4.5.3
函数模型的应用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1.指数函数与对数函数模型
指数函数模型
(，，为常数，，且)
对数函数模型
(，，为常数，，且)
知识点2.解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为，因变量为.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3.拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用下图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂年的产值为万元，预计产值每年以的速度递增，则该厂到年的产值(单位：万元)是（）
A．
B．
C．
D．
2．某种细菌经分钟个数变为原来的倍，且该种细菌的繁殖规律为，其中为常数，表示时间(单位：时)，表示繁殖后细菌总个数，则_________，经过小时，个细菌通过繁殖个数变为__________.
3．某种动物繁殖数量(只)与时间(年)的关系为，设这种动物第年有只，则第年它们繁殖到_______只．
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
现有如下个模拟函数：
①；②；③；④；
⑤.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______(填序号)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一：指数函数模型的应用
例1.年月日世界人口达到亿，假设世界人口年增长率为，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
[解析] 由年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.
解不等式得.
所以由马尔萨斯人口模型估算，经过年后，即年世界人口达到亿．
[归纳提升]
指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：(且，)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】?目前某县有万人．经过年后为万人．如果年平均增长率是.请回答下列问题：
(1)写出关于的函数解析式；
(2)计算年后该县的人口总数(精确到万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到万(精确到年)．
题型二：对数函数模型的应用
例2.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：，，)．
(1)当，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，候鸟的飞行速度是多少?
(2)当，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为，同类雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析](1)将，代入解析式求速度．
(2)利用候鸟休息的速度为解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
[解析](1)由题意，，，
得，
故此时候鸟的飞行速度为.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是，可得，，
即，解得：，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为，雌鸟的耗氧量为，
由题意得：，
两式相减可得，解得：，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．
[归纳提升]
对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：(，且)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】?大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数，其中，为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为个单位；而当它的游速为时，其耗氧量为个单位．
(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于时，其耗氧量至多需要多少个单位．
误区警示
忽视实际问题对定义域的限制致误
例3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为万元，则
，即，
故的最大值为，即该企业所能获取的最大利润为万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了为自然数，而该错解中却是在时取到的最大值，这种情况在实际中是无法操作的．
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为万元，则，即
，故当或时，取最大值，即该企业生产件或件商品时所取得的利润最大，为万元．
学科素养
二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．
例4.已知函数.
(1)证明：有且仅有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
[解析] (1)∵函数，在上都是增函数，
∴在上是增函数，
∴至多有一个零点，由，，
∴，∴在内至少有一个零点，
∴有且仅有一个零点．
(2)∵，，取，，
∴，∴的零点．
取，，∴，∴．∵，∴满足题意的区间为．
巩固提升·课后练
布置作业4.5.2 用二分法求方程的近似解
新课程标准：
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.
学业水平要求：
★水平一
1.能从教材实例中了解二分法概念.（数学抽象）
2.能从教材实例中归纳出用二分法求方程近似解的步骤.（逻辑推理）
★水平二
能了解二分法求方程近似解的思想，能利用二分法求方程的近似解.（数学运算）
导思
1.求函数的零点时，如果方程无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？
2.应用二分法求函数的零点有哪些步骤？
1.二分法的概念
(1)二分法：对于在区间上图象连续不断且的函数，
通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近
零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.
(3)应用：求函数的零点、方程的根的近似解.
【思考】为什么能用二分法求方程的近似解？
提示：方程的根即为对应函数的零点.
2.用二分法求函数零点近似值的步骤
(1)步骤：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证.
②求区间的中点.
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若(此时)，则就是函数的零点；
(ii)若(此时)，则令；
(iii)若(此时零点)，则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)，否则重复步骤②～④.
(2)本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现.
(3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解.
【思考】
零点的近似解只能是区间的端点或吗？
提示：不是，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得.
( )
(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.
( )
(3)用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高.
( )
提示：(1)×.函数需满足在区间上连续不断且，才能用二分法求零点.
(2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值.
(3)×.精确度越大，零点的精确度越低.
2.下列图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
【解析】选A.只有A中图象与轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.
3.(教材二次开发：例题改编)若函数的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
则方程的一个近似解(精确度)为_______.
【解析】因为，所以；
因为，
又，
所以，此时.所以可以是之间的任意一个数，故取.
答案：(答案不唯一)
类型一 二分法的概念应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是
( )
2.已知有零点，但不能用二分法求出，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列关于函数，的叙述中，
①二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用；
②若是在上的零点，则可用二分法求的近似值；
③用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.
其中正确的个数为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】1.选C.只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有C.
2.选A.有零点，但不能用二分法求出，
则，有两个相等的实数根，
则，解得.
3.选B.二分法除了可以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊点.正确；②中函数不一定连续，且无法判断是否有，错误；③中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一位，正确；
④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误.
【解题策略】
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【补偿训练】
已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为
( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】选D.由图象可知，函数有个零点，能用二分法求出的有个.
类型二 用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)
【典例】1.(多选题)用二分法求函数的一个零点，其参考数据
如下：
根据上述数据，可得的一个零点近似值(精确度)为( )
A.
B.
C.
D.
2.用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为，那么下一个有根的区间是_______.?
【解题导引】1.首先确定零点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.
2.依据，，的符号作出判断.
【解析】1.选BCD.由参考数据知，即
且.
所以的一个零点的近似值可取为，，.
2.设，，，，零点所在的区间为，所以方程下一个有根的区间是.
答案：
【解题策略】
二分法求函数零点的关注点
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.
(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.
【跟踪训练】
1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，
当(为精确度)时，函数零点近似值与真实零点的误差最大
不超过
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.真实零点离近似值最远即靠近或，而
因此误差最大不超过.
2.在用二分法求函数在内的零点的近似解时，经计算，，，则可得出方程零点的一个近似解为_______(精确度).
?
【解析】因为，
所以内的任意一个值都可作为方程的近似解.
答案：(答案不唯一)
类型三 用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)
角度1 求方程的近似解?
【典例】用二分法求方程的近似解(精确度为).
【思路导引】设出方程相应的函数，按照二分法求函数零点的步骤计算.
【解析】设函数，
因为函数与在上都是增函数，所以在上是单调递增的，
又因为，
，，
所以在区间内存在零点，
利用二分法可得表，
区间
中点
的符号
区间长度
方程在精确度为的要求下的一个近似值为.
【变式探究】
本例中，若精确度变为，则要达到精确度要求至少要计算多少次？
【解析】设至少需要计算次，则满足，
即，因为，所以至少需要计算次.
角度2 已知方程根的个数求参数范围?
【典例】(2020·南通高一检测)已知函数
设方程有个不同的根，则实数的取值范围是_______.?
【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决.
【解析】方程有个不同的根，
即为有个不等实根，作出的图象，可得时，与的图象有个交点.
答案：
【解题策略】
1.关于二分法求方程的根
设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求出对应函数的零点即可.
2.关于利用方程的根求参数的范围
(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围；
(2)解题思维过程：方程解的个数?函数交点个数?方程根的个数，方法是数形结合法.
【题组训练】
1.利用二分法求方程的近似解，初始区间可以取
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设，
因为当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又因为，，故，
故方程在区间上有解.
2.(2020·吉林高一检测)已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为_______.?
【解析】因为,所以的图象如图：
所以的图象如图：
因为恰有个不同的零点，所以图象与轴有两个不同的交点.因为若时，有两个零点，
则令，得或；
则时，没有零点，所以.
因为若时，有一个零点；
则时，有一个零点，所以.
答案：.
1.用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证
，取区间的中点，计算得，则
此时零点所在的区间是( )
A.
B.
C.
D.无法确定
【解析】选B.由题意可知：对于函数在区间上，有
，
利用函数的零点存在定理，所以函数在上有零点.取区间的中点,
因为计算得，所以利用函数的零点存在定理，函数在上
有零点.
2.已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到，则需对区间至少等分的次数为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设需计算次，则满足，
即.故计算次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为次.
3.(教材二次开发：例题改编)用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
的近似值
据此数据，可得方程的一个近似解(精确度为)可取_______.
【解析】，，方程的一个近似解在上，且满足精确度为，所以所求近似解可取为.
答案：(答案不唯一)
4.用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间为_______.?
【解析】因为，，，
所以，.
所以下一个有根区间应为
答案：.
PAGE4.5.1 函数的零点与方程的解
【素养目标】
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．(直观想象，数学抽象)
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．(逻辑推理，数学运算)
3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(数学建模)
【学法解读】
本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象，再把函数的零点、方程的解与函数的图象与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图象及性质会判断函数零点问题，对函数的实际应用问题，学生应学会对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立“量”与“量”之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题，通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的．
必备知识·探新知
知识点1：函数的零点
(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的_________.
(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
思考1：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
提示：(1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
(2)相等．
知识点2：函数的零点存在定理
(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________________，f(a)f(b)<0；
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?
提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
基础检测
[解析] (1)令x2－5x－6＝0，得(x－6)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝6，∴函数f(x)的零点为－1,6.
(2)令x3－7x＋6＝0，得x3－x－6x＋6＝0，
∴x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝0，
∴(x－1)(x2＋x－6)＝0，∴(x－1)(x＋3)(x－2)＝0，
∴x1＝－3，x2＝1，x3＝2.
∴函数f(x)的零点为－3,1,2.
关键能力·攻重难
题型一 求函数的零点(方程的根)
(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.
[归纳提升] 1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点?方程f(x)＝0的实根?函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【对点练习】?
(1)求下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为__________；
②g(x)＝lgx＋2零点为______.
(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝_______.
[解析] (1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，
题型二 判断零点所在的区间
例题2(2020·江西宜丰中学高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
[解析] f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
[归纳提升] 判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
【对点练习】?
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
题型三 函数零点个数的判断
例题3函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A．x1<2,2B．x1>2且x2>5
C．x1<2，x2>5
D．25
[分析] f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．
[归纳提升] 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可依据函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
题型四 一元二次方程根的分布问题
例题4(2020·天津市河西区高一期末测试)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
[分析] (1)f(x)有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；
(2)
f(x)有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．
【对点练习】?
若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－1PAGE4.4.3
不同函数增长的差异
教学目标：
知识与技能
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法
能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、一次函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点
将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点
怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创设情境
思考：存在一个，当时，为什么一定成立？
师：指出：当时，由的增长速度，存在，当时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有
组织探究
例1．
四个变量随变量变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是______.探究：1）从表格观察函数值的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．2）分析解答根据例1表格中所提供的数据，你对四种函数从表格中可以看出，四个变量均是从2开始变化，变量都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．分别表现增长差异有什么认识？
师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．生：观察表格，获取信息，体会四种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．师：引导学生观察表格中四种函数的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
环节
教学内容设计
师生双边互动
组织探究
3）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下四种函数的特点吗？4）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
师：引导学生利用函数图象分析四种函数的不同变化趋势．生：对四种函数的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断．
例2．已知函数和，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较的大小．探究：1）由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
师：引导学生画出函数和的图像，并学会分析图像变化趋势生：进一步体会函数图像模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
组织探究
2）通过函数图像，写出例2的解答．
师：引导学生利用解析式，结合图象，对函数模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．生：进一步求得对应函数值的大小，并分析函数值的增减变化
探究与发现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩固与反思
尝试练习：教材P116练习1、2；教材P119练习．小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．
生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
作业与回馈
教材P127习题32（A组）第1~5题；（B组）第1题
课外活动
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
创设情境
组织探究
探索研究
巩固反思
作业回馈
课外活动
实际问题引入，激发学生兴趣．
选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．
总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．
师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
强化基本方法，规范基本格式．
收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．
PAGE第四章指数函数与对数函数
4.4.2
对数函数的图像和性质
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.2节《对数函数的图像和性质》是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
1、掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题;
2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。
3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。
a.数学抽象：对数函数的性质；
b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系；
c.数学运算：运用对数函数的性质比较大小；
d.直观想象：对数函数的图像；
教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图
象之间的联系。
教学难点：对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的
联系。
多媒体
教学过程
设计意图
核心教学素养目标
（一）、问题探究
思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？
问题1.
利用“描点法”作函数和的图像．
函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：
x…124……2-1012……210-1-2…
问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
发现：函数和的图像都在y轴的右边,关于轴对称
问题3：底数（，且）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性
由此你能概括出对数函数（，且）的值域和性质吗？
结论1．函数和的图像都在y轴的右边；
2．图像都经过点；
3．函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势．
观察两幅图象，得到和时对数函数的图象和性质。
对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路,
函数图象看底数;底数只能大于,
等于来也不行;底数若是大于,
图象从下往上增;底数到之间,
图象从上往下减;无论函数增和减,
图象都过点.
（二）、典例解析
例1
比较下面两个值的大小
⑴，；⑵，⑶，(
,
)
解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数∵,
∴函数在区间上是增函数；∵3.4<8.5，∴
log23.4<
log28.5（2）：考察函数
,
∵,
∴函数在区间上是减函数；∵1.8<2.7
，∴
log
0.3
1.8>
log
0.3
2.7
（3）：考察函数与可看作函数的两个函值
,
对数函数的单调性取决于底数是大于1还是小于1，因此需要对底数进行讨论;当时,
因为是增函数，且5.1
<5.9，所以；当时,
因为是减函数，且5.1
<5.9，所以；
归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.
2.当底数不确定时,要对底数与的大小进行分类讨论.
跟踪训练1．比较下列各题中两个值的大小:
⑴；⑵
⑶；⑷
答案：＜；＜；＞；＞
跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数，的大小：
(1)
；
(2)
(3)
()；
(4)
()
答案：；；；
已知函数（，）可得到，对于任意一个，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把作为自变量，作为的函数，这是我们就说是函数（）的反函数。
但习惯上，我们通常用表示自变量，表示函数，为此我们常常对调函数中的字母，，把它写成
,这样，对数函数是指数函数（）的反函数。
因此，函数(,且)与指数函数互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。
温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究对数函数图像与性质的方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。
通过画出特殊的对数函数的图形，观察归纳出对数函数的性质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；
通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的图像与性质。培养逻辑推理核心素养。
运用对数函数的性质解决比较大小问题，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养；
三、当堂达标
1．函数的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B.C.D.
【答案】A 由图可知，a>1，故选A.
2.当a>1时，在同一坐标系中，函数与的图象为( )
A B C D
【答案】：C (1)∵a>1，∴是减函数，是增函数，故选C.
3.已知，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
解析： ∵，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
4．函数的图象恒过定点________．
【答案】(3,0) [由2x－5＝1得x＝3，∴f(3)＝＝0.即函数f(x)恒过定点(3,0)．]
5.比较下列各组数中两个值的大小:
解:(1)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76
(2)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8
6:解不等式:
解：原不等式可化为：，
通过练习巩固本节所学知识，巩固对数函数的概念，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、小结
1．对数函数的图象及性质
的范围图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点，即时，单调性在上是减函数在上是增函数
2．反函数
指数函数(，且)和对数函数(，且)互为反函数．
3.思想方法类比：类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质；
五、作业
1.
课时练
2.
预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；第四章指数函数与对数函数
4.4.1 对数函数的概念
【素养目标】
1．理解对数函数的概念、图象及性质．(数学抽象)
2．了解反函数的概念，掌握互为反函数的特征．(直观想象)
3．能画出具体对数函数的图象，并能根据图象说明对数函数的性质，初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象)
4．会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(逻辑推理)
5．掌握对数函数的单调性，会进行对数大小的比较．(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中，学生应类比指数函数的图象与性质，借助对数函数的图象得出其性质，并把所学知识应用到实际问题中，学生通过对对数函数的学习，逐步提升学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等数学素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点对数函数
函数(，且)叫做__________，其中是自变量，定义域是_________.
思考：(1)对数函数的定义域为什么是？
(2)对数函数的解析式有何特征？
提示：(1)，真数为幂值，而，故式子中，.
(2)①，且；②的系数为；③自变量的系数为.
基础自测
1．下列函数是对数函数的是( )
A．
B．
(且)
C．
(且)
D．
[解析]判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“”的形式，A，B，C全错，D正确．
2．(2019·山东临沂高一期末测试)函数的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
[解析]要使函数有意义，应满足，∴，故选D．
3．对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为____________.
[解析] 设对数函数为，则，∴，
∴，∴.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数函数概念
例1
下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦．
A．个
B．个
C．个
D．个
[分析] (1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，
∴①不是对数函数；由于②中底数不能保证且，
∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为，，
∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中系数为，
∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，且.
(2)在解析式中，的系数必须为，真数必须为，底数必须是大于且不等于的常数．
【对点练习】?指出下列函数中，哪些是对数函数？
①；②；③；④；⑤．
[解析]①是指数函数；②中的系数为，∴②不是对数函数；③中的真数为，∴③不是对数函数；⑤中的真数是，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．
题型二 对数函数的定义域
例2
求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3).
[分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组解不等式组写出函数的定义域．
[解析] (1)要使函数有意义，需
，即.
∴，且，故函数的定义域为且．
(2)要使函数有意义，需使，即，
解得，故函数的定义域为．
(3)要使函数有意义，需使，
即，∴，即.
故函数的定义域为．
[归纳提升] 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
【对点练习】?
(1)函数的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
(2)函数的定义域为，则函数的定义域为______________.
[解析] (1)使函数有意义应满足，
即，∴，故选C．
(2)由定义域为知，，
解得，
故定义域为．
题型三 对数函数在实际问题中的应用
例2
某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据，)
[解析] 设过滤次后杂质含量为，
则，即，则，
令，则
，
所以至少过滤次才能使产品达到市场要求．
[归纳提升] 建立对数函数模型解决应用问题
对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题．
【对点练习】?某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，求该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份(参考数据：，，)．
[解析] 设经过年后公司的研发资金为，
则，即，所以，
令，所以，
所以到年，公司研发资金开始超过万元．
