式的学习，开拓学生视野，更是今后学习因式分解、分式运算及其它代数式变形的重要基础．
平方差公式
整式的乘法
因式分解
乘
法
公
式
完全平方公式
分式运算
解方程
数式变形
（一）教学目标
1.知识与技能目标
理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算．
2.过程与方法目标
经历观察、猜想、操作、归纳等过程，体验数形结合，以及从一般到特殊、具体到抽象的数学思想方法．进一步培养和发展学生的数学语言能力．
3.情感与态度目标
在探究和发现数学规律的活动中获得成功的体验，感受数学形式美，从而激发学习数学的兴趣和信心．
理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算．
经历观察、猜想、操作、归纳等过程，体验数形结合，以及从一般到特殊、具体到抽象的数学思想方法．进一步培养和发展学生的数学语言能力．
理解平方差公式，会应用公式简化计算．
（二）教学重点
二、教学目标
学生已经具备了导出平方差公式的知识与技能；同时，有了对整式运算“快”，“准”的积极心理；学生数学学习兴趣较浓，合作交流的习惯基本养成．
三、教法与学法分析
平方差公式的归纳，以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解．
（一）学情分析
有利因素
学生观察、抽象、归纳的能力不强；理解和表述数学语言的能力有待提高， 部分学生对多项式相乘还不够熟练和细心，学生学习能力也参差不齐．
（二）教学难点
不利因素
遵循教育学的循序渐进原则、启发性原则，本节课将采用引导发现，启发讨论相结合的教学方法．以“问”之方式来启发学生深思，以“变”之方式诱导学生灵活善变，以“梳”之方式引导学生归纳总结．
三、教法与学法分析
（三）教学方法
情境导入
合作探究
讨论交流
训练应用
多媒体辅助教学
实物拼图
三、教法与学法分析
在学法上，教师应引导学生积极思维， 鼓励学生进行合作学习，采用小组讨论，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出乘法公式，培养学生学习的主动性和积极性．
（四）学法指导
（五）教学手段
四、教学过程分析
创设情景
引入新知
巩固运用
升华提高
回顾反思
作业布置
探索讨论
揭示规律
数形结合
几何说理
创设情景
引入新知
某小区的业主们发现开发商承诺的正方形绿地结果变成了长方形绿地，业主们找到开发商，开发商说：“我将事先承诺的边长为a米的正方形绿地一边增加5米，一边减少了5米，只是形状改变面积并没有变化”．
面积真如开发商说的那样没有变化吗？
a
a+5
a
a-5
(a＋5)(a－5)
＝a2－5a＋5a－52
＝a2－52 .
创设情景 引入新知
四、教学过程分析
创设情景
引入新知
巩固运用
升华提高
回顾反思
作业布置
数形结合
几何说理
探索讨论
揭示规律
利用多项式的乘法法则，计算下面各题，再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？
（1）(m＋2)(m－2)；
（2）(p＋q)(p－q)；
（3）(2x＋1)(2x－1) ．
【活动1】探究规律
探索讨论 揭示规律
观察并讨论：
（1） (m＋2)(m－2)
（2） (p＋q)(p－q)
（3）(2x＋1)(2x－1)
左边为两个数的和与这两个数的差的积．
右边为这两个数的平方差．
猜想：(a＋b)(a－b)＝
＝m2－22 ；
＝p2－q2 ；
＝(2x)2－12 ．
a2－b2 ．
发现
你能通过计算(a＋b)(a－b)说明猜想的合理性吗？
【活动2】验证猜想
(a+b)(a b)
＝a2－ab＋ab－b2
＝a2－b2
(a＋b)(a－b)=a2－b2．
你能揭示式子的结构特征吗？
【活动3】揭示特征
符号相反项
用相同项的平方减符号相反项的平方．
相同项
【活动4】描述公式
平方差公式
两数和与这两数差的积,
等于
这两数的平方差.
即：
(a+b)(a b)=
a2 b2
四、教学过程分析
创设情景
引入新知
巩固运用
升华提高
回顾反思
作业布置
数形结合
几何说理
探索讨论
揭示规律
数形结合
几何验证
【活动5】拼图验证
a
a
a+b
a-b
数形结合 几何验证
b
b
a
a
a-b
a-b
a
b
a
b
a-b
a-b
a
b
裁剪拼接后的纸
的面积_______
裁剪前的纸
的面积_______
a2-b2．
(a+b)(a-b)．
(a+b)(a-b)=a2-b2．
结论:
四、教学过程分析
创设情景
引入新知
巩固运用
升华提高
数形结合
几何说理
探索讨论
揭示规律
回顾反思
作业布置
1．你能用□和○分别代表a和b来表示平方差公式吗？
（□＋○）（□－○）＝□2－○2．
2．试根据等式在□和○里填入数或式，同桌同学之间相互订正：
开心 一试
巩固运用，升华提高
例 .计算下列各式：
(a＋b)(a－b) a b a2－b2 结果
(3x＋2)(3x－2)
(－x＋2y)(－x－2y)
(b＋2a)(2a－b)
例题 示范
（1）(3x＋2)(3x－2)；
（2）(－x＋2y) (－x－2y)；
（3）(b＋2a)(2a－b)．
判断对错，如果有错，如何改正？
（1）(x－2)(x＋2)＝x2－2；
（2）(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25 ；
（3）(－1＋3m)(1＋3m)＝1－9m2 ；
（4）(a＋b)( b－a)＝a2－b2 ；
（5）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2 ．
慧眼 识珠
1．计算：
（1）51×49；
（2）(3x＋4)(3x－4)－(x＋3)(x－2)。
2．变式练习：
（1）填空
①(－m＋_____)(n＋____)＝n2－m2；
②写出与(－a＋b)相乘能利用平方差公式进行计算的因式_______________；
③(5a＋b＋3c)(5a＋b－3c)＝A2－B2，则A＝_____，B＝_______．
（2）计算(x＋y)(x－y)(x2＋y2)，并根据此题自编一道类似的题，同桌交换做一做 ．
（3）计算20082－2009×2007 ．
巧用 活用
四、教学过程分析
创设情景
引入新知
巩固运用
升华提高
数形结合
几何说理
探索讨论
揭示规律
回顾反思
作业布置
回顾反思 作业布置
平方差公式
知识点
过程
思想方法
平方差公式
(a＋b)(a－b)=a2－b2
观
察
猜
想
归
纳
验
证
一
般
到
特
殊
具
体
到
抽
象
数
形
结
合
课后作业：
（1）第156页习题15.2的问题1．
（2）先化简，再求值：
x(x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中x＝2。
（3）探究：
如图，从边长为a的大正方形纸板中，挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成4个相同的等腰梯形，再拼成一个平行四边形，那么通过计算平行四边形的面积，可以验证公式______。
平方差公式：
15.2.1 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
板书设计
例 计算下列各题:
（1）(3x＋2)(3x－2) ;
（2）(－x＋2y) (－x－2y);
（3）(b＋2a)(2a－b);
解：(3x＋2)(3x－2)
=（3x）2 －22
= 9x2 －4.
(－x＋2y) (－x－2y)
=(－x)2 －(2y)2
=x2 －4y2.
(b＋2a)(2a－b)
=(2a)2 －b2
=4a2 －b2.
《课程标准》指出：“教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新．”
在教学活动的组织中始终注意：
（1）以问题为活动的核心．在组织活动前，结合学习内容和学生实际，创设问题情境．
（2）探究是一个活动过程也是学生的思维过程，引导学生多角度思考问题，理解公式的结构特征 ，达到运用自如的效果．
（3）促进学生发展是活动的目的．让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、数学思想方法等各方面的进一步发展．
五、教学评价分析
谢谢指导
