3.4
函数的应用（一）
客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.
课程目标
1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；
2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．
数学学科素养
1.数学抽象：总结函数模型；
2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数；
3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值
；
4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来.
重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；
难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
一、情景导入
我们学习过了一次函数、二次函数、分段函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，请学生们举例说明与此有关的生活实例.
要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察，研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本页，思考并完成以下问题：
1.一、二次函数、反比例函数的表达形式分别是什么？
2.幂函数、分段函数模型的表达形式是什么？
3.解决实际问题的基本过程是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.
三、新知探究
1.常见的数学模型有哪些?
（1）一次函数模型：(,为常数,)；
（2）反比例函数模型：(,为常数,)；
（3）二次函数模型：(,,为常数,)；
（4）幂函数模型：(,，为常数,,)；
（5）分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?
第一步：分析、联想、转化、抽象；
第二步：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学问题,求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.
而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
四、典例分析、举一反三
题型一一次函数与二次函数模型的应用
例1(1)某厂日生产文具盒的总成本(元)与日产量(套)之间的关系为,而出厂价格为每套元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒（
）
A.套
B.套
C.套
D.套
（2）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果,假设每箱售价不得低于元且不得高于元.市场调查发现,若每箱以元的价格销售,平均每天销售箱.价格每提高元,平均每天少销售箱.
①求平均每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)之间的函数关系式；
②求该批发商平均每天的销售利润(元)与销售单价(元/箱)之间的函数关系式；
③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
解答：
（1）因利润,
所以,
由解得,故至少日生产文具盒套.
（2）①根据题意,得,
化简,得.
②因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润.
所以.
③因为,所以当时,随的增大而增大.
又，所以当时,有最大值,最大值为.
所以当每箱苹果的售价为元时,可以获得最大利润,且最大利润为元.
解题方法：（一、二次函数模型应用）
1.一次函数模型的应用
利用一次函数求最值,常转化为求解不等式(或).解答时,注意系数的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
2.二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.
跟踪训练一
1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个元,茶杯每个元,该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的付款.
某顾客需购买茶壶个,茶杯若干个(不少于个),若购买茶杯(个),付款(元),试分别建立两种优惠办法中与之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
2、某自来水厂的蓄水池存有吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,小时内供水总量为吨.
①从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?
②若蓄水池中水量少于吨时,就会出现供水紧张现象,请问：在一天的小时内,有几小时出现供水紧张现象.
解答：
1.由优惠办法①可得函数解析式为(,且).
由优惠办法②可得(,且).
(,且),
令,得.
所以,当购买个茶杯时,两种优惠办法付款相同；
当时,,即优惠办法①更省钱；
当时,,优惠办法②更省钱.
2.①设小时后蓄水池中的存水量为吨,
则,
令，则，即，
所以,
∴当,即时,,
即从供水开始到第小时时,蓄水池存水量最少,只有吨.
②令,
即,
解得,即,.
因为，所以每天约有小时出现供水紧张现象.
题型二
分段函数模型的应用
例2 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
（1）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象．
解答：
（1）阴影部分的面积为，阴影部分的面积表示汽车在这内行驶的路程为.
（2）获得路程关于时间变化的函数解析式：
，
图象如图
解题技巧：
分段函数注意事项：
1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
跟踪训练二
1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本万元,此外每生产件这种产品还需要增加投资万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为件,当出售的这种产品的数量为(单位：百件)时,销售所得的收入约为(万元).
（1）若该公司的年产量为(单位：百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
解答：
（1）当时,产品全部售出,
当时,产品只能售出件.
所以,
，
即.
（2）当时，，
所以当(百件)时,有最大值,
(万元).
当时,(万元).
故当年产量为件时,当年所得利润最大.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
3.4
函数的应用（一）
1.函数模型例
例
例
2.解决实际问题的基本步骤
)
七、作业
课本页练习、
本节课主要就一次函数、二次函数、分段函数模型举例说明就函数的实际应用.在实际应用中，建立合适的函数模型,把实际应用问题转化为数学问题为关键点.第三章函数的概念与性质
3．3 幂函数
[目标]
1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．
[重点]
幂函数的定义、图象和性质．
[难点]
利用幂函数的性质解决有关问题．
知识点一幂函数的概念
[填一填]
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[答一答]
1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？
提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．
知识点二幂函数的图象
[填一填]
五种常见幂函数的图象
幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象如下图．
[答一答]
2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？
提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.
(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝.
(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如.
3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？
提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．
知识点三幂函数的性质
[填一填]
五类幂函数的性质
[答一答]
4．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？
提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；
α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．
类型一幂函数的概念
[例1] 下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
幂函数解析式的结构特征：?1?解析式是单项式；?2?幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.
[变式训练1] (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( C )
A.
B．1
C.
D．2
(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝－3或1.
解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.选C.
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得
解得m＝－3或1，n＝.
类型二幂函数的图象
[例2] 下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(B
)
A．－1
B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
[解析] 由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．
[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有( D )
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
解析：∵x－＝(－1)，当0∴幂函数的图象经过区域①；当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数的图象经过区域⑤.
类型三幂函数的性质应用
[例3] 比较下列各组中三个数的大小．
[分析] 本题考查幂函数．
比较幂值大小的方法
分类
比较对象
方法
指数相同，底数不同
与
利用幂函数的单调性
底数相同，指数不同
与
利用不等式性质
底数、指数都不同
与
寻找“中间量”或或或等
[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：
1.下列所给出的函数中，是幂函数的是( B )
A．y＝－x3
B．y＝x－3
C．y＝2x3
D．y＝x3－1
2.如果幂函数f(x)的图象过点，那么f的值为( D )
A.
B．2
C．1
D．4
解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点，∴＝4α，解得α＝－.∴f(x)＝＝4.
3.函数的图象是( B )
解析：∵函数是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.
4.幂函数在[－4，－2]上的最小值为__－__.
.解析：∵在(－∞，0)上单调递减，∴在[－4，－2]上递减，∴在[－4，－2]上的最小值是－.
5．比较下列各题中两个幂的值的大小：
——本课须掌握的三大问题
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
幂函数
课时作业
(15分钟 30分)
1.下列结论正确的是
( )
A.幂函数图象一定过原点
B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数
C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数
【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.
2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点，则k+α等于
( )
A.
B.1
C.
D.2
【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k=1，f==，
即α=-，所以k+α=.
3.在下列四个图形中，y=的图象大致是
( )
【解析】选D.函数y=的定义域为(0，+∞)，是减函数.
4.幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是
( )
A.[-1，+∞)
B.[0，+∞)
C.(-∞，+∞)
D.(-∞，0)
【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为
[0，+∞).
5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内
( )
A.为增函数
B.为减函数
C.有最小值
D.有最大值
【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，
所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，
所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.
【补偿训练】
已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.?
【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.
答案：(-∞，0)
6.已知幂函数f(x)=(-2①在区间(0，+∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域.
【解析】因为函数在上单调递增，
所以-m2-2m+3>0，解得：-3因为-2又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.
当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，
当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，
所以f(x)=x4，所以f(x)在上递增，
所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，
所以值域是.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)是幂函数且为奇函
数，则m的值为
( )
A.2
B.3
C.4
D.2或4
【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)为幂函数，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.
2.下列命题中，不正确的是
( )
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.y=既不是奇函数，又不是偶函数
【解析】选C.因为x-1=，=-，
所以A正确；
(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.
3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=；⑤f(x)=.其中满足条件
f()>(x1>x2>0)的函数的个数是
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解题指南】解决该题的关键是正确理解
f>(x1>x2>0)的含义.
【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，
f=；
②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；
③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，
f<；
④函数f(x)=的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；
⑤在第一象限，函数f(x)=的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，
f<.
故仅有函数f(x)=满足当x1>x2>0时，
f>.
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是
( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
【解析】选A、B、C.A中y==，定义域、值域都为R；B中y==定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=的定义域、值域也为R；D中y==定义域为R，而值域为[0，+∞).
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.?
【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中，
令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，
解得m=2或m=-1；
当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，
在(0，+∞)上单调递减，满足题意；
当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，
在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.
答案：2
6.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.?
【解析】因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，
因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以m=-1，即f(x)=x4.
所以f(2)=24=16.
答案：16
四、解答题
7.(10分)已知幂函数f(x)=(m∈N
)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，)，
所以=，即=.所以m2+m=2.
解得m=1或m=-2.又因为m∈N
，所以m=1.
所以f(x)=，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，
得解得1≤a<.
所以a的取值范围为.第三章函数的概念与性质
3.2
函数的基本性质
3.2.2
奇偶性
【素养目标】
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；
2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
【重点】
利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．
【难点】
运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．
第二课时函数奇偶性的应用
要点整合夯基础
基础知识
知识点一函数奇偶性的性质
1．奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝_0_或__-1_(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝__0__或__1__(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有_________，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么_____.
思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？
提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．
思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？
提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点二函数奇偶性与单调性的联系
由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用
思考3：设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是__________.
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
典例讲练破题型
题型探究
类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式
【例1】(1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2015，则f(－3)＝________.
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
【解析】(1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．
又g(3)＝f(3)－3＝2015－3＝2012，
所以g(－3)＝－g(3)，
即f(－3)－3＝－2012，解得f(－3)＝－2009.
法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2015＝－2009.
(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴
【通法提炼】
(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f(x)与f(－x)的关系求f(x).
(2)本题中是求x∈R时的函数解析式，不要忘记x＝0的特殊情况.
【变式训练1】(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(
B
)
A．4
B．3
C．2
D．1
(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则x<0时，f(x)＝______.
【解析】(1)∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②
由①＋②得g(1)＝3，故选B.
(2)设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用
命题视角1：比较大小
【例2】若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则与的大小关系是(
C
)
A．
B．
C．
D．
【解析】因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以.
【通法提炼】
奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.
【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(
D
)
A．f(6)>f(7)
B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9)
D．f(7)>f(10)
【解析】
由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图象的对称轴为x＝8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)f(10)．故选D.
命题视角2：解不等式
【例3】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)【分析】由于f(x)是奇函数，可得f(x)在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1－m)【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．所以不等式f(1－m)所以实数m的取值范围是.
【通法提炼】
解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【变式训练3】已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<的x的取值范围是(
A
)
A.
B.
C.
D.
【解析】因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象(如图)由f(2x－1)<得－<2x－1<.解得.
命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用
【例4】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立．
(1)求f(1)的值．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
(3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3.
【解析】(1)令x1＝x2＝1得，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，则f(－1)＝0，
令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(x)，
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(4)＝1，又f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴f(16)＋f(4)＝f(16×4)＝f(64)，
∴f(64)＝f(4)＋f(4)＋f(4)，∴f(64)＝3.
∴f(3x＋1)＋f(－6)≤3等价于f(－6(3x＋1))≤3，
∴f(|－6(3x＋1)|)≤f(64)，∴
解得x∈.
【通法提炼】
对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.
【变式训练4】已知定义在(－1,1)上的奇函数是增函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
【解析】(1)因为是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.
又因为，则.
所以.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t|0课堂达标练经典
1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是(
C
)
A．bB．bC．aD．c【解析】f(x)为偶函数，则a＝f(－)＝f()．
又∵，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴，即a2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝(
C
)
A．3x－1
B．3x＋1
C．－3x－1
D．－3x＋1
【解析】设x>0，则－x<0.
∴f(－x)＝－3x－1.
又∵f(x)是偶函数，
∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.
3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是(
D
)
A．f(0)B．f(4)>f(3)
C．f(2)>f(0)
D．f(－1)【解析】∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．
又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)．
4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是_____________．
【解析】∵f(a－1)＋f(1)>0，
∴f(a－1)>－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴f(a－1)>f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.
5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．
【解析】∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10)又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.
故a的取值范围为(6，＋∞)．
课时作业
A组素养自测
1．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( A )
A．－2
B．0
C．1
D．2
【解析】因为x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.
又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A．
2．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( A )
A．4
B．0
C．2m
D．－m＋4
【解析】由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.
所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．
3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于( A )
A．x＋x4
B．－x－x4
C．－x＋x4
D．x－x4
【解析】当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)．
则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，x∈(0，＋∞)．
从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝x＋x4.故选A．
4．偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则有( A )
A．f(－π)>f>f(－1)
B．f>f(－1)>f(－π)
C．f(－π)>f(－1)>f
D．f(－1)>f(－π)>f
【解析】由题意，得f(－π)＝f(π)，f(－1)＝f(1)．又函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且1<<π，所以f(1)5．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( B )
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
【解析】由f(x)是偶函数，得f(x)的图象关于y轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B．
6．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式的解集为( B )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
【解析】∵f(x)为偶函数，∴，∴xf(x)>0，∴或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．故选B．
7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f(x)＝x＋2.
【解析】由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝－.
【解析】∵x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，
∴f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m，
又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，
由f(2)＝3f(－1)知，5＋2m＝－6－3m，∴m＝－.
9．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是[－3，－2)∪(2,3]．
【解析】∵函数f(x)为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f(x)在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
10．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)求f(－1)的值；
(2)求当x<0时函数的解析式；
(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
【解析】(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1.
(2)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－1.
又因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－1＝－－1.
(3)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0因为x1－x2<0，x1x2>0.
所以f(x2)－f(x1)<0.
所以f(x1)>f(x2)．
因此f(x)＝－1在(0，＋∞)上是减函数．
11．已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
【解析】(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明：设0则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)
＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0，
即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知f(x)是偶函数，
则有f＝f，
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
则f>f.∴f>f.
B组素养提升
12．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是( A )
①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f(0)＝0；④f(0)的值与函数解析式有关．
A．①③
B．①④
C．②④
D．②③
【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0,0)是函数与x轴的交点，则(－x0,0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确．
13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( B )
A．0.5
B．－0.5
C．1.5
D．－1.5
【解析】由已知，可得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(2＋3.5)＝－[－f(3.5)]＝f(3.5)＝f(2＋1.5)＝－f(1.5)＝－f(2－0.5)＝－[－f(－0.5)]＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
14．奇函数f(x)满足：①f(x)在(0，＋∞)内单调递增；②f(1)＝0.则不等式x·f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【解析】∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f(1)＝0.
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(－1)＝0.
当x>0时，f(x)>0
即f(x)>f(1)，∴x>1，
当x<0时，f(x)<0，
即f(x)∴x·f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．
(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间；
(2)求函数f(x)，x∈R的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1,2]，求函数g(x)的最小值．
【解析】(1)f(x)的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)设x>0，则－x<0，
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
∴f(x)＝
(3)由(2)知g(x)＝x2－(2＋2a)x＋2，x∈[1,2]，其图象的对称轴为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)min＝g(1)＝1－2a；
当1当a＋1≥2，即a≥1时，g(x)min＝g(2)＝2－4A．
综上，g(x)min＝
课堂小结
本课堂需掌握的三个问题：
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．3.2.2
奇偶性
第一课时
函数的奇偶性
奇偶性
定 义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
?易误提醒
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．
?必记结论
1．函数奇偶性的几个重要结论：
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．有关对称性的结论：
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．
若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[自测练习]
1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
答案：C
2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－
B.
C．2
D．－2
解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝，故选B.
答案：B
3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
答案：0
[自测练习]
4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.
解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，
∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.
答案：－
考点一 函数奇偶性的判断|
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
解：(1)由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，
则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
函数奇偶性的判定的三种常用方法
1．定义法：
2．图象法：
3．性质法：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
探究一 利用单调性、奇偶性求解不等式
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x－1|，解得答案：A
2.构造法在函数奇偶性中的应用
【典例】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．
[解析] 易知f(x)＝1＋.
设g(x)＝f(x)－1＝，
则g(x)是奇函数．
∵f(x)的最大值为M，最小值为m，
∴g(x)的最大值为M－1，最小值为m－1，
∴M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.
[答案] 2
[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．
[跟踪练习] 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8知f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，
令F(x)＝f(x)＋8可知F(x)为奇函数，
∴F(－x)＋F(x)＝0.
∴F(－2)＋F(2)＝0，故f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0.
∴f(2)＝－26.
答案：A
A组 考点能力演练
1．(2015·陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( )
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：f(x)在R上为奇函数?f(0)＝0；f(0)＝0 f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.
答案：A
2．(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．2log2
解析：由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.
答案：A
3．在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当0015)＝( )
A．－2
B．2
C．－
D.
解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数的周期为3，所以f(2
015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.
答案：A
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为( )
A．{x|－11}
B．{x|x<－1，或0C．{x|x<－1，或x>1}
D．{x|－1解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，
∴f(－1)＝0，
从而有函数f(x)的图象如图所示：
则有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为
{x|－1答案：D
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2
017)＝________.
解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2
017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2
017)＝f(2)＝1.
答案：1
6．函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.
解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.
答案：－1
7．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以18．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．
解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.
又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，
若f<0＝f(1)，∴
即0f<0＝f(－1)，∴
∴x<－1，解得x∈?.
∴原不等式的解集是
.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
答案：C
2．．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝
B．y＝x＋
C．y＝2x＋
D．y＝x＋ex
解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D
3．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．aC．cD．c解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2|x|－1，当x∈[0，＋∞)时，f(x)
＝2x－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0答案：C
4．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.
答案：A
PAGE3.2.1
函数的最大（小）值（第二课时）
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1）
（2）
（3）
（4）
二、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)
=
M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum
Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum
Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)
=
M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1．
旅
馆
定
价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例2．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：在与内都为减函数，题中要求
在[2，6]内的最大值与最小值，
则当取得最大值，
当取得最小值．
例3：如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
解：矩形的一边长为x,则另一边的长度为则，则矩形的面积为，即
一、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取
值
→
作
差
→
变
形
→
定
号
→
下结论
二、作业布置
提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45
km/h和15
km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
25
A
B
C
D
PAGE第三章函数的概念与性质
3.2函数的基本性质
3.2.1单调性与最大（小）值
【素养目标】
1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象)
2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象)
3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析)
4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理)
5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析)
【学法解读】
1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．
2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．
3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．
第1课时 函数的单调性
必备知识·探新知
基础知识
知识点1：函数的单调性
思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？
提示：不能，不能用特殊代替一般．
知识点2：
函数的单调性与单调区间
函数在上是单调递增或单调递减，则函数在区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．
思考2：区间一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念．
基础自测
1.函数在区间上是减函数，，且，则有（
）
A．
B．
C．
D．以上都有可能
答案：B
解答：
因为函数在上是减函数，且，所以，故选B．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－xB．C．y＝
D．
[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．
3．若定义在R上的函数对任意两个不相等的实数，总有成立，则必有( )
A．在R上是增函数
B．在R上是减函数
C．函数是先增后减
D．函数是先减后增
[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数，总有成立，则在R上是增函数，故选A．
4．已知函数是区间(0，＋∞)上的减函数，那么与的大小关系为_________.
[解析] ，
又∵在区间(0，＋∞)上为减函数，
∴．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求函数的单调区间
例1如图为函数，∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
[分析] (1)函数在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
[归纳提升] 函数单调区间的求法及表示方法
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．
(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
【对点练习】?据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．
题型二 用定义法证明函数的单调性
例2
利用单调性定义证明：函数在其定义域内是增函数．
[分析] 由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明．
[证明] 函数的定义域是，
设?且，
则
因为，且，
所以，.
所以．
即函数在定义域上是增函数．
[归纳提升] 函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”．当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法．解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化．从形式上看是由“－”变成“＋”．
【对点练习】?
(1)用函数单调性定义证明：函数在上是单调减函数；
(2)用函数单调性定义证明：函数在上为增函数．
[证明] (1)设，则
∵，
∴，，
∴，即，
∴在上是减函数．
(2)设，
则，，，
，
∴，
∴函数在上为增函数．
题型三 单调性的应用
例3已知函数是定义在R上的增函数，且，求实数的取值范围．
[分析] 根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．
[解析] ∵函数是定义在R上的增函数，且，
∴，
∴，
∴实数的取值范围是．
[归纳提升] 利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
【对点练习】?
已知函数是定义在R上为增函数，且，求实数的取值范围．
[解析] ∵在R上为增函数，且，
∴，∴，即所求的取值范围为．3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
【素养目标】
1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．(数学抽象)
2．尝试作图并从图象上获取有用的信息．(直观想象)
3．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学建模)
4．掌握求函数解析式的常见方法．(数学运算)
5．能根据给出的分段函数，研究有关性质．(数据分析)
【学法解读】
1．函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，学生应从不同的侧面认识函数的本质．
2．学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，还要注意书写的规范．
第1课时 函数的表示法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法
(
图象
)以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用________表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法
(
表格
)列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出________来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
思考：三种表示法的优缺点分别是什么？
提示：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函数值
1.已知，则等于（）
A.
B.
C.
D.不确定
答案：
B
解析：
因为，所以.
2.已知函数的图象如图，则的定义域是（）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由图象，知，即.
3.如图，函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为，，，则的值等于.
答案：
解析：
据图象，知，所以.
4.已知函数，分别由下表给出：
则的值为；当时，.
答案：
解析：
由对应表，知，所以.
由对应表，得，所以.
由对应表，得当时，，
又，所以.
又由对应表，得时，.所以.
题型一 列表法表示函数
例1某商场新进了台彩电，每台售价元，试求售出台数与收款数之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
[分析]函数的定义域是，值域是，可直接列表、画图表示.分析题意得到表达与关系的解析式，注意定义域.
[解析]（1）列表法：
（2）图象法：如图所示：
（3）解析法：，.
[归纳提升] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域．
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
(3)图象法：是否连线．
【对点练习】①某种笔记本的单价是元，买个笔记本需要元，试用函数的三种表示法表示函数.
[解析]这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为，.
用列表法可将函数表示为
用图象发可将函数表示为如图.
题型二与函数图象有关的问题
例2
作出下列函数的图象并求出其值域.
（1），；（2），；
（3），.
[分析]
（1）画函数的图象时首先要注意的是什么？
（2）所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
[解析]
（1）列表：
当时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为.
（2）列表
当，图象是反比例函数的一部分，观察图象可知其值域为.
（3）列表
画图象，图象是抛物线在之间的部分.
由图可得函数的值域是.
[归纳提升]（1）常见函数图象的特征：
①一次函数是一条直线；
②是与坐标轴无限接近的双曲线；
③是顶点为，对称轴为的抛物线.
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
【对点练习】作出下列函数的图象，并指出其值域.
（1）；
（2），且.
[解析]
（1）用描点法可以作出函数的图象如图①.
由图可知的值域为.
（2）用描点法可以作出函数的图形如图②.
由图可知，且的值域为.
题型三求函数解析式
角度1
待定系数法求解析式
例3（1）（2020·湖北部分重点中学高一联考）已知一次函数满足，则的解析式为__.
（2）已知二次函数满足，，，则该二次函数的解析式为.
【分析】已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可.
【解析】（1）设，
则
，
于是有，解得或，
所以或.
（2）设二次函数的解析式为，
由题意得，解得，故.
角度2
换元法（或配凑法）求解析式
例4（1）（2020·广东六校教研协作体高一联考）已知，则的解析式为.
（2）（2020·湖北天门高-联考）已知函数，则的解析式为.
【分析】已知求有两种思路：一是将视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含的形式.
【解析】（1）方法一（换元法）令，则，。
所以，
所以函数的解析式为.
方法二(配凑法).
因为，所以函数的解析式为.
（2）方法一（换元法）两条，则，，
所以，即.
方法二(配凑法)因为，所以，即.
【归纳提升】函数解析式的求法
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法.
（2）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
（3）解方程组法：已知与或）之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出.
角度3
方程组法求函数解析式
例5（1）（2020·江西九校高一联考）已知函数满足，则函数的解析式为_.
（2）（2018·武汉四校高一联考）已知，其中，则函数的解析式为.
【分析】（1）求函数的解析式，由已知条件知，必修消去，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去得.
（2）类似于（1）的思路，利用与的关系，再列一个方程，通过方程组求解.
【解析】（1）在已知等式中，将换成，的，与已知方程联立，的，消去，的.
（2）在原式中用替换，的，
于是得，消去，得.
故的解析式为，.
[归纳提升]函数解析式的求法
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一-次函数、二次函数），可用待定系数法.
（2）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
（3）解方程组法：已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出.
【对点练习】（1）已知是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且，，则.
（2）①已知函数满足.求的解析式；
②已知函数的定义域为，且，求的解析式.
[解析]
（1）设，
∴，∴，∴.
（2）①设，则，
所以，所以.
②在中，用代替，得，
由，得.3.1.2
分段函数（第二课时）
【教学目标】
1．知识与技能
（1）掌握分段函数的定义
（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值
（3）会运用分段函数的知识解决实际问题
2．过程与方法
（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。
（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。
3．情感、态度与价值观
培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。
【教学重点、难点】
（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题
（2）难点：建立实际问题的分段函数关系
【教学方法】
讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习函数的定义及表示方法
1、函数的定义
2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法
二、基础知识
分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.
思考：分段函数对于自变量的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）
三、基础自测?
1.函数的定义域为（
）
A.
B.
C.
D.
[解析]:由函数解析式得，解得，且.
故函数的定义域为，选A.
2.若，则（
）
A.
B.
C.
D.
[解析]:∵，∴，
又，∴，选C.
3.函数的图象是（
）
[解析]:因为，所以B选项正确.
4.（2020?江苏徐州高一期中测试）已知函数，则的值为
.
[解析]:∵，
∴，
∴.
【题型探究】
题型一
分段函数的求值问题
例1
已知函数.
（1）求；
（2）若，求的值.
[分析]:分段函数的解析式求函数值或已知函数值列方程求字母的值.
[解析]:（1），
，
；
（2）当时，，可得，不符合题意；
当时，，可得，不符合题意；
当时，，可得，符合题意；
综上可知，.
[归纳提升]：求分段函数函数值的方法
（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现的形式时，应从内到外依次求值.
【对点练习】①已知，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
[解析]:
.故选A.
题型二
分段函数的图象及应用
例2
已知函数.
（1）用分段函数的形式表示函数；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的值域.
[分析]:
先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.
[解析]:（1）当时，；
当时，.
所以；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（2）知，在上的值域为.
[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.
（2）设函数式：设出函数的解析式.
（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.
（4）下结论：最后用“”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.
2.作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.
【对点练习】②
已知函数.
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的值.
[解析]:（1）函数图象如图所示：
（2）由和函数图象综合判断可知，当时，得，
解得；
当时，得，
解得或（舍去）.
综上可知的值为或.
题型三
分段函数的应用问题
例3
如图，在边长为的正方形的边上有一点，沿折线由点（起点）向点（终点）运动，设点运动的路程为，的面积为.
（1）求关于的函数关系式：
（2）画出的图象；
（3）若的面积不小于，求的取值范围.
[分析]:（1）点位置不同的形状一样吗？
（2）注意该函数的定义域.
[解析]:（1）；
（2）的图象如图所示：
（3）即，当时，，
∴，当时，，
∴，∴的取值范围是.
[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略
（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．
（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．
（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
【对点练习】③某市有两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，俱乐部每块场地每小时收费元；俱乐部按月计费，一个月中小时以内（含小时）每块场地收费元，超过小时的部分，每块场地每小时元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于小时，也不超过小时．
（1）设在俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为元，在俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元，试求与的解析式；
（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
[解析]:（1）由题，
；
（2）时，，解得：，即当时，，
当时，，当时，．
当时，，故当时，选家俱乐部合算．
当时，两家俱乐部一样合算，当时，选家俱乐部合算．
【误区警示】
分段函数概念的理解错误
例4
求函数的定义域．
[错解]:∵时，，时，，
∴当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数
是两个函数．
[正解]：函数的定义域为，即，∴函数的定义域为．
【学科素养】
建模应用能力
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
例5
某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为元，每生产一件新样式单车需要增加投入元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数，其中，是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．
（1）试将自行车厂的利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为元，可变成本为元．
[解析]:（1）依题设，总成本为，
则；
（2）当时，，
则当时，.
当时，是减函数，则.
综上可知，当月产量件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为元．
[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．
PAGE3.1.1
函数的概念（一）
1.函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．
2.本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解的含义，学生要加深理解．
课程目标
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则.
2.掌握判定函数和函数相等的方法.
3.学会求函数的定义域与函数值.
素养目标
1.通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)
2.了解构成函数的三要素.(数学抽象)
3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.(直观想象)
4.理解同一个函数的概念.(数学抽象)
5.能判断两个函数是否是同一个函数.(逻辑推理)
重点：函数的概念，函数的三要素.
难点：函数概念及符号的理解.
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
一、情景导入
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？
要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察，研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本页，思考并完成以下问题:
1.在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？
2.如何用区间表示数集？
3.相等函数是指什么样的函数？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.
三、新知探究
知识点1．函数的概念
定义
设、是非空的__________，如果对于集合中的_______________，按照某种确定的对应关系，在集合中都有____________的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，
三要素
对应
关系
，
定义域
_____的取值集合
值域
与的值相对应的的值的集合.
思考1：（1）对应关系一定是解析式吗？
（2）与有何区别与联系？
知识点2．区间及有关概念
（1）一般区间的表示．
设，且，规定如下：
（2）特殊区间的表示．
思考2：
（1）区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
（2）“”是数吗？以“”或“”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？
基础自测
1．区间表示的集合是（
）
A．或
B．
C．
D．
2．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的定义域是.
4．已知，.
（1）求，的值；
（2）求的值；
（3）求的解析式．
四、题型探究
题型一
函数概念的理解
例1（1）下列对应或关系式中是到的函数的是（
）
A．，，
B．，，对应关系如图：
C．，，
D．，，
（2）设，，函数的定义域为，值域为，对于下列四个图象，不可作为函数的图象的是（
）
A.
B.
C.
D.
[归纳提升]
1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即，必须是非空数集；中任何一个元素在中必须有元素与其对应；中任一元素在中必有唯一元素与其对应．
2.函数的定义中“任一”与“有唯一确定的”说明函数中两变量，的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
【对点练习】?
下列对应是否为到的函数：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
题型二
求函数的定义域
例2.求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
[归纳提升]
求函数的定义域：
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为；②偶次根式的被开方数非负；③要求.
（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接．
【对点练习】?
(2020·吉林乾安七中高一期末测试)函数的定义域是（
）
A．B．C．D．
题型三 求函数值
例3.(2019·安徽合肥高一期末测试)已知，.
（1）求，，，的值；
（2）求的值．
【对点练习】?
已知函数，则.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、作业
课本页练习、页
本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，要根据特殊函数的规律总结一般规律.3.1.1
函数的概念(二)
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.
对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.
高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.
学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
课程目标
学科素养
能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数会求函数的定义域会求函数的值域
1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；
2.教学难点：求函数的值域。
多媒体
复习回顾，温故知新1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)
x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{
f(x)|
x∈A
}叫做函数的值域.2.对函数符号y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，
f(x)不是f与x相乘。例如：y=3x+1可以写成f(x)=
3x+1。当x=2时y=7可以写成f(2)=7想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，
如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；二、探索新知探究一
同一个函数前提条件定义域相同对应关系完全一样结论是同一个函数思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．探索二
常见函数的定义域和值域
思考2：求二次函数的值域时为什么分和两种情况？提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y|y≤}．例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( )(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．( )[解析] (1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．例2
(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．例3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )A．{－2,0,4}
B．{－2,0,2,4}C．{y|y≤－}
D．{y|0≤y≤3}例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )A．{y|－1≤y≤1}
B．RC．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．关键能力·攻重难题型一
函数的值域1、函数的值域是( )A．(－3,0] B．(－3,1]
C．[0,1]
D．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．[解析] 由，可知当x＝2时，；当x＝0时，，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．题型二
同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y＝与y＝1；(2)y＝与y＝x；(3)y＝·与y＝.[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．[解析] (1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．题型三 复合函数、抽象函数的定义域3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为______________.(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．[解析] (1)由－1<2x＋1<2，得－1B．1C．2
D．3[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．[正解] 图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．学科素养求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法求函数y＝的值域．[分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．[解析] ∵y＝＝＝3＋，又∵≠0，∴y≠3.∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．[归纳提升] 求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．2．配方法求函数的值域[解析] ∵，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且；当x＝－2时，y取最大值，且.故的值域是[－12,3]．[归纳提升] 遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．3．换元法求函数y＝x＋的值域．[分析] 忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．[解析] 设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．[归纳提升] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
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