1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．
教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．
教学过程
基础知识
知识点一
全称量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)对于全称量词命题：?x∈M，p(x)，它的否定为?x∈M，?p(x)．
思考1：用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
知识点二
存在量词命题的否定
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)对于存在量词命题：?x∈M，p(x)，它的否定为?x∈M，?p(x)．
思考2：一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗？
提示：(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词并按要求改变量词．
基础自测
1．写出下列命题的否定：
(1)?n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形．
[解析] (1)?n∈Z，n?Q；
(2)存在一个奇数的平方不是奇数；
(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形．
2．写出下列命题的否定：
(1)有些三角形是直角三角形；
(2)有些梯形是等腰梯形；
(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数．
[解析] (1)任意三角形都不是直角三角形；
(2)所有的梯形都不是等腰梯形；
(3)任意一个实数，它的绝对值都是正数．
题型探究
题型一
全称量词命题的否定
例1写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[分析] 把全称量词改为存在量词，然后否定结论．
[解] (1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
(3)?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)存在被5整除的整数，末位不是0.
[归纳提升] 1.全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
2．常见词语的否定
【对点练习】?
写出下列全称量词的否定：
(1)?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；
(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(3)所有分数都是有理数；
(4)任意两个等边三角形都相似．
[解析] (1)该命题的否定：?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．
(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．
题型二
存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；
(3)r：有些分数不是有理数．
[分析] 把存在量词改为全称量词，然后否定结论．
[解] (1)任意x∈R,2x＋1<0，为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以是真命题．
[归纳提升] 1.存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
2．对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定，而对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定．
【对点练习】?
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)?x∈{x|x是无理数}，是无理数；
(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；
(4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．
[解析] (1)假命题．任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题．?x∈{x|x是无理数}，是有理数．
(3)真命题．在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．
(4)真命题．任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．
误区警示
写命题的否定时忽略隐含的量词
例3写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位是5；
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
[错解] (1)可以被5整除的数，末位不是5；(2)能被3整除的数，不能被4整除．
[错因分析] 对于(1)，原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定不正确，(2)的错误与(1)相仿．实际上，(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题，因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词．
[正解] (1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是5.
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．
[方法点拨] 由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“?x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“?x∈M，?p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
PAGE1.5.1
全称量词与存在量词
课程目标
1.理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.
数学学科素养
1.数学抽象：全称量词命题、存在量词命题的理解；
2.逻辑推理：通过实例得出全称量词命题、存在量词命题含义；
3.数学运算：关于命题真假的判断；
4.数学建模：通过对全称量词命题、存在量词命题概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词，能够用全称量词表示全称量词命题，用存在量词表示存在量词命题.
难点：全称量词命题与存在量词命题的真假判断.
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
一、问题导入：
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）是整数；
（2）；
（3）对所有的，；
（4）对任意一个，是整数.
（5）至少有一个，能被和整除；
（6）存在有一个，使.
要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察，研讨.
二、预习课本，引入新课
阅读课本24-26页，思考并完成以下问题
1.什么是全称量词？常见的全称量词有哪些？怎样表示全称量词命题？
2.什么是存在量词？常见的存在量词有哪些？怎样表示存在量词命题？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程.
三、新知探究，知识梳理
1.全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
（3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：，，读作“对任意属于，有成立”，其中为给定的集合，是一个关于的命题.
（4）全称量词命题的真假判断：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合中每一个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.
2.存在量词与存在量词命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
（3）存在量词命题的表述形式：存在中的元素，使成立，可简记为，，读作“存在中的元素，使成立”.
（4）存在量词命题的真假判断：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个存在量词命题是假命题.
3.点拨：
（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词，或者命题具有全称量词所表达的含义，就是全称量词命题.
（2）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词，或者命题具有特称量词所表达的含义，就是存在量词命题.
四、典例分析、举一反三
题型一全称量词命题与存在量词命题的判定
例1
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）凸多边形的外角和等于；
（2）圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；
（3）至少有一个三角形没有外接圆；
（4）有些素数的和仍是素数；
（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
【答案】（1）可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于，故为全称量词命题.
（2）是全称量词命题，“任意”为全称量词.
（3）是存在量词命题，“至少有一个”为存在量词.
（4）含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（5）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.
解题技巧：
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：
1.首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题.
2.若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.
3.当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.
4.一个全称量词命题或存在量词命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词或存在量词，应结合具体问题多加体会.
变式训练1
1.下列命题中，是全称量词命题的是，是存在量词命题的是.（填序号）
①正方形的四条边相等；②有两个角是的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于；④至少有一个正整数是偶数.
【答案】①②③；④
题型二用量词表示命题
例2用全称量词或存在量词表示下列语句.
（1）有理数都能写成分数形式；
（2）整数中最小；
（3）方程有实数解；
（4）有一个质数是偶数.
【答案】（1）任意一个有理数都能写成分数形式.
（2）所有的整数中最小.
（3）存在实数，使成立.
（4）存在一个质数是偶数.
解题技巧：
由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.
变式训练2
2.用量词符号表述全称量词命题.
（1）任意一个实数乘以都等于它的相反数；
（2）对任意实数，都有.
【答案】（1），.
（2），.
题型三全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例3判断下列命题的真假：
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；
（2）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
（3）每一条线段的长度都能用正有理数表示；
（4）存在一个实数，使等式成立.
【答案】（1）真命题.
（2）真命题.函数就是满足要求的函数.
（3）假命题.如：边长为的正方形的对角线长，它的长度就不是有理数.
（4）假命题.因为，所以等式不成立.
解题技巧：
（1）判断全称量词命题，是真命题，要对集合中的每个元素，证明成立；判断全称量词命题为假命题只需要在集合中找到一个元素，使得不成立，即找反例.
（2）判断存在量词命题，是真命题，只需在集合中找到，使得成立即可，即举例加以说明；判断存在量词命题为假命题，需要证明集合M中使得成立的元素不存在.
变式训练3
有下列四个命题：①，；②，；③，；④，为的约数.其中真命题的个数为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】对于①，这是全称量词命题，∵，∴，是真命题；对于②，这是全称量词命题，当时，，故该命题为假命题；对于③，这是存在量词命题，当时，成立，该命题为真命题；对于④，这是存在量词命题，当时，为的约数，该命题为真命题.故选C.
五、课堂练习
1.下列命题是“，”的另一种表述方式的是（）
A.有一个，使得
B.对有些，使得
C.任选一个，使得
D.至少有一个，使得
2.既是存在量词命题，又是真命题的是（）
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个，使
C.两个无理数的和是无理数
D.存在一个负数，使
3.（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（）
A.，
B.至少有一个，使能同时被和整除
C.，
D.有些自然数是偶数
4.下列命题：
①偶数都可以被整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于.
既是全称量词命题又是真命题的是，既是存在量词命题又是真命题的是（填上所有满足要求的序号）.
5.用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假.
（1）一定有整数，，使得成立.
（2）所有的有理数都能使是有理数.
（3）存在一对实数，使成立.
六、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
七、板书设计
(
1
.
5
全称量词与存在量词
1.
全称量词命题与存在量词命题
例
1
例
2
例
3
)
八、作业
课本28页练习
因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明.1.4.2
充要条件
教学目标
1.理解充要条件的意义.
2.理解数学定义与充要条件的关系.
教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．
教学难点：判断条件与结论之间的充要性．
教学过程：
一、核心概念
充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为
(sufficient
and
necessary
condition)．
(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．
(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．
新知拓展
1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，则p是q的充要条件．
(3)若p?q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
(4)若pq，且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
(5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A?B，则p是q的充分条件．
(2)若B?A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A?B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B?A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．
(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．“?”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
二、评价自测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“?”具有传递性．( )
(3)若pq和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )
(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )
答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．
(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
答案：(1)x＝1或x＝2 (2)充要 (3)充要
三、典例分析
题型一
全称量词命题与存在量词命题的判定
例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＝b，q：ac＝bc；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：A∩B＝A，q：.
【答案】(1)因为a＝b?ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
(2)因为a＋5是无理数?a是无理数，并且a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0?a＝b＝0，并且a＝b＝0?a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4)因为A∩B＝A?A?B??UA??UB，并且?UB??UA?B?A?A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
题型探究
已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
【答案】作出“?”图，如右图所示，可知：
p?q，r?q，q?s，s?r.
(1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s?r?q，q?s，
∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q?s；s?r；r?q.
金版点睛：
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立．若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
此外，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．
跟踪训练1
指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(2)p：q：
(3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0.
【答案】(1)因为A∪B＝A?B?A，而A∩B＝B?B?A，所以A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(2)由根据不等式的性质可得
即p?q，而由不能推出
如：α＝1，β＝5满足但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)由a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0?a>0且b>0，所以p是q的充要条件．
题型二
充要条件的证明
例2已知，求证：是的充要条件．
【证明】 ①充分性：
∵，∴，
∴
，即.
②必要性：∵，
∴，
∴.
∵，∴且，
∴.
∴，∴.
综上可知，当时，是的充要条件．
题型探究
已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
【证明】因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.
即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．
另一方面，若a4－b4－2b2＝1，
即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，
(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.
又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件．
金版点睛：
充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”.
跟踪训练2
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，∴ac<0.
②充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
题型三
探求充要条件
例3求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【答案】①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为?a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为?0
综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
金版点睛：
探求充要条件的两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
跟踪训练3
已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【答案】方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
?
?
四、随堂练习
1．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
答案：D
解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的充分不必要条件．
3．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为x<－1?|x|>1，而|x|>1?x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
答案：a<0
解析：由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.
5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明：证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
②必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
证法二：由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以0，即<的充要条件是xy>0.1.4.1充分条件与必要条件
素养目标
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)
2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)
3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)
4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)
学法解读
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．
必备知识·探新知
基础知识
知识点一充分条件与必要条件
思考1：在逻辑推理中，能表达成哪几种说法？
提示：以下种说法：
①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件；④的充分条是；⑤的必要条件是.
知识点二判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
思考2：性质定理与必要条件有什么关系？
提示：性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件．
基础自测
1．思维辨析(对的打“”，错的打“”)
(1)“”是“”的必要条件．( )
(2)“”是“”的充分条件．( )
(3)如果是的充分条件，则是唯一的．( )
[解析]（1）因为“”“”.
（2）因为“”“”.
（3）不唯一，如，，等都是的充分条件.
2．，下列各式中哪个是“”的必要条件( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] ，，故选B．
3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( A )
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
[解析] 四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一充分条件
例1（1）设，则使成立的-一个充分条件是（
C）
A.
B.
C.
D.
（2）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤若中，若，则；
⑥已知，若，则.
[解析]（1），则能推出，故选C.
（2）①由于，所以，所以是的充分条件.
②由于，当时，；当时，，
因此，所以不是的充分条件.
③由可以推出，因此，所以是的充分条件.
④由可以推出或，不一定有，因此，所以不是的充分条件.
⑤由三角形中大角对大边可知，若，则，因此，所以是的充分条件.
因为，所以，，由，可推出，即，所以是的充分条件.
[归纳提升]充分条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断方法：
如果命题：“若，则”是真命题，则是的充分条件；
如果命题：“若，则”是假命题，则不是的充分条件.
[对点练习]?下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中是的充分条件？
（1）若，则；
（2）若内错角相等，则两直线平行；
（3）若整数能被整除，则的个位数字为偶数；
（4）若，则.
[解析]（1）若，则或，因此，所以不是的充分条件.
（2）若内错角相等，则两直线平行是真命题，所以，所以是的充分条件.
（3）若整数能被整除，则是偶数，所以的个位数字为偶数；
所以，所以是的充分条件.
（4）因为且，所以，所以是的充分条件.
题型二必要条件
例2（1）使成立的一-个必要条件是（
B）
A.B.或
C.
D.
（2）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？
①若，则；
②若是直角三角形，则是等腰三角形；
③，；
④，；
⑤：是自然数，：是正整数；
⑥：三角形是等边三角形，：三角形是等腰三角形.
[解析]（2）①若，则或，因此，所以不是的必要条件；
②直角三角形不一定是等腰三角形，因此，所以不是的必要条件；
③当时，，所以，所以是的必要条件；
④当时，成立，但是不成立，
所以，所以不是的必要条件；
⑤是自然数，但是不是正整数，所以，所以不是的必要条件；
等边三角形一定是等腰三角形，所以，所以是的必要条件.
[归纳提升]必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断方法：
如果命题：“若，则”是真命题，则是的必要条件；
如果命题：“若，则”是假命题，则不是的必要条件.
[对点练习]?下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？
（1）若是的平方根，则.
（2）若是完全平方式，则.
（3）若是无理数，则是无限小数.
（4）若与互为相反数，则与的绝对值相等.
[解析]（1）的平方根是，所以，所以不是的必要条件.
（2）因为，所以，所以，
所以不是的必要条件.
（3）因为无理数是无限不循环小数，所以，所以是的必要条件.
（4）若与互为相反数，则与的绝对值相等，所以，所以是的必要条件.1.3
集合的基本运算
1.3.2
补集及综合应用
教学目的：
（1）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课
型：新授课
教学重点：集合的补集的概念；
教学难点：集合的补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
1、
引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
2、
新课教学
1.全集
（1）概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
（2）记法：通常记作.
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
2.补集
思考2：怎样理解补集？
提示：（1）补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
3.基础自测
已知集合或，则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵或，∴，故选B．
2．（2019·贵州遵义市高一期末测试）已知集合，集合，，则
（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵，∴．
3．（2019·浙江，1）已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵，∴，故选A．
3、
题型探究
题型一
补集的基本运算
例1
（1）已知全集为，集合，，
，则集合______.
（2）已知全集，集合，则_______.
分析：（1）先结合条件，由补集的性质求出全集，再由补集的定义求出集合，也可借助Venn图求解．
（2）利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
解析：（1）∵，，∴．
又，∴．
（2）将全集和集合分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知或．
归纳提升 求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
题型二
交集、并集、补集的综合运算
例2
已知全集，集合，，求，，．
分析：对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集及集合、，先求出及，再求解．
解析：如图，
由图可得或．
如图，
由图可得或．
如图，
由图可得，∴或，
．
归纳提升
求集合交、并、补运算的方法
题型三
与补集相关的参数值的求解
例3
已知集合或，，若，求实数的取值范围．
分析： 由于集合包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．
解析：
因为或，，我们不妨先考虑当时的取值范围，在数轴上表示集合，，如图所示．
由，得，
故或.
即时，的取值范围为或，
故时，的取值范围为或.
归纳提升 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：（1）否定已知条件，考虑反面问题；（2）求解反面问题对应的参数范围；（3）取反面问题对应的参数范围的补集．
4、
学科素养
“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集，求子集，若直接求困难，可运用“正难则反”策略先求，再由求．
例5
已知，．若，求实数的取值集合．
分析： 要求，可先求时，的取值集合，再求出该集合在实数集中的补集即可．
解析：若，则．∵，∴集合有以下三种情况：
①当时，，即，∴或；
②当是单元素集时，，∴或.
若，则；若，；
③当时，，是方程的两根，，∴.综上可得，时，的取值集合为或或．
∴的实数的取值集合为且.
归纳提升 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．
PAGE第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
【素养目标】
1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)
2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)
3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算)
4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)
5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)
6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)
7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．
2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．
1.3.1
并集与交集
必备知识·探新知
基础知识
知识点一 并集
自然语言
一般地，由__所有属于集合A或属于集合B____的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union
set)，记作__A∪B__(读作“A并B”)．
符号语言
________A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}____
图形语言
(3)AB
(4)BA(5)A＝B
说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集.
思考1：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．
“x∈A或x∈B”包含三种情形：
①x∈A，但x?B；
②x∈B，但x?A；
③x∈A且x∈B．
知识点二 交集
自然语言
一般地，由_所有属于集合A且属于集合B的元素____组成的集合，称为A与B的交集(intersection
set)，记作__A∩B__(读作“A交B”)
符号语言
_______A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}_________
图形语言
(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)
(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝?)
(3)AB，则A∩B＝A
(4)BA，则A∩B＝B
(5)A＝B，A∩B＝B＝A
思考2：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？
提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．
知识点三 并集与交集的性质
(1)___A∩A＝A___，A∩?＝?.(2)____A∪A＝A____，A∪?＝A．
思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？
(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B呢？
提示：(1)(A∩B)?A，A?(A∪B)．
(2)A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．
基础自测
1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( A )
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{－1,1}
D．{0,1,2}
[解析] ∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．
2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝( D )
A．{0,1,2}
B．{2}
C．{2,4}
D．{0,1,2,4}
[解析] M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．
3．已知集合M＝{x|－5A．{x|－4B．{x|－5C．{x|3D．{x|－5[解析] M∩N＝{x|－54．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝____{1,6}________.
[解析] A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝___3__.
[解析] 因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 并集运算
例1 (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3[分析] 第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析] (1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3[归纳提升] 并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【对点练习】?
(1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__.
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2－2}___.
[解析] (1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
题型二 交集运算
例2 (1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝( B )
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{1}
D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于( D )
A．{x|x≤3或x>4}
B．{x|－1C．{x|3≤x<4}
D．{x|－2≤x<－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝___{(1,2)}__.
[分析] (1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集．
[解析] (1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D．
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}
＝＝{(1,2)}．
[归纳提升] 求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【对点练习】?
(1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B等于( A )
A．{1,3}
B．{2,4}
C．{2,4,5,7}
D．{1,2,3,4,5,7}
(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝( D )
A．{－3,1}
B．{0,1}
C．{1,5}
D．{1,3}
[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，
∴A∩B＝{1,3}，故选A．
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．
题型三 集合的交集、并集性质的应用
例3 (1)设集合M＝{x|－2(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求a的取值范围；
②若A∪B＝B，求a的取值．
[分析] (1)把M∪N＝M转化为N?M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．
(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．
[解析] (1)由M∪N＝M得N?M，当N＝?时，2t＋1≤2－t，即t≤，此时M∪N＝M成立．
当N≠?时，由数轴可得
解得缩上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．
①∵A∩B＝B，∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝?时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
当B＝{0}时，∴a＝0；
当B＝{2}时，无解；
当B＝{0,2}时，得a＝1.
综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．
②∵A∪B＝B，∴A?B．
∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，
∴A＝B，由①知a＝1.
[归纳提升] 利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
【对点练习】?
已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析] (1)由题意得M＝{2}．
当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N，∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.
课堂检测·固双基
1．设集合A＝{x∈N
|－1≤x≤2}，B＝{2,3}，则A∪B＝( B )
A．{－1,0,1,2,3}
B．{1,2,3}
C．{－1,2}
D．{－1,3}
[解析] 集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B＝{1,2,3}．
2．已知集合A＝{x|－3A．{x|x<1}
B．{x|x<3}
C．{x|－3D．{x|－3[解析] A∩B＝{x|－33．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( C )
A．{2,4,6}
B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6}
D．{6}
[解析] 图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__.
[解析] 利用数轴画图解题．
要使A∪B＝R，则a≤1.
5．已知集合A＝{x|m－2(1)若m＝1，求A∪B；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由m＝1，得A＝{x|－1∴A∪B＝{x|－1(2)∵A∩B＝A，∴A?B．显然A≠?.
故有解得3≤m≤4.
∴实数m的取值范围为[3,4]．
素养作业·提技能
A组·素养自测
一、选择题
1．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( B )
A．?
B．{2}
C．{0}
D．{－2}
[解析] 因为B＝{－1,2}，所以A∩B＝{2}．
2．已知集合M＝{x|－34}，则M∪N＝( A )
A．{x|x<－5，或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3，或x>5}
[解析] 在数轴上分别表示集合M和N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}．
3．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于( D )
A．x＝3，y＝－1
B．(3，－1)
C．{3，－1}
D．{(3，－1)}
[解析] ∵M，N均为点集，由得
∴M∩N＝{(3，－1)}．
4．若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( A )
A．{2}
B．{3}
C．{－3,2}
D．{－2,3}
[解析] A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，由题意可知，阴影部分为A∩B，A∩B＝{2}．
5．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( D )
A．{1,2,3}
B．{1,2,4}
C．{2,3,4}
D．{1,2,3,4}
[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D．
6．(2019·武汉市高一调研)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．{a|－1B．{a|a>2}
C．{a|a≥－1}
D．{a|a>－1}
[解析] 因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，
易知a>－1.
二、填空题
7．已知集合A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，C＝{6,8}，则(C∪A)∩B＝__{2,6,8}__.
[解析] ∵A∪C＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}，
∴(C∪A)∩B＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．
8．若集合A＝{x|3ax－1＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，且A∪B＝B，则a的值是__0，，__.
[解析] 由题意知，B＝{1,4}，A∪B＝B，∴A?B．
当a＝0时，A＝?，符合题意；当a≠0时，A＝，
∴＝1或＝4，
∴a＝或a＝.
综上，a＝0，，.
9．已知集合A＝{x|x<1，或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5[解析] 如图所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
三、解答题
10．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B．
[解析] 解不等式组得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示．
则A∩B＝{x|－211．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．
[解析] ∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．
∵a2＋1≠－3，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1.
B组·素养提升
一、选择题
1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( D )
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|0[解析] ∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，
∴S∩T＝{x|02．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( D )
A．{1,2}
B．{1,5}
C．{2,5}
D．{1,2,5}
[解析] 因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，
所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
所以A∪B＝{1,2,5}，故选D．
3．(多选题)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，则集合B可能为( AD )
A．{1,2,5}
B．{2,3,5}
C．{0,1,5}
D．{1,2,3,4,5}
[解析] 集合A＝{2,3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，则B中必有元素1和5，且有元素2,3,4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合．B、C错误，故选AD．
4．(多选题)已知集合A＝{2,4，x2}，B＝{2，x}，A∪B＝A，则x的值可以为( ABC )
A．4
B．0
C．1
D．2
[解析] ∵A∪B＝A，∴B?A．
∴x∈A，∴x＝4或x2＝x，
由x2＝x解得x＝0或1，
当x＝0时，A＝{2,4,0}，B＝{2,0}，满足题意．
当x＝1时，A＝{2,4,1}，B＝{2,1}，满足题意．
当x＝4时，A＝{2,4,16}，B＝{2,4}，满足题意．
故选ABC．
二、填空题
5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a>0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是__1≤a<2__.
[解析] ∵A∩B有3个真子集，∴A∩B中有2个元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a>0}，
∴1≤a<2.
6．设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为__t≤2__.
[解析] 当2t＋1≤2－t即t≤时，N＝?.满足M∩N＝N；
当2t＋1＞2－t即t＞时，若M∩N＝N应满足，解得t≤2.∴＜t≤2.综上可知，实数t的取值范围是t≤2.
7．(2019·枣庄市第八中学考试)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则使A?(A∩B)成立的a的取值集合为__{a|a≤9}__.
[解析] 由A?(A∩B)，得A?B，则
(1)当A＝?时，2a＋1>3a－5，解得a<6.
(2)当A≠?时，解得6≤a≤9.
综合(1)(2)可知，使A?(A∩B)成立的a的取值集合为{a|a≤9}．
三、解答题
8．已知集合M＝{x|2x＋6＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝－4时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析] (1)M＝{－3}．
当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}，
则M∩N＝{－3}∩{－1,4}＝?，M∪N＝{－3}∪{－1,4}＝{－3，－1,4}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N.由于M＝{－3}，则－3∈N，
∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18.
9．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人．1.2集合间的基本关系
教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课型：新授课
教学目的：1.理解子集、集合相等、真子集的概念.
2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法.
教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系.
教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.
教学过程：
一、引入课题
思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
二、新课教学
知识点一.子集
梳理:
一般地，对于两个集合与，如果集合中的________元素都是集合中的元素，即若，则，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合，称集合为集合的子集，记作________(或________)，读作“________”(或“________”).
子集的有关性质：
(1)是任何集合的子集，即.
(2)任何一个集合是它本身的子集，即________.
(3)对于集合，，，如果，且，那么________.
(4)若，，则称集合与集合相等，记作.
知识点二.真子集
思考:
在知识点一里，我们知道集合是它本身的子集，那么如何刻画至少比少一个元素的的子集？
梳理
如果集合，但，称集合是集合的真子集，记作：________(或________)，读作：________(或________).
知识点三.Venn图
思考
图中集合，，的关系用符号可表示为__________.
梳理
一般地，用平面上__________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.
[思考辨析判断正误]
1.若用“”类比“”，则“”相当于“”.( )
2.空集可以用表示.( )
3.若，则.( )
4.若，则.( )
三、题型探究
类型一求集合的子集
例1 (1)写出集合的所有子集；
(2)若一个集合有个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.
反思与感悟
为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从到数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是的等等.
跟踪训练1 适合条件的集合的个数是（）
A.
B.
C.
D.
类型二判断集合间的关系
命题角度1 概念间的包含关系
例2 设集合菱形，平行四边形，四边形，正方形，则这些集合之间的关系为（）
A.
B.
C.
D.
反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义.
跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用，，，表示，用符号表示，，，的关系为______________.
命题角度2 数集间的包含关系
例3 设集合，集合或，则与的关系为（）
A.
B.
C.
D.
反思与感悟
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
跟踪训练3 已知集合，，则（）
A.
B.
C.
D.
类型三由集合间的关系求参数（或参数范围）
例4 已知集合，，且，求实数的值.
反思与感悟
集合的子集可分三类：，本身，的非空真子集，解题中易忽略.
跟踪训练4 已知集合，，且，求实数的取值范围.
四、布置作业第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.1.2集合的表示
[目标]
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
[重点]
集合的两种表示方法及其运用．
[难点]
对描述法表示集合的理解．
知识点一 列举法
[填一填]
把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
{ }表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．
[答一答]
1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？
提示：不能，因为花括号“{ }”表示“所有、全部”的意思．
2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？
提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．
3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？
提示：不是．
知识点二 描述法
[填一填]
1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征
P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
2．具体方法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线
，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
[答一答]
3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？
提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．
类型一 用列举法表示集合
[例1] (1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(B)
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解．
[解析] (1)集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
用列举法表示集合应注意的三点：
1应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
2集合中的元素一定要写全，但不能重复；
3若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
[变式训练1]用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)所有正整数组成的集合；
(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．
解：(1){1,3,5,15}．
(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．
(3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1,1)}．
类型二 用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x-7<3的解集A；
(2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B；
(3)被3除余2的正整数的集合C；
(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.
[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面．
[解] (1)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．
(2)函数值组成的集合就是y的取值集合，所以B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．
(3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，
所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．
1用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
2若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
[变式训练2] 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－x的图象上所有点组成的集合；
(2)方程x2＋22x＋121＝0的解集；
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；
(4).
解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．
(2){x|x＝－11}．
(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|>3}．
(4)先统一形式，，，，，…，找出规律，集合表示为.
类型三 两种方法的灵活应用
[例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解组成的集合；
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合；
(3)所有的正方形组成的集合；
(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．
[解] (1)解方程组得故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．
(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}．
(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}．
(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
当集合的元素个数很少很容易写出全部元素时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多不易写出全部元素时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)
[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．
解：(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
1．集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( A )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x∈N，且x<5，∴x的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．
2.方程组的解集是( C )
A．{x＝1，y＝1}
B．{1}
C．{(1,1)}
D．{(x，y)|(1,1)}
解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D中的条件是点(1,1)，不含x，y，排除D.
3.集合{x|x＝，a<36，x∈N}，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.
解析：由a<36，可得<6，即x<6，又x∈N，故x只能取0,1,2,3,4,5.
4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．
解析：正整数中所有的偶数均能被2整除．
5.用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)x2－4的一次因式组成的集合；
(4)由方程组的解所组成的集合．
解：(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．
(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n,4(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．
(4)解方程组得故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．
——本课须掌握的两大问题
1．表示集合的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第一章 1.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( C )
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
D．{x2－3x＋2＝0}
[解析] 解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( B )
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．
D．
[解析] 解方程组得
故该集合为{(0,1)}．
3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为( C )
A．{x|x＝2}
B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1}
D．{1，－2}
[解析] 方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．
4．若A＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为( D )
A．{(－1,3)}
B．{－1,3}
C．{(－1,3)，(3，－1)}
D．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}
[解析] 因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．
5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B )
A．{x|x＝1}
B．{x|x2＝1}
C．{1}
D．{y|(y－1)2＝0}
[解析] 因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] 由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1?N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组的解是有序实数对，其解集应为，故③不正确．
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.
[解析] ∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，
∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为__{x|x＝，n∈N
}__.
[解析] 注意到集合中的元素的特征为，且n∈N
，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N
}．
9．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是__a≤－2__.
[解析] 因为1?A，则应有2×1＋a≤0，所以a≤－2.
三、解答题
10．用列举法表示下列集合：
(1)；
(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
[解析] (1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，
则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，
其对应的y的值分别为3,6,9,12.
所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．
11．用描述法表示下列集合．
(1){2,4,6,8,10,12}；
(2){，，，，}；
(3)被5除余1的正整数集合；
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(5)方程组的解组成的集合．
[解析] (1){x|x＝2n，n∈N
，n≤6}．
(2){x|x＝，n∈N
，n≤5}．
(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．
(4){(x，y)|xy<0}．
(5)或.
B组·素养提升
一、选择题
1．方程组的解集是( C )
A．{x＝1，y＝－1}
B．{1}
C．{(1，－1)}
D．{(x，y)|(1，－1)}
[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为( D )
A．{1,2}
B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)}
D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
[解析] x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.
∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD )
A．{x|x＝2k－1，k∈N}
B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}
D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
[解析] 选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是( ABD )
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
[解析] 选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．
二、填空题
5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__.
[解析] 集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；
当a＝0时，x＝－，此时A＝{－}，满足题意．
故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.
6．用列举法写出集合＝__{－3，－1,1,3}__.
[解析] ∵∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴＝±3，或＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
7．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__.
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
三、解答题
8．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
[解析] (1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0，
所以x＝2，此时A＝{2}．
(2)当k≠0时，因为集合A中只有一个元素，
所以方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根．
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，所以集合A＝{4}，
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析] (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
【素养目标】
1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2.记住集合元素的特性以及常用数集；
3.会用集合元素的特性解决相关问题．
【重点】
用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．
【难点】
集合元素特性的应用．
1.1.1
集合的含义
要点整合夯基础
基础知识
知识点一元素与集合的含义
定义
元素
一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，，，…表示．
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母，，，…表示．
集合相等
指构成两个集合的元素是一样的．
集合中元素的特性：
确定性、互异性和无序性
思考1：以下对象的全体能否构成集合？
(1)河北《红对勾》书业的员工；
(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；
(3)一次函数的图象上的若干个点；
(4)不超过的非负数．
提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．
(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．
(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合．
(4)任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过的非负数”，即“”与“或”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过的非负数”能构成一个集合．
思考2：若集合由,与三个元素组成，则的取值有限制吗？为什么？
提示：有限制，且.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．
知识点二
元素与集合的关系
如果是集合中的元素，就说属于(belong
to)集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于(not
belong
to)集合，记作.
思考3：若集合是由元素,,,所组成的集合，问与,与有什么关系？
提示：,.
知识点三
常用数集及表示
名称
非负整数集（或自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
思考4：常用的数集符号，，有什么区别？
提示：(1)为非负整数集(即自然数集)，而或表示正整数集，不同之处就是包括元素，而或不包括元素.
(2)和的含义是一样的，初学者往往误记为或，为避免出错，对于和可形象地记为“星星()在天上，十字架(＋)在地下”．
思考5：用符号“”或“”填空．
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5).
典例讲练破题型
题型探究
类型一
集合的概念
【例1】下列所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______．
(1)所有的正三角形；
(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题；
(3)比较接近的正数全体；
(4)某校高一年级的岁以下的学生；
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于的点的集合；
(6)参加里约奥运会的年轻运动员．
【解析】(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；
(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；
(3)不能构成集合．因“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能构成集合．其中的元素是“岁以下的学生”；
(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于的点”；
(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．
【通法提炼】
判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.
【变式训练1】下列对象能组成集合的是(
)
A.的所有近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.年全国高考数学试卷中所有难题
D.屠呦呦实验室的全体工作人员
【解析】D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．
类型二
集合中元素的特性
命题视角1：集合元素的互异性
【例2】已知集合中含有两个元素和，若，求实数的值．
【分析】本题中已知集合中有两个元素且，根据集合中元素的特点需分或两种情况讨论，另外还要注意集合中元素的互异性．
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
【解析】若，则或，即.
当时，，集合有一个元素，∴.
当时，集合含有两个元素，，符合互异性．
∴.
【通法提炼】
当一个集合中的元素含字母时，可根据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.
【变式训练2】(1)若集合中的三个元素是的三边长，则一定不是(
D
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
(2)由,,组成一个集合，且集合中含有个元素，则实数的取值可以是(
C
)
A．
B．
C．
D．
【解析】(1)集合中任何两个元素不相同．
(2)由题意知,，，解得，且.结合选项知C正确．故选C
命题视角2：集合元素的无序性
【例3】集合中含有三个元素，，，集合中含有三个元素，，，若，两个集合相等，求的值．
【分析】由两个集合相等，所含元素相同列出，的关系式，解出与，再求的值．
【解析】由两个集合相等易知，，故，且或.
若，由得，经验证，符合题意；
若，则，结合，可知，不符合题意．
综上知，.
所以.
【通法提炼】
两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.
【变式训练3】集合由,,,四个元素组成，已知实数，，那么的不同值有(
B
)
A．个
B．个C．个
D．个
【解析】，是集合的元素，的值会因，的顺序不同而不同．，所取的值按顺序分别为：,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,；,，其对应的有个不同的值．
类型三
元素与集合的关系
【例4】(1)给出下列关系：①；②；③；④；⑤.
其中正确的个数为(
B
)
A．
B．C．
D．
(2)集合中的元素满足，，则集合中的元素为________．
【解析】(1)是实数；是无理数；是自然数；是无理数；是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．
(2)由，知，，且，故.又，故.
当时，，当时，，
当时,.故集合中的元素为.
【通法提炼】
判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.
【变式训练4】已知不等式的解集为.
(1)试判断元素,与集合的关系；
(2)若是集合中的元素，求的取值范围．
【解析】(1)∵，∴不是集合中的元素，∴.
又，∴是集合中的元素，∴.
(2)∵，∴.∴，∴.
课堂达标练经典
1．下列各组对象不能构成集合的是(B)
A．某中学所有身高超过米的大个子
B．约等于的实数
C．某市全体中学生
D．北京大学建校以来的所有毕业生
【解析】由于“约等于”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合．
2．下列命题中，正确命题的个数是(C
)
①集合中最小的数是；②若，则；
③若，，则的最小值是；④的解集是．
A．
B．
C．
D．
【解析】是正整数集，最小的正整数是，故①正确；当时，，，故②错误；若，则的最小值是，同理，，的最小值也是，∴当和都取最小值时，取最小值，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．
3．已知，是非零实数，代数式的值组成的集合是，则下列判断正确的是(
B
)
A．
B．C．
D．
【解析】当，全为正数时，代数式的值是；当，全是负数时，代数式的值是；当，是一正一负时，代数式的值是.综上可知B正确．
4．集合由元素和构成，集合是方程的解，若，则____.
【解析】∵，∴方程的解是或.
∴，，∴.
5．已知集合由，两个元素构成，若，求的值．
【解析】∵，∴或.
①若，则或.
当时，，此时集合中含有两个，因此应舍去．
当时，，满足题意．
②若，则或(舍去)．
当时，，满足题意．
综上可知或.
课时作业
A组
素养自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是(
C
)
①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于的正整数；④的所有近似值．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
【解析】①④不符合集合中元素的确定性．故选C．
2．若集合只含有元素，则下列各式正确的是(
C
)
A．
B．
C．D．
【解析】由题意知中只有一个元素，∴，，元素与集合的关系不应该用“＝”，故选C．
3．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为(
C
)
A．
B．C．
D．
【解析】方程的解为或，的解为或，所以集合中含有个元素．
4．由实数，，，，所组成的集合，其含有元素的个数最多为(
A
)
A．
B．C．
D．
【解析】∵，，故当时，这几个实数均为；当时，它们分别是，，，，；当，它们分别是，，，，.最多表示个不同的数，故集合中的元素最多为个．
5．设，且，则的值可能是(
B
)
A．
B．
C．
D．或
【解析】∵，∴排除C；，而无意义，排除A、D，故选B．
6．如果集合中含有三个元素,,，若，且，那么为(
B
)
A．
B．或
C．
D．
【解析】∵，∴当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴，故或.
二、填空题
7．设表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“”或“”)．
【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线上的点集为，点与点集的关系为____(填“”或“”)．
【解析】直线上的点的横坐标和纵坐标满足关系：，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当时，，∴.
9．已知集合含有三个元素,，，若，则实数的值为____.
【解析】因为，所以或或，
解得,,.经检验，只有时，满足集合元素的互异性．
三、解答题
10．记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素．
【解析】因为，所以，解得.解方程，即，得或.故含有两个元素,.
11．由，，组成的集合与由，,组成的集合是同一个集合，求的值．
【解析】由，，组成一个集合，可知，，由题意可得，即，此时两集合中的元素分别为,,和，,，因此，解得或(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此，且，所以.
B组
素养提升
一、选择题
1．如果、、、为集合的四个元素，那么以、、、为边长构成的四边形可能是(
D
)
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故、、、四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合是由，，三个元素组成的集合，且，则实数的值为(
B
)
A．
B．
C．或
D．或或
【解析】因为，所以，或，解得或.又集合中的元素要满足互异性，对的所有取值进行一一检验可得，故选B．
3．(多选题)已知集合中元素满足，，则下列表示正确的是(
BC
)
A．
B．
C．
D．
【解析】令，解得，，∴；
令，
解得，，∴；
∵，∴；
令，解得，，
∴．故选BC．
4．已知，都是非零实数，可能的取值组成的集合为，则下列判断正确的是(
B
)
A．，B．，
C．，
D．，
【解析】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，．故选B．
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知，，则____；____；____．
【解析】令，得,，所以；令，得，，所以；令，得,，所以．
6．若，且集合中只含有一个元素，则的值为
____.
【解析】由题意，得，
∴且，∴.
7．(2019·江苏泰州期末)集合中含有两个元素和，集合中含有两个元素和，若，相等，则实数的值为____，的值为____.
【解析】因为集合，相等，所以或.
①当时，，此时集合中的两个元素为和，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当时，，解得或，由①知应舍去，经检验，符合题意，
综上可知，，.
三、解答题
8．已知集合中含有两个元素和.
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【解析】(1)因为是集合中的元素，
所以或.
若，则，
此时集合含有两个元素,，符合要求；
若，则，
此时集合中含有两个元素，，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或.
(2)不能．理由：若为集合中的元素，则或.
当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．
综上，不能为集合中的元素．
9．已知集合．
(1)试分别判断，，与集合的关系；
(2)设，证明：．
【解析】(1)，因为，所以；
，因为，但，所以；
，因为，所以．
(2)因为，所以可设，，且，
所以
．
因为，，所以．
课堂小结
本课堂需掌握的三个问题：
1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．
2．关于特定集合，，，，等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．
3．对于一个元素与一个集合而言，只有“”与“”这两种结果，“”与“”具有方向性，左边是元素，右边是集合．