4.3.2 对数的运算
课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．
教学重点：对数的运算性质、换底公式．
教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.
教学过程
基础知识
知识点一 对数运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
知识点二 换底公式
(1)对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
(2)三个较为常用的推论
①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；
②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)；
③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．
基础自测
1．若，，，，，下列式子中正确的个数是( )
①；
②；
③；
④.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]
由对数运算法则知，均不正确．故选A．
2．等于( )
A．1
B．2
C．5
D．6
[解析] .
3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：_____.
[解析]
原式.
4.求下列各式的值：
(1)；(2)lg5＋lg2；
(3)ln3＋ln；(4)log35－log315.
[解析]
(1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；
方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.
(3)ln3＋ln＝ln(3×)＝ln1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.
题型探究
题型一
对数运算性质的应用
例1 用logax，logay，logaz表示：
(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.
[解析] (1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.
(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay.
(3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]
＝(logax－logay－2logaz)．
[归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
【对点练习】?
用logax、logay、logaz表示下列各式：
(1)loga(x3y5)；(2)loga.
[解析]
(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.
(2)loga＝loga－loga(yz)
＝logax－(logay＋logaz)
题型二
利用对数运算性质化简、求值
例2 化简下列各式：
(1)log2(23×45)；
(2)；
(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；
(4)log2＋log2；
(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．
[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．
[解析] (1)log2(23×45)＝log223＋log245
＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.
(2)＝＝＝1.
(3)方法一：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
方法二：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg14－lg()2＋lg7－lg18
(4)log2＋log2
＝log2[()()]＝log2＝log24＝2.
(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)
＝log2[(1＋)2－()2]＝log2(3＋2－3)
＝log22＝log22＝.
＝lg＝lg1＝0.
[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则
(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．
(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
【对点练习】?
计算下列各式的值：
(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log3＋lg－lg4；
(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.
[解析] (1)原式＝
＝＋lg＝＋lg10－1
＝－1＝.
(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)
＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)
＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
题型三
换底公式的应用
例3 (1)计算log2·log3·log5；
(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．
[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．
[解析]
(1)原式＝··
＝＝－12.
(2)由题意，得··＝＝，∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，
∴m＝.
[归纳提升]
关于换底公式的用途和本质：
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．
(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．
【对点练习】?
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
(3)log2·log3·log5.
[解析]
(1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2·log3·log5
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15···
＝－15.
误区警示
忽视真数大于零致误
例4
解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.
[错解]原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，
∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22，
∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，
故原方程的解为x＝－3或x＝5.
[错因分析] 解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．
[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4＝1，
∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．
∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.
[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．
学科素养
转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力
例5
(1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.
[分析]
(1)欲求＋的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．
(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．
[解析]
(1)由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，
从而log1256＝＝.
解法二：因为log23＝a，所以log32＝.又3b＝7，所以log37＝b.从而
log1256＝＝＝＝＝.
[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项
(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．
3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．
PAGE4.3.1
对数的概念
课程目标
1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；
2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题．
数学学科素养
1.数学抽象：对数的理解；
2.逻辑推理：通过指数式与对数式的互化得出对数的含义；
3.数学运算：会进行指数式与对数式的互化；
重点：对数的概念及对数的性质．
难点：对数概念的理解及对数性质的应用．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
一、问题导入：
在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从中求出经过年后地景区的游客人次为年的倍数.反之，如果要求经过多少年游客人数是年的倍，倍，倍，…，那么该如何解决？
要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察，研讨.
二、预习课本，引入新课
阅读课本122页，思考并完成以下问题
1.什么叫做对数？对数与指数间的关系是什么？
2.有哪两种重要的对数？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。
三、新知探究，知识梳理
1.对数的概念
一般地，如果（，且），那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
对数与指数间的关系：
当，时，.
2.两种重要对数
（1）常用对数：以为底的对数叫做常用对数，并把记为.
（2）自然对数：以无理数（）为底的对数称为自然对数，并把记为.
3.对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）（，且）；
（3）（，且）.
4．对数恒等式
.
四、典例分析、举一反三
题型一对数的意义
例1
求下列各式中的实数的取值范围：
（1）；（2）．
【答案】（1）由题意有，∴，∴实数的取值范围是.
（2）由题意有，即，∴，且.
∴实数的取值范围是，且.
解题技巧：
求形如的式子有意义的的取值范围，可利用对数的定义，即满足，进而求得的取值范围.
变式训练1
1.求下列各式中实数x的取值范围：
（1）；
（2）．
【答案】（1）因为真数大于，底数大于且不等式，所以，解得，且.即实数的取值范围是，且.
（2）因为底数，所以.
又因为，所以.
综上可知，，且，即实数的取值范围是，且.
题型二利用对数式与指数式的关系求值
例2求下列各式中x的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【答案】（1）∵，∴，∴，∴.
（2）∵，∴，∴.
（3）∵，∴，∴.
（4）∵，∴，∴.
（5）∵，∴，∴.
解题技巧：
1.与（，且，）是等价的，转化前后底数不变.
2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.
变式训练2
2.求下列各式中x的值．
（1）；（2）；
（3）；（4）.
【答案】（1）由，得.
（2）由，得，∴.
（3）由，得，∴.
（4）由，得，∴.
题型三对数基本性质的应用
例3（1）；（2）；
（3）；（4）（，，，，）.
【答案】（1）∵，∴.∴.
（2）∵，∴，∴.
（3）.
（3）.
解题技巧：
对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.
变式训练3
求下列各式中的：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）∵，∴，∴.
（2）∵，∴，∴.
（3）.
五、课堂练习
1.把对数式化为指数式是（）
A.
B.
C.
D.
2.等于（）
A.
B.
C.
D.
3..
4.，则.
5.把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式.
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）.
六、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
七、板书设计
(
4.3.1
对数的概念
1.
对数的概念
2.
对数的基本性质
例
1
例
2
例
3
)
八、作业
课本123页练习
因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明。4.4.2
指数函数的图象与性质
教学目标
1.掌握指数函数的图象变换.
2.熟悉指数函数与其他函数的复合函数的处理方法.
3.熟悉指数函数在实际问题中的应用
教学重点：
1.指数函数的图象与底数的关系.
2.指数函数的图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用.
3.复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法.
4.指数函数性质的应用．
教学难点：
1.指数函数的图象与底数关系的直观理解与严格证明.
2.参数在图象变换(平移、翻转)中的作用，数形结合方法的进一步渗透.
3.复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用.
教学过程：
一、核心概念
知识点一、不同底指数函数图象的相对位置
指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由变；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由变；
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．
知识点二、函数图象的对称和变换规律
一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．
知识点三、与指数函数复合的函数单调性
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0复合而成．
(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：
u＝g(x)
y＝f(u)
y＝f[g(x)]
增
增
增
减
减
增
减
减
(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f[g(x)]的单调性．
二、评价自测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)3－1.8>3－2.5.( )
(2)7－0.5<8－0.5.( )
(3)6－0.8<70.7.( )
答案：（1）√、（2）×、（3）√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如果(a>0，且a≠1)，当a>1时，x的取值范围是__________；当0(2)满足的x的取值范围是________．
(3)某种细菌在培养的过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个分裂成4096个需经过________小时．
答案：(1)，、(2)、(3)3
三、典例分析
题型一
指数函数的图象变换
例1利用函数f(x)＝x的图象，作出下列各函数的图象：
(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．
【答案】作出f(x)＝x的图象，如图所示：
(1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x－1)的图象，如下图(1)．
(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如下图(2)．
(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如下图(3)．
金版点睛：
作与指数函数有关的图象应注意的问题
(1)作与指数函数有关的函数图象，只需利用指数函数的图象作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图象的大致趋势．
(2)利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如本例(1)；对称需分清对称轴是什么，如本例(2)(3)．
跟踪训练1
画出函数y＝2|x－1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．
【答案】y＝2|x－1|＝
其图象是由两部分组成的：一是把y＝2x的图象向右平移1个单位长度，取x≥1的部分；
二是把y＝x的图象向右平移1个单位长度，取x<1的部分，如图中实线部分所示．由图象可知，函数有三个重要性质：
①对称性：图象的对称轴为直线x＝1；
②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增；
③函数的值域：[1，＋∞).
题型二
利用指数函数的单调性比较大小
例2比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.
【答案】
(1)∵1.7>1.
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
(2)解法一：∵1.7>1.5，
∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．而0.3>0，
∴1.70.3>1.50.3.
解法二：∵1.50.3>0，且＝0.3，
又>1,0.3>0，∴0.3>1，
∴1.70.3>1.50.3.
(3)∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.
金版点睛：
比较函数值大小的常用方法
(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂值比较大小，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)当底数不同，指数也不同时，采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与两数都能比较大小的一个值，进而利用中间值解决问题．
跟踪训练2
比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)－π，1.
【答案】
(1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
又∵0.8－0.2＝1.250.2
∴0.8－0.1<1.250.2.
(2)∵0<<1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π<0，∴－π>0＝1，即－π>1.
题型三解简单的指数不等式
例3设0【答案】∵0又∵，
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.
∴不等式的解集是(1，＋∞)．
金版点睛：
解指数型函数不等式的依据
解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：
跟踪训练3
求满足下列条件的x的取值范围：
(1)；
(2)0.2x<25；
(3)(，且)．
【答案】
(1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x，
又y＝3x在定义域R上是增函数，
∴x－1>2x，∴x<－1，
即x的取值范围是(－∞，－1)．
(2)∵0<0.2<1，∴指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
又25＝0.2－2，∴0.2x<0.2－2，∴x>－2，即x的取值范围是(－2，＋∞)．
(3)当a>1时，∵a－5x解得x>；
当0x－7，
解得x<.
综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0题型四
指数函数性质的综合应用
例4已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
【答案】
(1)证明：∵的定义域为，任取，
则，
∵，
∴，
∴，即，
∴不论为何实数，总为增函数.
(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
(3)由(2)知，f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
∵f(1)＝－＝，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
金版点睛：
复合函数的单调性问题
函数y＝f(ax)的单调区间既要考虑f(x)的单调区间，又要讨论a的取值范围：当a>1时，函数y＝f(ax)与函数f(x)的单调性相同；当0跟踪训练4
已知函数f(x)＝.
(1)证明：f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明．
【答案】
(1)证明：由题知f(x)的定义域为R.
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)在定义域上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈R，且x1则，
∵，
∴，
∴，
∴为上的增函数.
四、随堂练习
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53
B．0.82<0.83
C．
D．0.90.3>0.90.5
答案：D
解析：因为函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.
2．若a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B.
C．(－∞，1)
D.
答案：B
解析：函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.
3．设＜bA．aaB．aaC．abD．ab答案：C
解析：由已知条件得04．函数的单调增区间为( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
答案：A
解析：设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝1－x的递增区间．
5．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，
∴当a>1时，y≥2.
当0∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0指数函数的概念
【素养目标】
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(数学抽象)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质．(直观想象)
3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
4．通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题．(数学运算)
【学法解读】
指数函数的学习，学生应掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质．
必备知识·探新知
基础知识
知识点一指数函数
函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是_____.
思考1：(1)为什么指数函数的底数，且?
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：（1）①如果，当时，恒于，没有研究的必要；
当时，意义.
②如果，例如，这时对于，，，该函数意义.
③如果，则是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定，且.
（2）①，且；②的系数为；③自变量的系数为.
知识点二指数型函数模型
形如(，且；且)的函数是指数型函数模型．
思考2：设原有量为，每次的增长量为，经过次增长，该量增长到，则，之间满足的关系式是什么？
提示：（）．
基础自测
1．下列函数中一定是指数函数的是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析]只有符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合（，且）的形式.
2．按复利计算利率的储蓄，存入银行万元，如果年息，年后支取，本利和为人民币( B )
A．万元
B．万元
C．万元
D．万元
3．若函数是指数函数，且，则.
[解析]设（且），由得，∴或（舍去）.
∴.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一指数函数的概念
例1(1)下列以为自变量的函数中，是指数函数的是( B )
A．
B．
C．
D．
(，)
(2)若是指数函数，则有( C )
A．或
B．
C．
D．且
[分析] 利用指数函数的定义进行判断．
[解析]（1）函数的底数，故A中函数不是指数函数；函数的系数为，底数，故B中函数是指数函数；函数的系数为，故C中函数不是指数函数；函数的系数为，故D中函数不是指数函数，故选B.
（2）由题意，得，解得，故选C.
[归纳提升]判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合（，）这一结构形式.
[对点练习]?下列函数中是指数函数的是（D
）
A.
B.
C.D.
[解析]由指数函数定义可知，函数是指数函数，故选D.
题型二指数函数解析式
例2（1）指数函数的图象经过点，则.
（2）指数函数的图象经过点，那么.
[解析]（1）设（且），则，∴.
（2）设（且），则，∴，∴，∴.
[归纳提升] 求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为（且）．
(2)利用已知条件求底数.
(3)写出指数函数的解析式．
[对点练习]②（1）若点在函数的图象上，则的值为（A
）
A.B.
C.D.
（2）若指数函数的图象经过点，则.
题型三指数型函数的实际应用
角度1 增长型指数函数模型
例3随着我国经济的不断发展，年年底某偏远地区农民人均年收入为元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年的平均增长率增长，那么年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．元
B．元
C．元
D．元
[解析]由题意知，年底该地区农民人均收入为，故选B.
角度2 衰减型指数函数模型
例4调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过，如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减少，则他至少要经过________________小时后才可以驾驶机动车．( B )
A．
B．
C．
D．
[解析]设小时后才可以驾车，据题意得，∴，∴，即至少要经过小时后才可以驾驶机动车，故选B.
[归纳提升]关于指数型函数模型
设原有量为，每次的增长（衰减）率为，经过次增长（衰减），该量增长到，则（）.
【对点练习】③
已知某种产品的生产成本每年降低.若该产品年底的生产成本为元/件，那么年底的生产成本为________元/件．
[解析] 年底生产成本元．4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
教学目的：
（1）了解可以由有理数的指数幂无限逼近无理数的指数幂；
（2）培养用于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展教学核心素养.
课型：新授课
教学重点：无理数指数幂的概念；
教学难点：指数幂的运算性质；
教学过程：
引入课题
知识点1无理数指数幂
无理数指数幂（，是无理数）是_________.
思考1：一定是实数吗？
提示：根据无理数指数幂的定理是实数.
知识点2实数指数幂的运算性质（，，，）
（1）_________.（2）_______.（3）________.
思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示：
二、基础自测
1．下列说法正确的个数是（）
（1）无理数指数幂有的不是实数．
（2）指数幂中的只能是有理数．
（3）.
A．B． C．D．
解析：（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；
（2）指数幂中的是任意实数，不正确；
（3），正确，故选B．
2..
3..
三、题型探究
题型一无理数指数幂的运算
例1（1）；
（2）.
解析：（1）原式.
（2）原式.
归纳提升 关于无理数指数幂的运算
（1）底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．
（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．
题型二指数幂运算的综合运算
例2已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）；
（3）.
分析：利用完全平方差公式求（1）（2），利用立方差各式求（3）.
解析：（1）边平，，；
（2）边平，有，；
（3）于，
所以有.
归纳提升（1）条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过解出的值代入求值，则非常复杂．
（2）解决此类问题的一般步骤是
四、误区警示
因忽略幂底数的范围而导致错误
例3化简.
错解：.
错因分析：忽略了题中有，即相当于告知，故，这样，.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否由隐含的条件.
正解：由知，故，
∴.
方法点拨：在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求.
五、学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例4
已知，且，求证：.
分析：看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.
证明：令，则，，，，，，
所证等式左边，
所证等式右边，
∴.
归纳提升（1）对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数，然后以为媒介化简，这样使问题容易解决．
（2）换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．第四章指数函数与对数函数
4.1 指数
【素养目标】
1．弄清与的区别，掌握n次方根的运算．(数学抽象)
2．能够利用进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)
3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)
【学法解读】
本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·探新知
基础知识
知识点一 n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的___n次方根____，其中n＞1，且n∈N
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
知识点二 根式
(1)定义：式子_____叫做根式，这里n叫做___根指数__，a叫做___被开方数__.
(2)性质：(n＞1，且n∈N
)
①()n＝a.
②＝
思考2：()n与中的字母a的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N
，且n>1)
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示：(1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则，无意义；
(2)当a＝0时，a0无意义．
知识点四有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)
(1).
(2).
(3).
思考4：同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
提示：(1)ar÷as＝ar－s；
(2)＝()r.
基础自测
1.等于( B )
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] ＝＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] ()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|＝，故选A．
3．可化为( C )
A．8
B．
C．
D．
[解析] .
4．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．
5．若有意义，则实数x的取值范围为_____(－∞，6]___.
[解析] 要使式子有意义，应满足6－x≥0，
∴x≤6.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 n次方根的概念
例1 (1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为_____；
(2)已知x7＝6，则x＝____；
(3)若有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.
[分析] 解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，则需x－2≥0,
即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[归纳提升] (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
【对点练习】?计算下列各值：
(1)27的立方根是__3___；
(2)256的4次算术方根是__4___；
(3)32的5次方根是__2___.
[解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3.
(2)∵(±4)4＝256，∴256的4次算术方根为4.
(3)∵25＝32，∴32的5次方根为2.
题型二 利用根式的性质化简或求值
例2 化简：(1)＋；
(2)－＋；
(3)＋.
[分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝＋
＝＋＝＋1＋－1＝2.
(2)原式＝－＋
＝＋－(2－)＋2－＝2.
(3)令x＝＋，两边立方，
得x3＝2＋＋2－＋3···(＋)，
即x3＝4－3x，所以x3＋3x－4＝0，
所以(x－1)(x2＋x＋4)＝0，x2＋x＋4＝(x＋)2＋>0，所以x－1＝0，x＝1，
所以＋＝1.
[归纳提升] 形如的双重根式，当A2－B是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．
【对点练习】?计算下列各式：
(1)＝_______；
(2)＝________；
(3)－－＝______.
[解析] (1)＝－a.
(2)＝＝π－3.
(3)－－＝－－＝－－＝.
题型三 根式与分数指数幂的互化
例3 用分数指数幂表示下列各式：
(1)a3·；
(2)(a>0，b>0)；
(3)(a>0，b>0)．
[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
[解析] (1)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(2)∵a>0，b>0，
∴＝
＝＝＝(ab－)＝ab－.
(3)∵a>0，b>0，∴＝＝＝(a－b)＝a－b.
[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：
(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式．
(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．
【对点练习】?
(1)5－化为根式形式为_______；
(2)(b>0)化为分数指数幂的形式为________；
(3)(x≠0)化为分数指数幂的形式为________.
[解析] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝(b－)＝b－×＝b－.
(3)原式＝＝＝＝＝＝x－.
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值
例4 (1)计算：(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5＝______；
(2)化简：÷÷.
[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.
(2)原式＝÷÷
＝÷÷
＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a－
＝a－÷a－＝a－＋＝a.
[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
【对点练习】?化简：
÷(1－2)×.
[解析] 原式＝÷·a
＝··a
＝a·a·a＝a.
课堂检测·固双基
1．化简[(－)2]－的结果是( C )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] [(－)2]－＝3－＝＝＝.
2．已知m<，则化简的结果为( C )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] ∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C．
3．若2＜a＜3，化简＋的结果是( C )
A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
[解析] 由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．
4．以下说法正确的是( C )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N
)
D．负数没有n次方根
[解析] 对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；
对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，
∴B错误；
对于C，当n>1且n∈N
时，0的n次方根是0，
∴C正确；
对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．
5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：＝____.
[解析] ＝＝.
素养作业·提技能
A组·素养自测
一、选择题
1．－的结果是( B )
A．2
B．－2
C．±2
D．以上都不对
[解析] －＝－＝－2.故选B．
2．下列各式正确的是( C )
A．＝
B．＝a
C．＝
D．a0＝1
[解析] ＝＝，＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．
3．若2
019020，则()3＋等于( A )
A．1
B．4
031－2m
C．4
031
D．2m－4
031
[解析] 因为2
019020，所以m－2
020<0.
故原式＝m－2
019＋|m－2
020|
＝m－2
019＋2
020－m
＝1.
故选A．
4．若·有意义，则x的取值范围是( C )
A．x≥2
B．x≤3
C．2≤x≤3
D．x∈R
[解析] 由题意，知x－2≥0，且3－x≥0，所以2≤x≤3.
二、填空题
5．64的6次方根是__±2__，计算64－的值是____.
[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－＝＝＝＝＝.
6．已知a∈R，n∈N
，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)
[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义．
三、解答题
7．写出使下列各式成立的实数x的取值范围：
(1)＝；
(2)＝(5－x).
[解析] (1)由于根指数是3，故x只需使有意义即可，此时x－3≠0，即x≠3.故实数x的取值范围是x≠3.
(2)∵＝＝(5－x)·，
∴∴－5≤x≤5.
∴实数x的取值范围是－5≤x≤5.
B组·素养提升
一、选择题
1．化简(－x)2的结果是( B )
A．
B．－x
C．x
D．x
[解析] 由知x<0，又当x<0时，＝|x|＝－x，因此(－x)2＝＝－x.
2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD )
A．＝x
B．＝y
C．()－＝(x、y≠0)
D．x－＝
[解析] ＝|x|，＝|y|，
()－＝()＝(x、y≠0)，
x－＝＝，故CD正确．
二、填空题
3．若10α＝2,100β＝3，则1
0002α－β等于____.
[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3，
∴10β＝.
∴1
0002α－β＝106α－β＝＝＝.
4．27＋16－－()－2－()－＝__3__.
[解析] 原式＝(33)＋(42)－－22－[()3]－＝32＋4－1－4－＝3.
三、解答题
5．若x>0，y>0，且(＋)＝3(＋5)，求的值．
[解析] 由x>0，y>0且(＋)＝3(＋5)得x＋＝3＋15y，即x－2－15y＝0，整理有(－5)(＋3)＝0，因为x>0，y>0，所以＝5，即x＝25y，
所以＝＝＝3.
