5.3
诱导公式
知识点一 同角三角函数基本关系式
1．平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1(α∈R)．
2．商数关系：tan
α＝(α≠kπ＋，k∈Z)．
?易误提醒 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．
?必备方法 三角函数求值与化简的常用方法
1．弦切互化法：主要利用公式tan
α＝化成正、余弦．
2．和积转换法：利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ的关系进行变形、转化．
3．巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….
[自测练习]
1．若cos
α＝，α∈，则tan
α等于( )
A．－
B.
C．－2
D．2
解析：由已知得sin
α＝－＝－＝－，所以tan
α＝＝－2.
答案：C
2．若tan
α＝2，则的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：＝＝＝.
答案：C
知识点二
诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变，符号看象限
?必记结论 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
[自测练习]
3．sin
600°＋tan
240°的值等于( )
A．－
B.
C.－
D.＋
解析：原式＝sin
240°＋tan(180°＋60°)
＝－sin
60°＋tan
60°＝.
答案：B
4．已知<θ<π，sin＝－，则tan(π－θ)的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵sin＝－，∴cos
θ＝－，又∵<θ<π，∴sin
θ＝，∴tan(π－θ)＝－tan
θ＝.
答案：B
考点一 三角函数的诱导公式|
1．(2015·肇庆模拟)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由sin＝，得cos
α＝，
又∵α∈，∴sin
α＝，
sin(π＋α)＝－sin
α＝－.
答案：D
2．已知f(α)＝，则f的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：f(α)＝＝
＝sin
α×＝cos
α.
∴f＝cos＝cosπ＝cos＝.
答案：A
3．化简：＝________.
解析：原式＝＝＝＝1.
答案：1
应用诱导公式时应注意的两个问题
(1)由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos
α.
(2)将任意角的三角函数化为锐角三角函数的流程：
→→→
考点二 同角三角函数的基本关系|
同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点、难度不大、归纳起来常见的命题探究角度有：
1．知弦求弦、切问题．
2．知切求弦问题．
3．sin
α±cos
α，sin
α，cos
α的关系应用问题．
4．已知tan
α，求f(sin
α，cos
α)值问题．
探究一 知弦求弦、切问题
1．已知cos
α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A．－
B.
C．±
D．－k
解析：由cos
α＝k，α∈得sin
α＝，
∴sin(π＋α)＝－sin
α＝－，故选A.
答案：A
2．(2016·厦门质检)若α∈，sin(π－α)＝，则tan
α＝( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－.
答案：C
探究二 知切求弦问题
3．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：tan(α－π)＝?tan
α＝.
又因为α∈，所以α为第三象限角，
所以sin＝cos
α＝－.
答案：B
探究三 sin
α±cos
α、sin
αcos
α关系应用问题
4．已知sin
θ＋cos
θ＝，则sin
θ－cos
θ的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：将cos
θ＋sin
θ＝两边平方得1＋2sin
θcos
θ＝，解得2sin
θcos
θ＝，由于0<θ<，故cos
θ>sin
θ，因此sin
θ－cos
θ＝－＝－＝－＝－，故选B.
答案：B
探究四 已知tan
α，求f(sin
α，cos
α)值问题
5．已知＝5，则tan
α的值为( )
A.
B．－
C．－2
D．2
解析：由于＝5，故＝5，所以tan
α＝2.
答案：D
6．已知tan(θ－π)＝2，则sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＋3的值为________．
解析：法一：由tan(θ－π)＝2得tan
θ＝2，故cos2θ＝，sin2θ＝，sin
θcos
θ＝，故sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＋3＝.
法二：由tan(θ－π)＝2得tan
θ＝2，所以sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＋3＝＋3＝＋3＝.
答案：
同角三角函数基本关系式应用时两个注意点
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
10.sin
α±cos
α及sin
α，cos
α之间的方程思想
【典例】 (1)(2015·揭阳模拟)已知sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin
α－cos
α＝________.
[思路点拨] (1)可先考虑cos
α－sin
α的符号，然后平方解决．
(2)将条件化简可得sin
α＋cos
α＝，然后两边平方可求sin
αcos
α的值，然后同问题(1)解决．
[解析] (1)∵<α<，∴cos
α<0，sin
α<0且|cos
α|<|sin
α|，∴cos
α－sin
α>0，
又(cos
α－sin
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－2×＝，∴cos
α－sin
α＝.
(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin
α＋cos
α＝，
将式子两边平方得1＋2sin
αcos
α＝，
故2sin
αcos
α＝－.
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－＝.又∵<α<π，∴sin
α>0，cos
α<0.
∴sin
α－cos
α＝.
[答案] (1)B (2)
[思想点评] 1.sin
α±cos
α与sin
αcos
α充分体现了方程思想的运用，即“知一求二”，其关系是：
(1)(sin
α＋cos
α)2－2sin
αcos
α＝1.
(2)(sin
α－cos
α)2＋2sin
αcos
α＝1.
(3)(sin
α＋cos
α)2＋(sin
α－cos
α)2＝2.
2．注意sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α在各象限取值符号的判断．
[跟踪练习] 已知－x＋cos
x＝，则sin
x－cos
x＝________.
解析：将等式sin
x＋cos
x＝两边平方，得sin2x＋2sin
x·cos
x＋cos2x＝，即2sin
xcos
x＝－，
∴(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.又－∴sin
x<0，cos
x>0，sin
x－cos
x<0，故sin
x－cos
x＝－.
答案：－
A组 考点能力演练
1．已知cos＝，且α∈，则tan
α＝( )
A.
B.
C．－
D．±
解析：因为cos＝，所以sin
α＝－，显然α在第三象限，所以cos
α＝－，故tan
α＝.
答案：B
2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得－2tan
α＋3sin
β＋5＝0，tan
α－6sin
β＝1，解得tan
α＝3，故sin
α＝.
答案：C
3．(2015·枣庄模拟)已知cos
α＝，－<α<0，则的值为( )
A．2
B．－2
C．－
D.
解析：＝
＝－，∵cos
α＝，－<α<0，
∴sin
α＝－，原式＝.
答案：D
4．已知2tan
α·sin
α＝3，－<α<0，则sin
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由2tan
α·sin
α＝3，得＝3，
即2cos2α＋3cos
α－2＝0，又－<α<0，
解得cos
α＝(cos
α＝－2舍去)，故sin
α＝－.
答案：B
5．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos
B－sin
A，sin
B－cos
A)在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵△ABC是锐角三角形，则A＋B>，∴A>－B>0，B>－A>0，∴sin
A>sin＝cos
B，sin
B>sin＝cos
A，
∴cos
B－sin
A<0，sin
B－cos
A>0，
∴点P在第二象限，选B.
答案：B
6．已知α∈，cos
α＝，则sin＝________.
解析：因为α∈，所以sin(π－α)＝sin
α＝＝.
答案：
7．(2015·南昌调研)已知tan
α＝2，则cos·cos的值为________．
解析：本题考查三角函数基本公式．依题意得cos(π＋α)cos＝cos
αsin
α＝＝＝.
答案：
8．(2015·长沙一模)设f(x)＝sin，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
015)＝________.
解析：由于f(x)＝sin，所以f(n＋6)＝sin＝sin＝sin＝f(n)，所以f(x)是以6为周期的函数，由于f(1)＝f(2)＝，f(3)＝f(6)＝0，f(4)＝f(5)＝－，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
9．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，
求sin·tan的值．
解：∵cos＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos
α＝－，∴cos
α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin
α·tan＝sin
α·
＝sin
α·＝cos
α＝.
10．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.求下列各式的值．
(1)sin
α－cos
α；
(2)sin3＋cos3.
解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin
α＋cos
α＝，两边平方，得1＋2sin
α·cos
α＝，
故2sin
α·cos
α＝－.
又<α<π，∴sin
α>0，cos
α<0.
(1)(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
α·cos
α＝1－＝，
∴sin
α－cos
α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α
＝(cos
α－sin
α)(cos2α＋cos
α·sin
α＋sin2α)
＝－×＝－.
B组 高考题型专练
1．(2015·高考福建卷)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：因为sin
α＝－，且α为第四象限角，所以cos
α＝，所以tan
α＝－，故选D.
答案：D
2．(2013·高考大纲全国卷改编)已知α是第二象限角，sin
α＝，则tan
α的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵sin
α＝，且α是第二象限角，
∴cos
α＝－＝－，则tan
α＝＝－.
答案：B
3.
(2013·高考浙江卷改编)已知sin
α＋2cos
α＝(α∈R)，则tan
2α＝________.
解析：由sin
α＋2cos
α＝，平方得
sin2α＋4sin
αcos
α＋4cos2α＝，
整理，3sin2α－8sin
αcos
α－3cos2α＝0，
∴3tan2α－8tan
α－3＝0，
则tan
α＝3或tan
α＝－.
代入tan
2α＝，得tan
2α＝－.
答案：－
4．(2015·高考四川卷)已知sin
α＋2cos
α＝0，则2sin
αcos
α－cos2α的值是________．
解析：sin
α＋2cos
α＝0?tan
α＝－2，所以2sin
αcos
α－cos2α＝＝＝＝－1.
答案：－1
5．(2015·高考广东卷)已知tan
α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝＝1.
PAGE5.2.2
同角三角函数的基本关系
最新课标
理解同角三角函数的基本关系式：.
[教材要点
]
要点
同角三角函数的基本关系式
状元随笔
(
1
)利用可实现的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
（2）关系式的逆用及变形用：，，.
【教材答疑】
同角三角函数的基本关系
(
1
)
同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(
在使函数有意义的前提下
)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如
.
（2）是的简写，不能写成.
（3）在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子不成立，再如：就不一定恒成立.
【基础自测】
1.判断正误.(
正确的画“√”，错误的画“×”)
（1）因为，所以成立，其中，为任意角.（×）
（2）对任意角，都成立.（×）
（3）.（√）
（4）对任意的角，都有成立.（×）
2.若为第二象限角，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解答：∵为第二象限角，∴.
3.已知，且，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解答：∵，∴.由，，
得.
4.已知，则的值是.
答案：
解答：.
题型一
利用同角三角函数的基本关系求值
——微点探究
微点1
已知角的某个三角函数值,求其余三角函数值
例1
（1）已知，且是第三象限角，求，的值；
（2）已知，求，的值.
状元随笔
在使用开平方关系和时,一定要注意正负号的选取,确定正负号的依据是角所在的象限.
解析：（1）∵，∴.
又∵是第三象限角，∴，即，
∴.
（2）∵，∴是第二或第三象限角，
当是第二象限时，，，
∴，.
当是第三象限角时，，，
∴，.
微点2
利用弦化切求值
例2已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式
.
状元随笔
所求式子都是关于、的分式齐次式(或可为分式齐次式),将其分子、分母同除以的整数次幂,就是把所求式子用表示，再求式子的值.
微点3
与，有关的值.
例3
已知，，求：
（1）；
（2）.
解析：（1）∵，∴，
即，∴.
（2）∵，由（1）知，
∴.
状元随笔
此类问题求值时,若涉及开方,要注意利用角的范围确定三角函数值的符号.
如改题容易忽略角的取值范围得，实际上,结合这一条件,可以确定的符号.
跟踪训练1
（1），，则（
）
A.B.C.D.
答案：D
解答：∵，，∴，
∴.
（2）已知，则的值为（
）
A.B.C.D.
答案：A
解答：，解得.
（3）已知，且，则.
答案：
解答：∵，∴，
解得，∴.
∵且，∴，，
∴，∴.
题型二
利用同角三角函数关系化简——师生共研
例4
化简：
（1）；
（2）.
解析：（1）
.
（2）.
方法归纳
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的
（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造，
以降低次数,达到化简的目的.
跟踪训练2
（1）化简：；
（2）化简：.
解析：（1）原式
.
（2）原式
.
题型三
利用同角三角函数关系证明——师生共研
例5
求证：.
证明：左边
右边，∴原式成立.
方法归纳
证明简单三角恒等式的思路
（1）从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则.
（2）证明左右两边等于同一个式子.
（3）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于.
（4）证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.
跟踪训练3
求证：.
证明：左边
右边，
∴原式成立.5.2.1
三角函数的概念
课程标准：1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号.
教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一
三角函数的概念
（1）单位圆中三角函数的定义
（2）三角函数的定义域
知识点二
三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
知识点三
诱导公式（一）
【新知拓展】
（1）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
（2）终边相同的角的同名三角函数值相等.
评价自测
1.判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若，则（√）
（2）若，则（×）
（3）已知是三角形的内角，则必有（√）
2.做一做
（1）若，且，则在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（2）若角的终边经过点，则
，
，
.
（3）
.
（4）的值的符号为
.
答案
（1）D
（2）
（3）
（4）负
核心素养形成
题型一
三角函数的定义
例1
已知角的终边经过点，求，，的值.
[解]，
若，则，角在第二象限，
，，
；
若，则，角在第四象限，
，，.
[条件探究]在本例中，若将题设条件改为：已知角的终边在直线
上，问题不变，怎样求解？
解
因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点.
则.
若，则为第一象限角，，，
，.
若，则为第三象限角，，，，.
利用三角函数的定义求值的策略
（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
方法二：在的终边上任选一点，到原点的距离为.则，已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便.
（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理.
[跟踪训练1]
（1）设，角的终边与单位圆的交点为，那么的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
（2）已知角终边上的点，且，求的值.
答案
（1）A
（2）见解析
解析（1）∵点在单位圆上，则.
即，解得.
∵，∴，
∴点的坐标为，
∴，，
∴.
（2）∵，∴，
∴，
两边平方，得.
∴，∴或.
题型二
三角函数值的符号
例2
（1）若，且，则角是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
（2）判断下列各式的符号：
①；②.
[解析]（1）由可知，异号，
从而为第二、三象限角.
由可知，异号，从而为第三、四象限角.
综上可知，为第三象限角.
（2）①∵是第二象限角，∴.
∵是第三象限角，∴，
∴.
②∵，∴弧度是第三象限角，∴.
∵，
∴是第一象限角，∴.
∴.
[答案]
（1）C
（2）见解析.
判断给定角的三角函数值正负的步骤
（1）确定的终边所在的象限；
（2）利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.
[跟踪训练2]（1）若三角形的两内角，满足，则此三角形必为（
）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能
（2）点在第三象限，则是第
象限角.
答案
（1）B
（2）二
解析
（1）三角形内角的取值范围是，故.
因为，所以，所以是钝角，故三角形是钝角三角形.
（2）因为点在第三象限，所以，，则角的终边在第二象限.
题型三
与三角函数有关的定义域问题
例3
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
[解]（1）要使函数有意义，需，
∴，且，.
∴，.
于是函数的定义域是.
（2）要使函数有意义，需，
即，
解得，
∴函数的定义域是.
求解函数定义域的解题策略
（1）求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
（2）要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.
[跟踪训练3]求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
解
（1）依题意，得，
∴函数的定义域是.
（2）当且有意义时，函数才有意义，
∴.
∴函数的定义域为或.
题型四
诱导公式（一）的应用
例4
计算：（1）；
（2）.
[解]
（1）原式
.
（2）原式
.
利用诱导公式化简的步骤
（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式.
（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值.
（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的.
[跟踪训练4]求下列各式的值：
（1）；
（2）.
解
（1）原式
.
（2）原式
.
随堂水平达标
1.如果角的终边过点，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
由题意得，它与原点的距离，所以.
2.当为第二象限角时，的值是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
∵为第二象限角，∴，，
∴.
3.在中，若，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
答案
C
解析
因为，所以，中一定有一个小于，即，中有一个钝角.
4.若角的终边上有一点，则
.
答案
解析
，
解得.
5.计算.
解
原式
.
PAGE5.1 任意角和弧度制
【素养目标】
1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．（数学运算）
2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．（数学运算）
3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．（逻辑推理）
【学法解读】
本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．
5.1.2 弧度制
（1）角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制.
②度的角：周角的为度角，记作.
（2）弧度制
①定义：以弧度为单位来度量角的单位制.
②弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角.
③表示方法：弧度记作.
思考1：圆心角所对应的弧长与半径的壁纸是否是唯一的确定的？
提示：一定大小的圆心角的弧度数是所对弧长与半径的壁纸，是唯一确定的，与半径大小无关.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.
如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值时.
思考2：（1）建立弧度制的意义时什么？
（2）对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示：（1）在弧度制下，角的集合与实数之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
（2）角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如，等写法都是不规范的，应写为，.
（1）周角的弧度数是，而在角度制下的度数是，于是，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了.
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为，角度数为，则，.
（2）常用特殊值的弧度数
（3）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
思考3：（1）角度制与弧度制在进制上有何区别？
（2）弧度数与角度数之间有何等量关系？
提示：（1）角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数.
（2）弧度数角度数；角度数弧度数.
（1）弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度.
（2）扇形面积公式
由圆心角为的扇形面积为，而弧长为的扇形的圆心角大小为，故其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式.
思考4：（1）弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？
（2）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？
提示：（1）①；②；③；④.
（2）由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于，，，四个量，可“知二求二”.这实质上是方程思想的应用.
1.下列说法中正确的是（）
A.弧度是度的圆心角所对的弧
B.弧度是长度为半径长的弧
C.弧度是度的弧与度的角之和
D.弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
答案：
D
解析：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度是角的一种度量单位，不是长度的度量单位.故ABC错误，D正确.
2.化为弧度是（）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
转化为弧度制为.
3.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数是.
答案：
解析：
根据弧长公式即可得弧所对的圆心角的弧度数是.
4.如果，则的终边所在的象限为（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
C
解析：
因为，所以的终边在第三象限.
5.（1）将表示成，，的形式为.
（2）已知角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角为.
答案：
（1）；
（2），，.
解析：
（1）因为，，所以.
（2）因为角的终边与角的终边相同，
所以，所以.
又，所以，
故当分别为，，时，分别为，，，都满足条件.
题型一 角度与弧度的换算及应用
例1设，.
（1）将用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；
（2）用用角度表述出来，并在内找出与它们终边相同的所有的角.
答案：
见解析
解析：
（1）∵，∴，
∴的终边在第二象限.
（2），设.
∵，∴，∴或.
∴在内与终边相同的角是.
[归纳提升]
角度制与弧度制互化的关键与方法
（1）关键：抓住互化公式是关键.
（2）方法：度数弧度数；弧度数度数.
（3）角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
（4）角度化为弧度时，其结果写成的形式，没特殊要求不必化成小数.
【对点练习】①设、、、.
（1）将、用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）用、用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限.
答案：
见解析
解析：
（1）∵，∴，∴，.∴在第二象限，在第一象限.
（2），，∴在第二象限，在第四象限.
题型二 用弧度制表示给定区域角的集合
例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
[分析]本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.
[解析]（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为.
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为.
[归纳提升]
解答本题时常犯以下三种错误.
（1）弧度与角度混用.
（2）终边在同一条直线上的角未合并.
（3）将图①中所求的角的集合错误地写成，这是一个空集.对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越轴的正半轴，若区间跨越轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越轴的正半轴，则无须这样写.
【对点练习】②用弧度制表示顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.
[解析]（1）用和的终边分别对应和，
所表示的区域位于与之间且跨越轴的正半轴，
所以终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）和的终边分别对应和，
所表示的区域位于与之间且跨越轴的正半轴，
所以终边落在阴影部分的角的集合为.
题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用
角度1
弧度数的确定
例3
（2020·山西省吕梁市月考）如图所示，已知的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
设的半径为，其内接正三角形为，
如图所示，过作于点，则为边中点，
∵，，，
∴边长，∴的长.
又是负角，∴.
角度2 扇形面积、弧长的计算
例4（2020·东北师大附中单元测试）已知扇形的周长是，面积为，那么这个扇形的圆心角的弧度数（圆心角为正）为.
答案：
或
解析：
设这个扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，
由题意得，解得或，
当，时，，符合题意；当，时，，符合题意.
综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为或.
[归纳提升]1.运用扇形弧长及面积公式时应满足的问题.
（1）由扇形的弧长及面积公式可知，对于，，，中“知二求三”的问题，其实质上是方程思想的运用.
（2）运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多.若角是以“度”为单位的，则必须先将其化为弧度，再计算.
（3）在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式.
①，，；
②，.
2.解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值即可.
【对点练习】②（1）一个扇形的面积为，弧长为，则这个扇形的圆心角为（）
A.
B.
C.
D.
（2）（2019·厦门期末）若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A.
B.
C.
D.
答案
（1）D；
（2）C.
解答：
（1）设扇形的圆心角为，半径为，则，解得.
故扇形的圆心角为.
（2）设圆的直径的，则圆内接正方形的边长为.
∵扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，∴扇子的弧长等于，
∴圆心角的弧度数为.
角度和弧度混用致错
例5
求终边在如图所示阴影部分（不包括边界）内的角的集合.
[错解一].
[错解二].
[错因分析]错解一中，若给赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角.错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制.
[正解]，
也可写成.
[方法点拨]同一个问题（或题目）中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用.
数学文化题的功能时传播数学文化，所以一般来说难度较小，解决此类为题的关键是理解题意，按照题中的方法解决问题.
例5
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弧长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径等于的弧田，按照上述经验上式，计算所得弧田面积约是（）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
如图，由题意得，，∴在中，，，
∴，∴矢.
由，得弦，
∴弧田面积弦矢矢.故选B.5.1.1
任意角
【素养目标】
1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)
3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)
4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点一
角的概念
角可以看成一条________绕着端点旋转所成的图形．
思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？
提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．
知识点二
角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
(2)你能说出角的三要素吗？
提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．
(2)角的三要素是顶点、始边、终边
知识点三
角的分类
思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．
(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．
知识点四
象限角
如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？
提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．
知识点五
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}____，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考5：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？
提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．
基础自测
1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )
A．1
B．2 C．3
D．4
[解析] 正角有126°，99°共2个．
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )
A．120°
B．－120° C．60°
D．240°
3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1
110°的角终边相同的角是( )
A．60°
B．－60°
C．30°
D．－30°
[解析] －1
110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_________.
[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
5．图中从OA旋转到时所成的角度分别是_________、___________、________.
[解析] 题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
关键能力·攻重难
题型一 任意角的概念
例1、下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[分析] 角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[归纳提升] 关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【对点练习】?
如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________.
[解析] 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°
题型二 终边相同的角
例2、已知角α＝2
020°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
[分析] 先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.
[解析] (1)由2
020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2
020°终边相同的角为k·360°＋2
020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2
020°<720°(k∈Z)．
解得－6≤k<－3(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2
020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.
[归纳提升] 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
(2)轴线角：
【对点练习】?
若将例题中“角α＝2
020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？
[解析] (1)∵α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角．
(2)与－315°终边相同的角为k·360°－315°(k∈Z)，令－360°≤k·360°－315°<720°(k∈Z)，
解得－≤k<(k∈Z)，所以k＝0,1,2.将k值代入k·360°－315°中，
得所求角为－315°，45°和405°.
题型三 象限角的确定
例3、若α是第一象限角，则2α，分别是第几角限角？
[分析] 由α是第一象限角可知k·360°<α[解析] 因为k·360°<α又k·180°<所以当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<所以是第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋180°<[归纳提升] 已知α角所在象限，判角nα，(n∈Z)所在象限的方法
(1)若已知角α是第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．
(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
【对点练习】?
若φ是第二象限角，那么和90°－φ都不是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] ∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φPAGE
