5.7三角函数的应用
教学目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．(数学抽象)
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(逻辑推理)
3.通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想方法．(逻辑推理)
教学重点：
体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图并能根据题意选择恰当的三角函数列出关系式.
教学过程：
一、基础知识
知识点一、三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中（周期现象）的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用．
三角函数模型的应用体现在两个方面：
①已知函数模型求解数学问题；
②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．
知识点二、利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
二、基础自测
1．下列说法正确的个数是( )
①三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型．
②与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决．
③若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y＝3sin(4x＋)，则其往复振动一次所需时间为秒．
④若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，则电流的最大值为4A．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A．
s
B．50
s
C．
s
D．100
s
答案：A
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为
s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2πs
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
答案：D
解析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．即ω＝2π，所以T＝＝1.
4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，劳动节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
答案：C
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．
三、题型探究
题型一三角函数模型在物理中的应用
例1已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
【分析】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．
【解析】(1)由题图知，A＝300.
T＝－(－)＝，∴ω＝＝100π.
∵(－，0)是该函数图象的第一个零点，
∴－＝－.∴φ＝＝.符合|φ|<，
∴I＝300sin(100πt＋)(t≥0)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.
归纳提升：
解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
对点练习
1.本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？
【解析】由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋)(t≥0)，将t＝10秒代入可得，I＝150安培．
题型二
三角函数模型在生活中的应用
例2如图为一半径为3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮自点B开始1
min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
【答案】A
【解析】由1
min旋转4圈，则转1圈的时间为T＝
min＝×60＝15(s)，则ω＝＝.又由图可知，A＝3.
归纳提升：
1.解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
2．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
对点练习
2.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【答案】C
【解析】∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－.
此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∵d＝2|sin(t－)|.当t＝0时，d＝，排除A、D；当t＝时，d＝0，排除B．
误区警示
对物理概念理解不清，错求初相
例3如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin(t＋φ)，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)．已知当t＝3时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在开始振动(即t＝0)时h的值为______.
【错解】∵当t＝3时，h＝0，∴2sin(＋φ)＝0，∴φ＝－.故h＝2sin(t－)，∴当t＝0时，h＝2sin(－)＝－.
【错因分析】没有认真审题，不懂利用题目中的“并开始向下移动”条件求初相．
【正解】∵当t＝3时，h＝0，∴2sin(＋φ)＝0.又∵当t＝3时，h＝0，并开始向下移动，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∵φ∈(－π，π)，∴φ＝，故h＝2sin(t＋)．∴当t＝0时，h＝2sin＝.
科学素养
数据拟合三角函数问题
处理此类问题时，先要根据表格或数据正确地画出散点图，然后运用数形结合的思想方法求出问题中所需要的相关量，如周期、振幅等，最后根据三角函数的相关知识解决问题．
例4已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【分析】本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征．
【解析】(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.
∴y＝cost＋1.
（2）由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，
∴cost＋1>1，∴cost>0，
∴2kπ－
即12k－3∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9∶00至下午15∶00.
归纳提升：
处理此类问题时，先要根据图表或数据正确地画出简图，然后运用数形结合思想求出问题中的关键量，如周期、振幅等．5.6.2函数的图象
素养目标
1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)
2．从、、的变化总结图象．(直观想象)
3．能由平移和伸缩变换为及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理)
学法解读
在本节学习中，借助实例构建三角函数的形式，利用观察，，对的图象的影响，学会由如何变化为，提升数学素养中的直观想象．
必备知识·探新知
基础知识
知识点一参数，，对函数图象的影响
(1)对，的图象的影响．
(2)
()对的图象的影响．
(3)
()对的图象的影响．
思考1：(1)如何由的图象变换得到的图象？
(2)函数的图象是否可以通过的图象得到？
提示：（1）向左（）或向右（）平移个单位长度.
（2）可以，只要横向“伸”或“缩倍的图象即可.
知识点二函数
(，)中，，，的物理意义
（1）简谐运动的振幅就是.
（2）简谐运动的周期.
（3）简谐运动的频率.
（4）称为相位.
（5）时的相位称为初相.，
思考2：若函数中的或时怎么办？
提示：当或时，应先用诱导公式将的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相.
知识点三函数
(，)的性质
思考3：(1)怎样判断函数的奇偶性？
(2)判断函数
(，)的单调性时，应用了什么数学思想？
提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．
(2)判断函数
(，)的单调性时，要把看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．
基础自测
1.下列说法中正确的个数是（A）
①的图象向左平移个单位所得图象的解析式是.
②的图象上所有点的横坐标都变为原来的倍所得图象的解析式是.
③的图象上所有点的纵坐标都变为原来的倍所得图象的解析式是.
A．
B．
C．
D．
π
[解析]①的图象向左平移个单位得，故①不正确；②应改为，故②不正确；③应改为，故③不正确，故选A.
[答案]A
2．函数
(，)的最大值为，则( C )
A．
B．
C．
D．
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( A )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
4.函数的图象的对称轴方程是（）.
5.函数的频率为，相位为，初相为.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一“五点法”作图
例1用“五点法”画函数的简图.
[分析]列表时，取值要简单（与中五点比较）.
[解析]先画函数在一个周期内的图象，令，则，列表：
描点作图，再将图象左右延伸即可.
[归纳提升]用“五点法”作函数图象的步骤.
第一步：列表.
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可.
[对点练习]?已知.
（1）在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数在一个周期内的图象；
（2）写出的单调递增区间；
（3）求的最大值和此时相应的的值.
[解析]（1）列表：
作图：
（2）由，得，，所以函数的单调递增区间为，.
（3）当，即（），.
题型二三角函数的图象变换
例2如何由函数的图象得到函数的图象？
[分析]本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可.
[解析]解法一：
解法二：
[归纳提升] 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．
2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．
[对点练习]?将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（D
）
A.
B.
C.
D.
[解析]函数的周期为，所以将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为，故选D.
题型三由图象确定函数的解析式
例3（1）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（
D）
A.B.
C.
D.
（2）已知函数（，）的部分图象如图所示，且，，，.
[分析]（1）由图象可以确定最大值为，周期为，再利用一个点的坐标求.
（2）曲线上由到是周期的，从而求出，再求.
[解析]（1）由图象可知，，，所以，所以，
所以，因为图象过点，所以，
所以，所以，，所以，，
因为，所以，所以.
（2）根据函数（，）的图象，且，，可得从点到点正好经过了半个周期，即，所以，
再把点，的坐标代入可得，，所以，所以，或，，再结合五点法作图，可得.
[归纳提升]由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为，
则在观察图象的基础上可按以下规律来确定，，.
（1）：一般可由图象上的最大值、最小值来确定.
（2）：因为，故往往通过求周期来确定.可通过已知曲线与轴的交点来确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为.
（3）：从“五点法”中的第一个点（也叫初始点）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置.
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：
“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为；
“第二点”（即图象曲线的“峰点”）为；
“第三点”（即图象下降时与轴的交点）为；
“第四点”（即图象曲线的“谷点”）为；
“第五点”（即图象第二次上升时与轴的交点）为.
在用以上方法确定的值时，还要注意题目中给出的的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内.
（4），，三个量中初相的确定是一个难点，除使用初始点外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解.
[对点练习]?函数的部分图象如图所示，则（A
）
A.B.
C.
D.
[解析]由图知，，周期，所以，所以，因为图象过点，所以，所以，
所以（），令得，所以.
题型四 正弦型函数图象的对称性
例4在函数的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是.
[分析]利用整体代换法求解.
[解析]设（），得（），所以函数图象的对称中心坐标为（），取得满足条件.
[归纳提升]正弦型函数对称轴与对称中心的求法
[对点练习]?将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离轴最近的一条对称轴方程为.
[解析]由（），得，取时，满足题意.
误区警示
例5
函数的相位和初相分别是（
C）
A.，B.，
C.，D.，
[错解]对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
[错因分析]此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“，”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“，”再求.
[正解]∵，∴相位和初相分别是，.
[方法点拨]要正确理解函数中，，的意义.
学科素养
函数性质的综合应用
例6设函数（），图象的一条对称轴是直线.
（1）求；
（2）求函数的单调区间及最值；
（3）画出函数在区间上的图象.
[分析]本题关键是对图象的对称轴为这-条件的利用，由图象一对称轴为得：当时（）进而可求值.
[解析]（1）由，得，令，解得，，∵，∴.
（2）由（1）知，，由（），
解得（），故函数的单调递增区间是（），同理可得函数的单调递减区间是（）.
当（），即（）时函数有最大值；
当（），即（）时函数有最小值.
（3）由知，
故函数在区间上的图象是5.6.1匀速圆周运动的数学模型
教学目的：
（1）了解三角函数在实际生活中的简单应用；
（2）学会利用三角函数解决实际生活中的现象.
课型：新授课
教学重点：三角函数的实际应用；
教学难点：匀速圆周运动用三角函数来表示；
教学过程：
引入课题
匀速圆周运动的数学模型
问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生
产中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工
作原理（图5.6-2）
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗?
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
思考：如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间.
下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.
如图5.6-3，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为，经过后运动到点.于是，以为始边，为终边的角为，并且有
①
所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是
②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数①的性质
二、基础自测
例1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
?
A．
B．
C．
D．
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，则，所以摆动一次所需时间为，故选D．
例2
一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面(即长)，巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转动一圈.若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为，则等于(
)
?
A.
B.
C.
D.
解析：过点作地面平行线，过点作的垂线交于点.
点在圆上逆时针运动的角速度是，
∴秒转过的弧度数为，设，
当时，，，当时，上述关系式也适合.
故.
三、当堂检测
1.如图，在平面直角坐标系中，质点、间隔分钟先后从单位圆上的一点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第次达到最大值时，运动的时间为（）
?
A.分钟
B.分钟
C.分钟
D.分钟
解析：由题意，设质点出发后经过分钟，则有:，，
∴，令，解得:，，，，，.∴与的纵坐标之差第次达到最大值时，运动的时间(分钟).
2.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为，圆环的圆心距离地面的高度为，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻时蚂蚁距离地面的高度；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过？
解析：（1）设在时刻时蚂蚁达到点，由在分钟内所转过的角为，
可知以为始边，为终边的角为，则点的纵坐标为，
则，∴.
（2）.
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令，
∴.所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有分钟时间蚂蚁距离地面超过．第五章三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
【素养目标】
1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．
必备知识·探新知
基础知识
知识点一 半角公式
cos＝±()，
sin＝±()，
tan＝±()．
思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？
(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？
(3)半角公式对α∈R都成立吗？
提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即得：cosα＝1－2sin2＝2cos2－1.
所以sin2＝，cos2＝，tan2＝.开方可得半角公式．
(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．
(3)公式，对α∈R都成立，但公式要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是( A )
①sin＝±. ②cos20°＝±.
③tan＝＝. ④sin4α＋cos4α＝2sin(4α＋)．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选A．
2．已知180°<α<360°，由cos的值等于( C )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知cosα＝，α∈，则sin等于( B )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] ∵α∈，∴∈，∴sin＝＝.
4．sinx－cosx等于( C )
A．sin2x
B．sin
C．sin
D．sin
[解析] 原式＝＝sin.
5．已知cos
θ＝，且270°<θ<360°，试求sin和cos的值．
[解析] ∵270°<θ<360°，∴135°<<180°，∴sin>0，cos<0.
∴sin＝＝＝；
cos＝－＝－＝－.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 应用半角公式给角求值
例1 求下列式子的值：
sin
75°、cos
75°、tan
75°.
[分析] 75°是150°的半角．
[解析] sin
75°＝＝
＝＝＝＝＝.
cos
75°＝＝＝
＝＝＝＝.
tan
75°＝＝＝＝2＋.
或tan
75°＝＝＝＝2＋.
或tan
75°＝＝＝2＋.
或tan
75°＝＝＝2＋.
[归纳提升] 求sin
75°、cos
75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角公式化简容易化简不到位．tan
75°的求解应注意选择合理的公式．当然sin
75°、cos
75°，可以先利用诱导公式将角变小，sin
75°＝sin(90°－15°)＝cos
15°，cos
75°＝cos(90°－15°)＝sin
15°，再利用半角公式求解．
【对点练习】?求值tan＋.
[解析] 方法一：tan＋＝＋
＝＋＝＋
＝＋2＋＝－1＋2＋＝1＋＋.
方法二：tan＋＝＋
＝＋＝－1＋2＋＝1＋＋.
题型二 应用半角公式求值
例2 已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.
[分析] 已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值．
[解析] ∵sinθ＝，<θ<3π，
∴cosθ＝－＝－.
∵<<，∴sin＝－＝－，
cos＝－＝－，tan＝＝2.
[归纳提升] 已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．
【对点练习】?设π<θ<2π，cos＝－，求：
(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2的值．
[解析] (1)∵π<θ<2π，∴<<π，
又cos＝－，∴sin＝＝＝，
∴sinθ＝2sincos＝2×(－)×＝－.
(2)cosθ＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－.
(3)sin2＝＝＝.
题型三 三角恒等式的化简与证明
例3 求证：tan－tan＝.
[分析] 可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝－，2x＝＋，从消除等式两边角的差异入手考虑．
[证明] 证法一：tan－tan＝－
＝＝
＝＝＝.
证法二：＝
＝＝－
＝tan－tan.
[归纳提升] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
【对点练习】?求证：＝sin2α.
[证明] 证法一 左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．
证法二 左边＝＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．
证法三： 左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．∴原式成立．
误区警示
忽略对角的终边所在象限的讨论
例4 已知sinα＝，求sin，cos与tan的值．
[错解] ∵sinα＝，∴cosα＝±.
(1)当cosα＝时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±.
(2)当cosα＝－时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±3.
[错因分析] 由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，所以tan的值必然为正．上述解法中忽视了sinα>0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan有正负两个值．
另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．
[正解] 由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角．
(1)当α是第一象限角时，cosα＝，且为第一或第三象限角，于是
①当为第一象限角时，sin＝＝，cos＝＝，tan＝＝；
②当为第三象限角时，sin＝－，
cos＝－，tan＝＝.
(2)当α是第二象限角时，cosα＝－，且为第一或第三象限角，于是
①当为第一象限角时，sin＝，cos＝，tan＝＝3；
②当为第三象限时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝3.
[方法点拨] (1)应用公式sin＝±，cos＝±以及tan＝±时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．
学科素养
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．
例5 已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．
[分析] (1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．
(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．
[解析] (1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋)·cos(x＋)＝＋sin2x＋sin(2x＋)
＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)＋.
由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.
cos2α＝＝＝－.
所以，f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.由x∈[，]，得≤2x＋≤.所以－≤sin(2x＋)≤1,0≤f(x)≤.
所以f(x)的取值范围是[0，]．
[归纳提升] 利用三角恒等变换的解题技巧
(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
课堂检测·固双基
1．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝( A )
A．－
B．
C．2
D．－2
[解析] ∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.
∴＝＝＝·＝＝＝－.故选A．
2．若θ∈[，]，且sin2θ＝，则sinθ＝( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]，
∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－＝－，
又sin2θ＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＝，故选D．
3．设－3π<α<－，则化简的结果是( C )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
[解析] ∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，
∴cos<0，
∴原式＝＝|cos|＝－cos.
4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有( C )
A．cB．aC．aD．b[解析] a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝＝sin25°，∴b>c>a.故选C．
5．已知tan(α＋)＝2，则的值为( A )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] tanα＝tan[(α＋)－]
＝＝，
原式＝＝tanα－＝－＝－，故选A．
素养作业·提技能
A组·素养自测
一、选择题
1．(2019·陕西省西安市段考)的值等于( A )
A．sin
40°
B．cos
40°
C．cos
130°
D．±cos
50°
[解析] ＝＝＝|cos
130°|＝－cos
130°＝sin
40°，故选A．
2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝( C )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
[解析] 因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.
3．若sinθ＝，<θ<3π，则tan＋cos＝( B )
A．3＋
B．3－
C．3＋
D．3－
[解析] 因为<θ<3π，所以cosθ＝－＝－.因为<<，所以sin<0，cos<0，所以sin＝－＝－，cos＝－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.
4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由＋＝4，得
＝4，所以＝4，
sin2θ＝.
5．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于( B )
A．
B．－
C．－
D．
[解析] 由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.
6.·等于( B )
A．tanα
B．tan2α
C．1
D．
[解析] 原式＝＝＝＝tan2α.
二、填空题
7．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__－3__.
[解析] 根据角θ的范围，求出cosθ后代入公式计算，即由sinθ＝－，3π<θ<，得cosθ＝－，从而tan＝＝＝－3.
8．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝__－__.
[解析] ∵<α<π，∴tanα＝－＝－.
9．若sin2α<0，cosα<0，则cosα＋sinα＝__sin(α－)__.
[解析] 由题可知α为第二象限角，且<<.
原式＝cosα＋sinα
＝－cosαtan(－)＋sinα·tan
＝－2sin2(－)＋2sin2
＝－1＋cos(－α)＋(1－cosα)＝sin(α－)．
三、解答题
10．求证：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝＝＝＝＝右边．
∴原等式成立．
11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos与tan的值．
[解析] 因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，
所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<，所以cos＝＝＝.
方法一：由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.
方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得
sin(α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( C )
A．[0，]
B．[，1]
C．[，]
D．[0,1]
[解析] cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos2A＋cos2B)
＝1＋cos·cos
＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)
＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)．
∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈[，]．
2．(2019·甘肃武威第十八中学单元检测)若<θ<π，则－＝( D )
A．2sin－cos
B．cos－2sin
C．cos
D．－cos
[解析] ∵<θ<π，∴<<，∴sin>cos>0.
∵1－sinθ＝sin2＋cos2－2sincos
＝(sin－cos)2，(1－cosθ)＝sin2，
∴－
＝－
＝(sin－cos)－sin＝－cos.
3．(多选题)下列各式中，值为的是( AC )
A．
B．tan15°cos215°
C．cos2－sin2
D．
[解析] A符合，原式＝×＝tan45°＝；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝sin30°＝；C符合，原式＝·cos＝；D不符合，原式＝×＝tan60°＝，故选AC．
4．(多选题)下列各式与tanα相等的是( CD )
A．
B．
C．·(α∈(0，π))
D．
[解析] A不符合，＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tanα；D符合，＝＝tanα.
二、填空题
5．已知tan＝，则cosα＝____.
[解析] ∵tan＝±，∴tan2＝.
∴＝，解得cosα＝.
6．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于____.
[解析] ∵0<θ<，sin＝，
∴cos＝＝.
∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝.
7．(sin＋cos)2＋2sin2(－)的值等于__2__.
[解析] 原式＝1＋sinα＋2·
＝1＋sinα＋1－sinα＝2.
三、解答题
8．已知cos(x＋)＝且[解析] 原式＝＝，
cosx＋sinx＝sin(x＋)，
由由cos(x＋)＝(cosx－sinx)＝，
得cosx－sinx＝，且sin(x＋)＝－，
对cosx－sinx＝两边平方得1－2sinxcosx＝.
∴2sinxcosx＝.
∴原式＝＝－.
9．已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．
[解析] 由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，
∴sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，
∴sinB(sinA－cosA)＝0，
∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴sinA＝cosA，
∵A∈(0，π)，∴A＝，从而B＋C＝.
由sinB＋cos2C＝0，得sinB＋cos(－2B)＝0，
∴sinB－sin2B＝0，sinB－2sinBcosB＝0，
∴cosB＝，∴B＝，∴C＝.
于是A＝，B＝，C＝.5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、教材分析
本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲.
二、教学目标
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
三、教学重点难点
重点：两角和与差公式的应用；
难点：两角和与差公式变为一个角的三角函数的形式.
四、教学方法
1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点.
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习.
五、课前准备
多媒体课件
六、课时安排
1课时
七、教学过程
填要点·记疑点
1.两角和与差的余弦公式
：____________________________.
：____________________________.
2.两角和与差的正弦公式
：____________________________.
：____________________________.
3.两角互余或互补
（1）若_______，其、为任意角，我们就称、互余.例如：与_______互余，与_______互余.
（2）若，其、为任意角，我们就称、互补.例如：与_______互补，_______与互补.
探要点·究所然
情境导学
从两角差的余弦公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
探究点一 由公式推导公式
思考 由于公式对于任意，都成立，那么把其中的换成后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角，的正弦、余弦值表示的公式？
答： ∵，，，
∴
.
即.
探究点二 由公式推导公式及
思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角，的正弦、余弦值表示及的公式？
师生一起探讨完成
探究点二 两角和与差的正弦、余弦公式的应用
思考 运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于发现和利用.
例如，化简：.
解：原式
==
.
例1 化简求值：
（1）；
解：原式
=
.
（2）.
解：原式
.
反思与感悟
解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
跟踪训练1
化简求值：（1）；
（2）；
（3）.
例2 已知，，且，，求的值.
解∵，，∴.∵，∴.∵，，∴.
∴
.
又∵，∴.
反思与感悟
此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.
跟踪训练2 已知，，为第二象限角，为第三象限角.求和的值.
例3 已知，求证：.
证明：
.
反思与感悟
证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.
跟踪训练3 证明：.
当堂测·查疑缺
1.的值是（
）
A.
B.
C.
D.
2.在中，，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
3.函数的值域是________.
4.已知锐角、满足，，则________.
呈重点、现规律
1.公式与的联系、结构特征和符号规律
四个公式、虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为，这样我们只要牢固掌握“中心”公式的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.
对于公式与，可记为“同名相乘，符号反”.
对于公式与，可记为“异名相乘，符号同”.
2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简
时，不要将和展开，而应采用整体思想，作如下变形：
.
3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.
八、布置作业
PAGE第五章三角函数
5.4三角函数的图象与性质
5.4.3正切函数的性质与图象
[目标]1.能够作出y＝tanx的图象；
2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
[重点]
正切函数的性质．
[难点]正切函数的图象、性质及其应用．
知识点一正切函数y＝tanx的图象
[填一填]
正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线.
[答一答]
1.正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？
提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
2.直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？
提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.
3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合．
(1)满足tanx＝0的集合为．{x|x＝kπ，k∈Z}
(2)满足tanx<0的集合为．{x|kπ－(3)满足tanx>0的集合为．{x|kπ知识点二正切函数y＝tanx的性质
[填一填]
(1)定义域是．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
(2)值域是R，即正切函数既无最大值，也无最小值．
(3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π.
(4)奇偶性：正切函数是.奇函数
(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(，0)(k∈Z)
[答一答]
4.y＝tanx在定义域上是增函数吗？
提示：y＝tanx在每个开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．
5.正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，这种说法对吗？
提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点(＋kπ，0)(k∈Z)对称，因此正切函数y＝tanx的对称中心为(，0)(k∈Z)．
类型一利用正切函数图象求定义域及值域
[例1] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[解] (1)由x＋≠kπ＋，k∈Z得，x≠kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝tan的定义域为{x，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由－tanx≥0得，tanx≤.
结合y＝tanx的图象可知，在上，满足tanx≤的角x应满足－1求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式组，然后求出x的范围.
2求值域要用换元的思想，把tanx看作可取任意实数的自变量.
[变式训练1] (1)求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．
(2)求函数y＝sinx＋tanx，x∈的值域．
解：(1)由题意得即－1≤tanx<1.
∵在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又y＝tanx的周期为π，∴所求x的取值范围是，k∈Z，即为此函数的定义域．
(2)y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间上单调递增，
∴此函数在上的值域为.
类型二正切函数的周期性
[例2] 求函数y＝tan与函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期．
[解]
函数y＝tan的最小正周期为T＝；
f(x)＝tanx＋|tanx|＝k∈Z，
作出f(x)＝tanx＋|tanx|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期T＝π.
一般地，函数y＝Atanωx＋φ＋BA≠0，ω>0的最小正周期为T＝，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.
[变式训练2] 若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝.
±
解析：T＝＝，所以a＝±.
类型三正切函数的单调性及应用
[例3] (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解] (1)由kπ－(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan，
又0<<<，而y＝tanx在上单调递增，
所以tan所以－tan>－tan，
即tan>tan.
1求函数y＝Atanωx＋φ的单调性时可将ωx＋φ看成一个整体，利用y＝tanx的单调性求解，但需注意A、ω的正负性对函数单调性的影响.
2比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间内，再利用正切函数的单调性比较.
[变式训练3]
(1)函数y＝3tan的单调区间是.递减;，k∈Z
(2)比较大小：tantan.>
解析：(1)y＝3tan＝－3tan，由kπ－<－所以y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又0<<<，y＝tanx在内单调递增，
∴tan∴tan>tan.
类型四正切函数图象与性质的综合应用
[例4] 设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解] (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2.
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝.
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z.
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
.
1正切函数y＝tanx与x轴相邻交点间的距离为一个周期；2y＝tanx的对称中心为，不但包含y＝tanx的零点，而且包括直线x＝＋kπk∈Z与x轴的交点.
[变式训练4] 已知函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为点，若－<θ<，求θ的值．
解：因为函数y＝tanx图象的对称中心为点，其中k∈Z，所以2x＋θ＝，令x＝，得θ＝－，k∈Z.又－<θ<，当k＝1时，θ＝－，当k＝2时，θ＝.所以θ＝－或.
1.若tanx≥0，则(
D )
A．2kπ－B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．2kπ－D．kπ≤x2.函数y＝2tan的一个对称中心是( C )
A．
B．
C．
D．
解析：由3x－＝，得x＝＋，
令k＝－2得x＝－.故选C．
3.函数y＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
4.使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调增的区间是.
(k∈Z)和(k∈Z)
解析：由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时为单调增的区间为(k∈Z)和(k∈Z)．
5．求函数y＝tan(π－x)，x∈的值域．
解：y＝tan(π－x)＝－tanx，在上为减函数，所以值域为(－，1)．
——本课须掌握的两大问题
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．
第五章5.4.3正切函数的性质与图象
A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝tan(x＋)的定义域是( A )
A．{x∈R|x≠kπ＋，k∈Z}
B．{x∈R|x≠kπ－，k∈Z}
C．{x∈R|x≠2kπ＋，k∈Z}
D．{x∈R|x≠2kπ－，k∈Z}
[解析] 由正切函数的定义域可得，x＋≠＋kπ，k∈Z，
∴x≠＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}．
2.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以是( A )
A.－
B.
C.－
D.
[解析] ∵函数的图象过点(，0)，∴tan(＋φ)＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A．
3．函数f(x)＝tan(ωx－)与函数g(x)＝sin(－2x)的最小正周期相同，则ω＝( A )
A．±1
B．1
C．±2
D．2
[解析] ＝，ω＝±1.
4．函数y＝tan在一个周期内的图象是( A )
[解析] 由f(x)＝tan，
知f(x＋2π)＝tan[(x＋2π)－]
＝tan＝f(x)．
∴f(x)的周期为2π，排除B，D．
令tan＝0，得－＝kπ(k∈Z)．
∴x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，
即图象过点，故选A．
5．函数y＝tan的定义域为，则函数的值域为( C )
A．(，＋∞)
B．
C．(－，＋∞)
D．
[解析] 由tan＝－.故函数的值域为(－，＋∞)．
6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为( B )
A．3
B．5
C．7
D．9
[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y＝tanx与函数y＝sinx在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．
二、填空题
7．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心的坐标为__(－，0)(k∈Z)__.
[解析] 令2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(－，0)(k∈Z)．
8．求函数y＝tan(－x＋)的单调区间是__(2kπ－，2kπ＋π)(k∈Z)__.
[解析] y＝tan(－x＋)
＝－tan(x－)，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
9．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为____.
[解析] 由题意可得T＝2，所以＝2，a＝.
三、解答题
10．求下列函数的周期及单调区间．
(1)y＝3tan；
(2)y＝|tanx|.
[解析] (1)y＝3tan＝－3tan，
∴T＝＝4π，
∴y＝3tan的周期为4π.
由kπ－<－得4kπ－∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，无单调递增区间．
∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递减．
(2)由于y＝|tanx|
＝
∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．
11．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
[解析] ∵－≤x≤，∴－≤tanx≤1，
f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，
当tanx＝－1，即x＝－时，ymin＝1；
当tanx＝1，即x＝时，ymax＝5.
B组·素养提升
一、选择题
1．若a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则( D )
A．aB．bC．cD．a[解析] ∵0∴logsin25°>logcos25°>logtan70°.即a2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，若f()＝1，则f(－)＝( C )
A．1
B．－1
C．3
D．－3
[解析] ∵f(x)＝mtan
x－ksin
x＋2(m，k∈R)，f()＝1，
∴f()＝mtan－ksin＋2＝m－k＋2＝1，
∴m－k＝－1，
∴f(－)＝mtan(－)－ksin(－)＋2＝－m＋k＋2＝3.
3．(多选题)下列说法正确的是( BD )
A．tan>tan
B．sin
145°47°
C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
D．函数y＝2tanx(≤x<)的值域是[2，＋∞)
[解析] A错误，tan＝tan(π＋)＝tan，因为0<<<，函数y＝tanx在(0，)上单调递增，所以tan1，故sin145°4．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈(－，)(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( AD )
A．f(x1＋π)＝f(x1)
B．f(－x1)＝f(x1)
C．f(0)＝1
D．>0
[解析] 由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间(－，)上的增函数，故D正确．
二、填空题
5．若函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.
[解析] 若ω使函数在(－，)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.
6．给出下列命题：
(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；
(3)函数y＝的周期是；
(4)y＝sin是偶函数．
其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.
[解析] y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cosx是偶函数，∴(4)对．
因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
7．若tan≤1，则x的取值范围是__(k∈Z)__.
[解析] 令z＝2x－，在上满足tanz≤1的z的值是－三、解答题
8．当x∈时，若使a－2tan的值总大于零，求a的取值范围．
[解析] ∵x∈，∴0≤2x－≤.
又y＝tanx在内单调递增，
∴0≤tan≤，
∴0≤2tan≤2.
由题意知a－2tan>0对x∈恒成立，
即a>2tan对x∈恒成立．
∴a>2.∴实数a的取值范围是(2，＋∞)．
9．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．
[解析] 由y＝|tanx|＋tanx知
y＝(k∈Z)．
其图象如图所示．
函数的主要性质为：
①定义域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}；
②值域：[0，＋∞)；
③周期性：T＝π；
④奇偶性：非奇非偶函数；
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z.第五章
三角函数
5.4
三角函数图象与性质
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1正弦、余弦函数的最值
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R，__值域___都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，
取得最小值－1.
思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．
(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．
知识点2正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦函数y＝sinx的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cosx的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
思考2：(1)正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：(1)观察图象可知：
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.
基础自测
1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是(
C
)
A．[0，π]
B．[，]
C．[－，]
D．[π，2π]
2．下列函数中在上是增函数的是(
D
)
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
【解析】y＝sinx在上是减函数，不满足条件．y＝cosx在上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在上不单调，不满足条件．y＝cos2x的周期是π，在上是增函数，满足条件．
3．函数y＝3sin的一个单调递减区间为(
B
)
A．
B．
C．
D．
【解析】y＝3sin＝－3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B．
4．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为___________________.
【解析】∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－(k∈Z)．
5．函数y＝sinx(≤x≤)的值域为_______________.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一三角函数的单调区间
【例1】
求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝cos(2x＋)；
(2)y＝3sin－3x)．
【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
【解析】(1)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)y＝3sin(－3x)＝－3sin(3x－)．
令z＝3x－，则y＝－3sinz，由y＝－3sinz的单调递减区间，即为y＝sinz的单调递增区间．
∴－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.即－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以原函数的单调减区间为[－＋，＋]，k∈Z.
【归纳提升】
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
【变式训练1】求下列函数的单调区间：
(1)函数y＝sin(x＋)的单调增区间；
(2)函数y＝3sin(－2x)的单调减区间．
【解析】(1)∵函数y＝sinx在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ时，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴函数y＝sin(x＋)的单调增区间为：[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
(2)令u＝－2x，则u是x的减函数．
∵y＝sinu在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减，
∴－＋2kπ≤－2x≤＋2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴原函数y＝3sin(－2x)的单调减区间为：[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
题型二
三角函数单调性的应用
【例2】比较下列各组值的大小：
(1)sin与sin；(2)sin与cos5.
【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．
【解析】(1)sin＝sin(4π＋)＝sin，
sin＝sin(8π＋)＝sin.
∵y＝sinx在[0，]上单调递增，
又0<<<，
∴sin(2)∵cos5＝cos(2π－5)，sin＝cos(－)，
∵y＝cosx在[0，]上递减，
又∵0<2π－5<－<，
∴cos(2π－5)>cos(－)，
∴cos5>sin.
【归纳提升】
比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．
【变式训练2】比较下列各组数的大小：
(1)sin194°与cos160°；
(2)sin与sin.
【解析】(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.
(2)∵cos＝sin，∴0而y＝sinx在(0,1)内递增，∴sin误区警示
忽略函数的定义域而致错
【例3】已知定义在[0，π]上的函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，求f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
【错解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间是[－＋2kπ，－＋2kπ]，k∈Z.
【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．
【正解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，
∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是[，π]．
【方法点拨】
解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．
学科素养
与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
y＝2sinx－1；
②y＝－sin2x＋sinx＋.
(2)求下列函数的值域：
①y＝2sin(2x－)，x∈[，]；
②y＝.
【分析】(1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．
(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．
【解析】(1)①由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.
②y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋，因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
(2)①∵x∈[，]，∴2x∈[，]，
∴2x－∈[，]，
由y＝sint的图象(如图所示)可得sin(2x－)∈[－，1]，
则2sin(2x－)∈[－1,2]，
即y＝2sin(2x－)，x∈[，]的值域为[－1,2]．
②方法一：y＝＝＝1－.
当sinx＝1时，ymax＝－，
由题易得该函数的值域为(－∞，－]．
方法二：由y＝，得(sinx＋1)y＝sinx－2，
即(1－y)sinx＝y＋2，显然y≠1，∴sinx＝.
∵－1素养作业·提技能
A组
素养自测
一、选择题
1．y＝2sinx2的值域是( A )
A．[－2,2]
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．R
【解析】∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
2．函数y＝4sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( D )
A．0
B．－3
C．－2－
D．4－2
【解析】∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin(x－)∈[－，1]，
所以函数的值域为[－2，4]，
故最大值与最小值之和为4－2，故选D．
3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是( C )
A．
B．
C．
D．
【解析】画出y＝|sinx|的图象即可求解．
故选C．
4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是( D )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
【解析】本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D．
5．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( C )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cossin
【解析】sin＝cos(－)，－cos＝cos(π－)．
∵π>>－>π－>0，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，
∴cos即cos6．函数y＝－cos的单调递增区间是( D )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
【解析】函数y＝－cos的单调递增区间即为函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤－≤π＋2kπ，k∈Z，得π＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.故选D．
二、填空题
7．函数y＝sinx，x∈[－，]的值域为__[－，1]__.
【解析】y＝sinx在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，当x＝－时，y＝sinx有最小值－，当x＝时，y＝sinx有最大值1，所以值域为[－，1]．
8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2
015)＝7，则f(－2
015)＝__－5__.
【解析】由f(2
015)＝2
015a＋bsin2
015＋1＝7，得2
015a＋bsin2
015＝6，∴f(－2
015)＝－2
015a－bsin2
015＋1＝－(2
015a＋bsin2
015)＋1＝－6＋1＝－5.
9．函数y＝的最大值为__3__.
【解析】由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin.
【解析】(1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为
y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)．
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sinx＋；
(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－，]．
【解析】(1)y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.
(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋)2＋.因为－≤x≤，所以－≤sinx≤，所以当sinx＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sinx＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
B组
素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( A )
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝cos(x＋)
【解析】C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【解析】因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
3．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(φx＋φ)，则下列命题正确的是( BD )
A．?φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)
B．?φ∈R，f(x＋1)＝f(x)
C．?φ∈R，f(x)都不是偶函数
D．?φ∈R，f(x)是奇函数
【解析】A错误，若命题f(x＋2π)＝sin[φ·(x＋2π)＋φ]＝sin(φx＋φ)成立，则φ必须为整数，所以A是假命题；B正确，当φ＝2π时，函数f(x)＝sin(φx＋φ)满足f(x＋1)＝sin(2πx＋2π＋φ)＝sin(2πx＋φ)＝f(x)，所以B是真命题；C错误，当φ＝时，f(x)＝cosx满足f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C是假命题；D正确，当φ＝2π时，f(x)＝·sin2πx满足f(－x)＝sin(－2πx)＝－·sin2πx＝－f(x)，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D是真命题，故选BD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(2x－)，下列结论正确的是( CD )
A．函数f(x)是周期为π的偶函数
B．函数f(x)在区间[，]上是增函数
C．若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为(－，1]
D．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin(2x－)的图象重合
【解析】A错，函数f(x)是周期为π的函数，但不是偶函数；B错，x∈[，]时，2x－∈[0，]?[0，π]，所以函数f(x)在区间[，]上是减函数；C正确，若函数f(x)的定义域为(0，)，则2x－∈(－，)，其值域为(－，1]；D正确，g(x)＝－sin(2x－)＝－sin(－＋2x－)＝sin[－(2x－)]＝cos(2x－)，故D正确，故选CD．
二、填空题
5．y＝的定义域为__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋]，k∈Z__.
【解析】∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z.
6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－，]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为__[－3,3]__.
【解析】由x∈[－，]得sinx∈[－，]．
当k≥0时，－k＋3≤2ksinx＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．
7．(2019·湖北高三调研)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[，]__.
【解析】由函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，
得≥，即≥，解得ω≤.当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，又函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤ωπ<π，≤ω<.综上，≤ω≤.
三、解答题
8．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
【解析】y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
9．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
【解析】∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴a>0时，解得
a<0时，解得
综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.第五章
三角函数
5.4
三角函数图象与性质
【素养目标】
1．理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期．(数学抽象、数学运算)
2．掌握正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(数学运算)
3．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(数学运算)
4．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(数学运算、逻辑推理)
5．让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1函数的周期
(1)_____周期函数______：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)_____最小正周期____：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
知识点2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
思考2：(1)正弦曲线对称吗？
(2)余弦曲线对称吗？
提示：(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(2)余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
基础自测
1．下列函数中，周期为的是(
D
)
A．y＝sin
B．y＝sin2x
C．y＝cosD．y＝cos4x
【解析】A项中，，故T＝4π；B项中，sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故T＝π；
C项中，，故T＝8π；
D项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋)]＝cos4x，故T＝，综上，D项正确．
2．函数y＝sin2x的奇偶性为(
A
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数y＝－sin2x，x∈R是(
A
)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【解析】函数y＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为___3__的周期函数．
5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝_____f(x)_____.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一三角函数的周期
【例1】求下列函数的周期：
(1)y＝sinx；(2)y＝2sin；(3)y＝|cosx|，x∈R.
【分析】可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝直接求解．
【解析】(1)解法1：令u＝x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.
∴sin＝sinx，
即sin＝sinx.
∴y＝sinx的周期是4π.
解法2：(公式法)∵ω＝，∴T＝＝4π.
(2)解法1：∵2sin＝2sin，
∴2sin＝2sin，
∴y＝2sin的周期是6π.
解法2：∵ω＝，∴T＝＝6π.
(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.
【归纳提升】求三角函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
【变式训练1】求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝；
(3)y＝.
【解析】(1)∵ω＝3，T＝.
(2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，而函数y＝的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝.
(3)∵ω＝，∴T＝.
题型二
三角函数奇偶性的判断
【例2】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝.
【分析】先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．
【解析】(1)函数的定义域为R.
∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝sin＝－cos，x∈R.
∵f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
∴函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)函数应满足1＋sinx≠0，
则函数f(x)＝的定义域为
{x∈R|x≠2kπ＋，k∈Z}．
显然定义域不关于原点对称，
故函数f(x)＝为非奇非偶函数．
【归纳提升】1.判断函数奇偶性的常用方法：
(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．
(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．
(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．
2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．
【变式训练2】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
(2)f(x)＝sin(cosx)．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，
∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．
题型三
三角函数奇偶性与周期性的综合运用
【例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，求f()的值．
【分析】利用周期性与奇偶性将化到[0，]内再求值．
【解析】∵f(x)的最小正周期为π，
∴．
又f(x)是偶函数．
∴f(－)＝f()＝sin＝.
【归纳提升】
1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
【变式训练3】若f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－)的值．
【解析】∵f(x)为以为周期的奇函数，
∴f(－)＝－f()＝－f(＋)＝－f()＝－1.
素养作业·提技能
A组
素养自测
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( D )
2．函数y＝sin2x是( A )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的偶函数
D．周期为的奇函数
3．对于函数y＝cos(－2x)，下列命题正确的是( D )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
【解析】因为函数y＝cos(－2x)＝sin2x，T＝＝π，且y＝sin2x是奇函数，
所以y＝cos(－2x)是周期为π的奇函数．
4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于( C )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线x＝对称
【解析】因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，
所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．
5．函数y＝sin(2x＋)的一个对称中心是( B )
A．(，0)
B．(，0)
C．(－，0)
D．(，0)
【解析】y＝sin(2x＋)＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有(，0)符合要求，故选B．
6．函数f(x)＝的奇偶性是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．
二、填空题
7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__－1__.
【解析】因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是__π(答案不唯一)__.
【解析】因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．
9．函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为__{x|x＝4kπ－(k∈Z)}__.
【解析】∵T＝＝4π，
∴ω＝，
∴f(x)＝2sin.
由x－＝2kπ－(k∈Z)，得x＝4kπ－(k∈Z)．
三、解答题
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．
【解析】∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，
∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.
又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
B组
素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是偶函数”是“φ＝”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若f(x)是偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝不一定成立；而φ＝时，f(x)为偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选B．
2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】①③④是奇函数，故选C．
3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( AC )
A．y＝sin(2x＋)＋1
B．y＝cos(2x＋)
C．f(x)＝＋
D．y＝cos(2x＋)
【解析】由y＝sin(2x＋)＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋)＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；
由y＝cos(2x＋)＝－sin2x知，y＝cos(2x＋)为奇函数，故B不满足条件；
对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．
∵f(－x)＝
＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；
y＝cos(2x＋)是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．
4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是( AD )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
【解析】φ＝0时，f(x)＝sinx是奇函数；φ＝时，f(x)＝cosx是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD．
二、填空题
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<2)，若f()＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为__4π__.
【解析】因为f()＝sin(ω·＋)＝1，所以ω·＋＝2kπ＋(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.
6．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__.
【解析】∵f(x)的周期为，且f(x)为偶函数，
∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1.
7．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y＝f(x－)是奇函数；④y＝f(x＋)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是__①③④__.
【解析】①正确，f(x)＝4sin(2x＋)＝4cos[－(2x＋)]＝4cos(2x－)；②错误，由题意知T＝＝π；③正确，f(x－)＝4sin[2(x－)＋]＝4sin2x，是奇函数；④正确，f(x＋)＝4sin[2×(x＋)＋]＝4cos2x，是偶函数，其图象关于y轴对称．综上知，①③④正确．
三、解答题
8．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
【解析】(1)y＝sinx＋|sinx|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.
9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
【解析】x∈[π，3π]时，
3π－x∈[0，]，
因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
1.基本三角函数的图像
2.正弦函数与的图像性质关系
周期
定义域
R
R
最大值
1，当取得
A，当取得
最小值
-1，当取得
-A，当取得
单调增区间
单调减区间
对称轴
对称中心
类比于研究y＝sin
x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sin
x中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．
3.余弦函数与的图像性质关系
周期
定义域
R
R
最大值
1，当取得
A，当取得
最小值
-1，当取得
-A，当取得
单调增区间
单调减区间
对称轴
对称中心
例1：函数y=2sin（3x+），x∈R的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．π
解：,故选B。
例2：已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于直线x=对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于点（，0）对称
解：由函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，可得求得ω=2，f（x）=sin（2x+）．
由于当时，函数f（x）取得最大值为1，故函数f（x）的图象关于直线对称，故选：B．
例3：设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣的图象关于直线x=对称，它的最小正周期为π，则（ ）
A．f（x）的图象过点
B．f（x）在上是减函数
C．f（x）的一个对称中心是
D．f（x）的一个对称中心是
解：由题意可得，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．再由函数关于对称，故，取，故函数f（x）=Asin（2x+）．
根据公式可求得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，B错，由于A不确定，故选项A不正确．对称中心为，即
（，0），时，选项C正确．选项D不正确．
例4：（2015?安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）
B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）
D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴，∴ω=2，
又∵当时，函数f（x）取得最小值，
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=f（﹣2+2π），f（2）=f（π+2）=Asin（4+）＜0，f（0）=f（）＞0，根据公式可求得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，
又∵＞π+2＞﹣2+2π＞，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．
例5：函数f（x）=2sin（2x+）在[﹣，]上对称轴的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
解：，∵﹣≤x≤，∴函数的对称轴为：，
故选B。
例6：函数y=2sin（3x﹣）的图象中两条相邻对称轴之间的距离是 ．
解：两条相邻对称轴之间有半个周期，即。
例7：同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在[﹣，]上是增函数的一个函数是（ ）
A．y=sin（+）
B．y=cos（2x+）
C．y=sin（2x﹣）
D．y=cos（﹣）
解：求得ω=2，排除A、D，在B选项中，对称轴为直线，单调增区间为不能满足题意，C选项中对称轴为直线，单调增区间为故选C。
例8：函数y=sin（﹣2x+）的单调递增区间是（ ）
A．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）
B．
C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
D．
解：，根据题意，只需求出的单调减区间即可，
，故答案选D。
例9：设函数f（x）=sinωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上有两个最高点和一个最低点，则（ ）
A．3≤ω＜5
B．4≤ω＜6
C．5≤ω＜7
D．6≤ω＜8
解：由题意，结合函数图像可知，故选C。
秒杀秘籍:五点法求解三角函数图像（1）找到相应的中两点；（2）寻找两点联立方程
例10:已知函数（）的一段图象如下图所示，求函数的解析式．
解：由图像可知，最大值为2，最小值为-2，故
图中已知的两点为，故可联立方程组
例11:
已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，
当时，取得最小值，则该函数的解析式是
（
）
A.
B.
C.
D.
解：由题意可知，最大值为，最小值为，故，已知的两点为，故可联立方程组
选B。
例12：
若函数，求在上的最大值和最小值．
解：，则区间包含最大值为2，在单调递增，在单调递减，由于递减区间宽度大于递增区间宽度，故最小值为（如图）。
例13：如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，已知x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（ ）
A．﹣1
B．
C．
D．
解：
，x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），故，。
例14：若函数，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意可知，最大值为2，最小值为，已知的两点为，故可联立方程组
故单调增区间为
选D。
例15：如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则φ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由图像可知：A=2，
又，选D。
例16：（1）若函数对任意的，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
（2）若，对任意实数都有，且，则实数的值等于(
)
A.±1
B.±3
C.－3或1
D.－1或3
定理：关于直线对称；
关于点对称；
解：（1）由题意可得：关于直线对称；故
（2）由题意可得：关于直线对称；故
例17：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0）．若f（x）在区间[，1]上具有单调性，且f（0）=f（）=﹣f（1），则下列有关f（x）的每题正确的有 （请填上所有正确命题的序号）．①f（x）的最小周期为2；②x=是
f（x）的对称轴；③f（x）在[1，]上具有单调性；④y=f（x+）为奇函数．
故②正确，表示将向左移个单位，即关于原点对称，故④正确，由于在区间[，1]上具有单调性，故根据对称原理可得③正确；故①正确；答案为①②③④。
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