4.2.5 正态分布
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．(重点)2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(重点)3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(难点)
1．通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养．2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X～N(μ，σ2)在某一区间内取值的概率，提升数学建模、数学运算的素养．
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)X～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1
000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7
cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
[提示] 不合格．(由本节所学知识解答)．
知识点1 正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地，函数φμ，σ(x)＝e－对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝．
(2)正态曲线的性质
①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
1．正态曲线函数f(x)＝eeq
\s\up12()，x∈R，其中μ＞0的图像是下图中的( )
A B
C D
D [因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝μ对称，又μ＞0，故选D．]
知识点2 正态分布
(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%．
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%．
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%．
1．如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系？
[提示] P(x≤μ)＝P(x≥μ)＝．
2．如果ξ～N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么P(2≤ξ≤4)为( )
A．0.5
B．0.683
C．0.954
D．0.997
B [∵ξ～N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，∴ξ～N(3,1)，∴P(2≤ξ≤4)＝P(3－1≤ξ≤3＋1)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683．]
知识点3 标准正态分布
(1)定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)．
(2)概率计算方法：
如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．
特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1．
2．正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？
[提示] 借助X＝实现转换．
3．若随机变量X～N(0,1)，则P(x＜0)＝________．
[由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x＜0)＝．]
类型1 利用正态分布的对称性求概率
【例1】 设X～N(10,1)．
(1)求证：P(1
(2)若P(X≤2)＝a，求P(10[解] (1)证明：∵X～N(10,1)，
∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，
而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，
即P(1(2)∵P(X≤2)＋P(2∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，
P(2∴2a＋2P(10即P(10充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.
?1?熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.
?2?P?XP?X<μ－a?＝P?X>μ＋a?.
1．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝( )
A．0.477
B．0.625
C．0.954
D．0.977
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于( )
A．a
B．1－a
C．2a
D．1－2a
(1)C (2)B [(1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954．
(2)对称轴x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a．]
类型2 “3σ原则”的应用
【例2】 (对接教材P91例3)某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？
[思路点拨] 由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间[100－2,100＋2]，即[98,102]内的概率为68.3%，在区间[96,104]内的概率为95.4%，在区间[94,106]内的概率为99.7%，所以据此可以判断结论．
[解] 由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间[100－3×2,100＋3×2]，即[94,106]内的概率为99.7%，而在这个区间外的概率仅为0.3%，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N?μ，σ2?.②确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内.③作出判断：如果a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设.如果a?[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设.
2．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022
5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9
mm和7.5
mm，则可认为( )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C [根据3σ原则，在[8－3×0.15,8＋3×0.15]即[7.55,8.45]之外时为异常．结合已知，可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．]
类型3 标准正态分布及其应用
1．若随机变量ξ～N(0,1)，且Φ(a)＝m，则Φ(－a)等于多少？
[提示] 由Φ(a)＋Φ(－a)＝1，得Φ(－a)＝1－Φ(a)＝1－m．
2．如果Y～N(μ，σ2)，令X＝，试证明X～N(0,1)．
[提示] ∵E(X)＝＝＝＝0，
D(X)＝＝＝＝1，
∴X＝～N(0,1)．
【例3】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．
(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)
x0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
0.8849
0.8869
0.888
0.89077
0.8925
.8944
.8962
0.8980
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9278
0.9292
0.9306
0.9316
1.9
0.97713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9762
0.9767
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2.1
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
[思路点拨] (1)先求出90分以上(含90分)的学生所占的百分比，再计算参赛学生的总数A；
(2)利用P(ξ≥x)＝，结合P(ξ＜x)＝Φ求解．
[解] (1)设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70,100)，所以～N(0,1)．
由条件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ＜90)
＝1－Φ＝1－Φ(2)＝1－0.977
2＝0.022
8．
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为≈526(人)．
(2)假定设奖的分数线为x分，则X～N(70,100)，故～N(0,1)．
又P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x)
＝1－Φ＝≈0.095
1．
即Φ≈0.904
9，查表得≈1.31，
解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83分．
1．任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布．
即：如果X～N(μ，σ2)，则Z＝～N(0,1)．
2．Φ(a)＝P(x＜a)即标准正态曲线与x轴在区间(－∞，a)上的概率，解题时要熟记该要点．
3．已知某地农村务工人员年平均收入服从μ＝8
000，σ＝500的正态分布．
(1)求此地农村务工人员年平均收入在8
000～8
500元之间的人数所占的百分比；
(2)如果要使此地农村务工人员年平均收入在(μ－a，μ＋a)内的概率不少于0.95，则a至少有多大？
[解] 设X表示此地农村务工人员年平均收入，
则X～N(8
000,5002)．
(1)P(8
000＜X＜8
500)
＝Φ－Φ
＝Φ(1)－Φ(0)
＝0.841
3－0.5
＝0.341
3．
即此地农村务工人员年平均收入在8
000～8
500元之间的人数所占的百分比为34.13%．
(2)∵P(μ－a＜X＜μ＋a)
＝Φ－Φ
＝2Φ－1≥0.95，
∴Φ≥0.975，查表得≥1.96．
∴a≥980，
即a的值至少为980．
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
A [根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A．]
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
C [∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2．∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3．故选C．]
3．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________．
4.6% [属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1－95.4%＝4.6%．]
4．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，在某项测量中，已知ξ在(－∞，－1.96]内取值的概率为0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝________．
0.95 [法一：∵ξ～N(0,1)，
∴P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)
＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950．
法二：因为曲线的对称轴是直线x＝0，
所以由图知P(ξ＞1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，
∴P(|ξ|＜1.96)＝
1－0.025－0.025＝0.950．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何理解正态曲线的性质？
[提示] 性质(1)说明函数φ(x)在x＝μ时取得最大值，且正态曲线都是单峰的．由性质(1)和(3)可以看出σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图所示．μ一定时，曲线的形状由σ确定，如图所示．
2．在利用正态分布的3σ原则解决实际问题时，你对小概率事件是如何理解的？
[提示] (1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；
(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能．
(教师用书独具)
车间供电问题
某车间有200台车床，由于检修、测量、调换刀具等种种原因，即使在生产期间，各台车床还是时常需要停工，若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床开动时需要耗电1千瓦，那么应该供给这个车间多少电力才能保证此车间正常生产？显然，若供给这个车间200千瓦的电力则此车间便能正常生产．但这样做很不划算，因为每台车床的开工率只有60%，也就是说，平均起来这个车间中同时工作的车床只有120台，供给200千瓦的电力太多了．那么供给120千瓦的电力呢？这又太少了点，因为有时同时工作的车床数会超过120台，则120千瓦的电能就不够用，因而导致一些车床无法工作，那么到底给多少电能才能既保证生产正常又节约电力呢？事实上供给这个车间141千瓦的电就够了，虽然在这时也可能碰到因电力不足导致部分车床无法运转的情况，但是这种机会非常小，小于千分之一，也就是说在8小时的工作中只有30秒钟会碰到这种情况，这显然影响不大，但是节约出来的59千瓦电能却可以用于很多别的用途．这里的计算涉及到统计学中的中心极限定理和正态分布．怎么样，现在你是不是觉得统计学还是蛮有意思的呢？
PAGE第2课时 离散型随机变量的方差
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(重点)2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．(重点)3．会用方差解决一些实际问题．(难点)
1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养．2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学建模、数学运算的素养．
山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示．
甲的环数
8
9
10
P
0.2
0.6
0.2
乙的环数
8
9
10
P
0.3
0.4
0.3
问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？
[提示] 甲参加全运会更好一些．
知识点1 离散型随机变量的方差与标准差
(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差．
(2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．
(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)．
1．随机变量的方差和样本方差之间有何关系？
[提示] (1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；
(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
1．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C [因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C．]
知识点2 两点分布及二项分布的方差
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
2．两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系．
[提示] 由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差．
2．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________．
1 [∵ξ～B，∴D(ξ)＝4××＝1．]
类型1 离散型随机变量的方差
【例1】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
[思路点拨] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．
(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．
[解] (1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5．
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75．
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．
又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
∴或即为所求．
1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤
↓
↓
↓
↓
2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
1．(1)已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)＝，则D(X)等于( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知X的分布列如下．
X
－1
0
1
P
a
①求X2的分布列；
②计算X的方差；
③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
(1)B [由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝×＋2×＋2×＝．]
(2)[解] ①由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
②由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－．故X的方差D(X)＝2×＋×＋2×＝．
③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2，
D(Y)＝16D(X)＝11．
类型2 两点分布、二项分布的方差
【例2】 (对接教材P85例4)某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的5G芯片进行检测．若每块芯片的生产成本为1
000元，一级品每个芯片可卖1
500元，二级品每个芯片可卖900元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100个5G芯片的柱状图如图所示(用样本的频率代替概率)．
(1)若该生产线每天生产2000个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值；
(2)若从出厂的所有5G芯片中随机取出3个，求其中二级品5G芯片个数X的分布列、期望与方差．
[解] (1)该生产线每天利润的平均值
＝20×(70×500－20×100－10×1
000)＝460
000元．
(2)由题意得X～B，
P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝．
其分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝np＝3×＝．
D(X)＝np(1－p)＝3××＝．
1．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
2．如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
2．(1)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m
B．2m(1－m)
C．m(m－1)
D．m(1－m)
(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，则p＝________．
(1)D (2)或 [(1)随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－m
m
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m．
∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
(2)∵X～B(3，p)，
∴D(X)＝3p(1－p)，
由3p(1－p)＝，得p＝或p＝．]
类型3 期望、方差的综合应用
1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表．
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试求E(X1)，E(X2)．
[提示] E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44．
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44．
2．在问题1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)．
3．在问题1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2．
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
[思路点拨] (1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．
[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1．
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2．
所以ξ，η的分布列如下表所示．
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21．
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．
3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
[解] 甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4．由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
B [∵D(X甲)>D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．]
2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6
B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
B [由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6．]
3．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为( )
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
ACD [因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD．]
4．已知随机变量X，且D(10X)＝，则X的标准差为________．
[由题意可知D(10X)＝，
即100D(X)＝，∴D(X)＝，
∴＝．即X的标准差为．]
5．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________．
[由题意知X～B，所以D(X)＝4××＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．求离散型随机变量的方差的常见类型及解决方法有哪些？
[提示] (1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，
①求均值；②求方差．
(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，
①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．
(4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
2．解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点是什么？
[提示] (1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．
(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．
PAGE4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养．2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养．
某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
[提示] 可对混合糖果定价为18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．
知识点1 均值或数学期望
(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．
(2)意义：它刻画了X的平均取值．
(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，
则E(Y)＝aE(X)＋b．
拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系
加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn．因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)．
故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn．
1．若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则E(X)＝( )
A．0
B．－1
C．－
D．－
C [E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－＋＝－．故选C．]
2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________．
35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35．]
知识点2 两点分布、二项分布及超几何分布的均值
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p．
(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；
(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝．
3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________．
[E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝．]
类型1 常见离散型随机变量的数学期望
【例1】 (1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．2
(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则
①投篮1次时命中次数X的数学期望为________；
②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________．
(1)A (2)①0.6 ②3 [(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7,2，x),
E(ξ)＝＝，∴x＝3．故选A．
(2)①投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6．
②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3．]
常见的三种分布的均值
1．设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np．
2．超几何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)．
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
1．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
(2)设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C··
(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________．
(1)0.8 (2)100 [(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．
(2)由P(X＝k)＝C··，
可知X～B，∴E(X)＝300×＝100．]
类型2 离散型随机变量均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
P
m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________．
[由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝．]
(变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．
[解] E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
所以a＝15．
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出E?X?，再利用公式E?aX＋b?＝aE?X?＋b求E?ξ?.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E?ξ?.
2．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A． B．
C． D．
A [因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12＋7＝34．
所以2m＋3n＝，
①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，
②
由①②可解得m＝．]
类型3 离散型随机变量的均值
【例3】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．
[思路点拨] (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．
[解] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－
＝1－＝．
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝．
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．
离散型随机变量ξ的数学期望的步骤
(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值．
(2)求出ξ的每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)利用定义求出数学期望．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．
3．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望．
[解] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝．
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝．
类型4 离散型随机变量的均值实际应用
1．如果某篮球运动员的罚球命中率为0.7，则其罚球10次大约能命中几个球？
[提示] 10×0.7＝7个球．
2．在实际问题中，为什么用样本均值来估计总体均值？
[提示] 随机变量总体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随样本的不同而变化，但当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体的均值，故我们常用样本均值估计总体均值．
【例4】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X．
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[思路点拨]
[解] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2．
P(X＝6)＝＝0.63，
P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02．
故X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．
1．实际问题中的期望问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
4．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
[解] (1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35，
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25．
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35．
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65．
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×
0．35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是( )
A．0.83
B．0.8
C．2.4
D．3
C [E(X)＝3×0.8＝2.4．]
2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是( )
A．n
B．(n－1)
C．
D．(n＋1)
C [∵抽到的次品数X～H(N，n，M)，
∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝．]
3．一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元．已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A．39元
B．37元
C．20元
D．元
B [设这台机器生产一件产品获利ξ元．易知随机变量ξ的分布列为
ξ
50
30
－20
P
0.6
0.3
0.1
∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37．]
4．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
0.4 [依题意得
即解得y＝0.4．]
5．已知E(X)＝，且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a＝________．
－3 [∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，∴a＝－3．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何理解离散型随机变量的均值？
[提示] (1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
(3)由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位．
2．随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？
[提示] 随机变量的均值是常数，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值．
PAGE第2课时 超几何分布
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解超几何分布的概念．(重点)2．理解超几何分布与二项分布的关系．(难点、易错点)3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点)
1．通过学习超几何分布，体会数学建模、数学抽象的素养．2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养．
在新型肺炎期间，某市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？
[提示] P＝＋＋＋…＋．
知识点 超几何分布
(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，
这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．
(2)记法：X～H(N，n，M)．
(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．
X
0
1
…
k
…
s
P
…
…
拓展：对超几何分布的理解
(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；
(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；
(3)其概率计算可结合古典概型求得．
1．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示( )
A．5件产品中有3件次品的概率
B．5件产品中有2件次品的概率
C．5件产品中有2件正品的概率
D．5件产品中至少有2件次品的概率
B [根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B．]
2．(对接教材P80练习BT2)高二·一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X,
则X～________．
H(50,5,15) [由超几何分布的定义可知，X～H(50,5,15)．]
类型1 超几何分布的辨析
【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
[解] (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)
①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；
②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X．
①② [根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]
类型2 超几何分布的概率及其分布列
【例2】 (对接教材P77例4)袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
[思路点拨]
[解] (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8．
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝．
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝．
求超几何分布的分布列的步骤
2．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
[解] 设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11．
P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，
P(X＝11)＝＝．
故X的分布列为
X
3
7
11
P
类型3 超几何分布与二项分布间的联系
1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？
[提示] 超几何分布适合解决一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？
[提示] 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
[思路点拨] (1)结合频率分布直方图求解(1)；
(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列；
(3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解．
[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40,2,12)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝．
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C
，
所以P(Y＝0)＝C·＝，
P(Y＝1)＝C··＝，
P(Y＝2)＝C·＝．
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
区别
①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布，如本例(3)
3．100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列．
[解] 任取一件得到次品的概率为＝0.1，有放回地取出5件，相当于5次独立重复试验，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.590
49
0.328
05
0.072
9
0.008
1
0.000
45
0.000
01
1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )
A．
B． C．
D．
B [由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝．]
2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( )
A．
B．
C．
D．
C [设取出红球的个数为X，易知X～H(9,3,5)．
∴P(X＝2)＝＝，故选C．]
3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
B [由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布．]
4．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________．
，r＝0,1,2,3,4 [P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4．]
5．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．
ξ＝k
0
1
2
P(ξ＝k)
________
________
[由题意可知ξ～H(100,2,20)．
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．解决超几何分布问题的关键点是什么？
[提示] (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
2．超几何分布的概率求解中，怎样理解“s是M与n中的较小者”？
[提示] 在超几何分布中，确定X的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下：
注意：在超几何分布中，随机变量X的最大值s未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，s＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，s＝M．故X的最大值s是M与n中的较小者．同理，可推测t的取值规律．
PAGE4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解n次独立重复试验的模型．(重点)2．理解二项分布．(难点)3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学建模、数学抽象的素养．2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养．
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．
问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？
[提示] 如果采用三局两胜制，甲班获胜的概率为
P1＝0.6×0.6＋C×0.6×0.4×0.6＝0.648；
如果采用五局三胜制，甲班获胜的概率为
P2＝0.63＋C×0.62×0.4×0.6＋C×0.62×0.42×0.6＝0.68
256＞P1，所以五局三胜制对甲班更有利．
知识点1 n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
1．独立重复试验必须具备哪些条件？
[提示] (1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；
(2)各次试验结果互不影响；
(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．
辨析：区分独立重复试验与独立事件
(1)两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
(2)独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
1．判断下列试验是不是独立重复试验？
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中目标；
(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
[解] (1)由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
知识点2 二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，
因此X的分布列如下表所示．
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2．判断二项分布的关键点有哪些？
[提示] 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件．
①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一．
②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p．
③X的取值从0到n，中间不间断．
由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布．
2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22
B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.82×0.28
A [∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝8)＝C×0.88×0.22，故选A．]
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B．
①② [①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]
类型1 独立重复试验的概率
【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
[解] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意知，射击3次，相当于3次独立重复试验．
故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝．
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则
P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝．
由于甲、乙射击相互独立，故
P(A2B2)＝×＝．
1．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
[解] 记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则
P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为
P(A3B3)＝×＝．
2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．
[解] 记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C＝，P(B4)＝C＝，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝．
独立重复试验概率求法的三个步骤
1．某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B [由题意，得1－C×＞0.9，
即＜0.1．又n∈N
，故n≥4．]
类型2 二项分布
【例2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
[思路点拨] (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．
[解] (1)ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)
＝C
，k＝0,1,2,3,4,5．
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝．
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p．
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
[解] (1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“(A∩B)＋(∩)”，且事件A，B相互独立．
∴P((A∩B)＋(∩))＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝．
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B．
∴P(ξ＝k)＝C
＝C
(k＝0,1,2,3,4)．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
类型3 独立重复试验与二项分布的综合应用
1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
【例3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
[思路点拨] (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝．
(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
[解] (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
p(ξ＝0)＝C＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝C＝．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝C＝，
P(D)＝C＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)
＝＋＝＝．
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.
3．9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．
[解] 因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为＝，所以单个坑不需要补种的概率为1－＝．
设需要补种的坑数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，
P(X＝0)＝C××＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C××＝，
所以需要补种坑数的分布列为
X
0
1
2
3
P
1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A．
B．
C．
D．
A [记“恰有1次获得通过”为事件A，
则P(A)＝C·＝．故选A．]
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )
A．C×
B．C×
C．×
D．×
C [ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是×．]
3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝C＝．]
4．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．
[所有同学都不通过的概率为，故至少有一位同学通过的概率为1－＝．]
5．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
或 [P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，
即p2(1－p)2＝·，解得p＝或p＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．独立重复试验的基本特征有哪些？
[提示] (1)每次试验都在同样条件下进行．
(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．
(3)各次试验之间相互独立．
(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的．
2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义是什么？
[提示]
3．求二项分布的基本思路是什么？
[提示] (1)弄清在n次独立重复试验中n，p，k的值，即明确以下三点：
①共进行了多少次独立重复试验；
②在一次试验中事件A发生的概率是多少；
③事件A恰好发生了多少次．
(2)准确算出每一种情况下事件发生的概率．
(3)算出的结果要注意验证是否符合离散型随机变量的概率分布的两个性质．
(4)列出分布列．
PAGE4.2.2 离散型随机变量的分布列
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．(重点)2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．(重点)3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．(难点)
1．通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养．2．借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养．
人员的流动性给传播性疾病的确诊带来了一定的难度，而病毒核酸检验试剂盒的量产，大大缩短了疑似病人的确诊时间．
在某疑似病人的确诊中，令X＝
问题：如果检验成阳性的概率为P，你能写出随机变量X的分布列吗？
[提示]
X
1
0
P
p
1－p
知识点1 离散型随机变量的分布列
(1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．
离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
(2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中，图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图(2)中，xk上的线段长为pk．
图(1)
图(2)
(3)离散型随机变量的分布列必须满足：
①pk≥0，k＝1,2，…，n；
②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1．
1．如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？
[提示] 离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )
A．
ξ
1
0
1
P
B．
ξ
0
1
2
P
－
C．
ξ
0
1
2
P
D．
ξ
－1
0
1
P
D [本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，P(ξi)＝1．
A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－＜0；
C中P(ξi)＝＋＋＝＞1．]
2．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
2a
3a
5a
则a＝________，P(X≥1)＝________．
[由2a＋3a＋5a＝1得a＝．
∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．]
知识点2 两点分布
(1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式：
X
1
0
P
p
1－p
则称随机变量X服从参数为p的两点分布．
(2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．
2．如何判断一个分布是否为两点分布？
[提示] (1)看取值：随机变量只取两个值0和1．
(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．
3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________．
0.8 [由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，
∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8．]
类型1 分布列及其性质的应用
【例1】 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P．
[思路点拨] 先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，[解] (1)∵i＝＋＋＋＝1，∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝．
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＋＝．
利用分布列及其性质解题时要注意两个问题
1．X的各个取值表示的事件是互斥的．
2．不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n．
1．若随机变量X的概率分布如表所示，则表中的a的值为________，P(X≥3)＝________．
X
1
2
3
4
P
a
[由题意可知
＋＋＋a＝1，
∴a＝．
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．]
类型2 求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量y＝f(ξ)的分布列
【例2】 已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．
[解] 由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，所以η1的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率，即与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率，即与的和，所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f?ξ?的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列．
[解] 由η1＝－ξ＋，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相应的概率值为，，，，，．
故η1的分布列为
η1
－
－
－
P
由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3．
所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝，
P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝．
故η2的分布列为
η2
8
3
0
－1
P
借助排列、组合求离散型随机变量的分布列
【例3】 (对接教材P67例1)同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．
[思路点拨]
[解] 同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1,2,3,4,5,6，记(a，b)为两枚骰子朝上一面出现的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数，则可得出下表．
X
出现的点数
情况数
1
(1,1)
1
2
(2,2)，(2,1)，(1,2)
3
3
(3,3)，(3,2)，(3,1)，(2,3)，(1,3)
5
4
(4,4)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,4)，(2,4)，(1,4)
7
5
(5,5)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,5)，(3,5)，(2,5)，(1,5)
9
6
(6,6)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)，(5,6)，(4,6)，(3,6)，(2,6)，(1,6)
11
由古典概型可知X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2,3,4…，n)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi．
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
3．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
[解] 从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；
当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4．
则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝．
从而得到X的分布列：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
类型3 两点分布
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1．
【例4】 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
[思路点拨] X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
[解] 由题设可知X服从两点分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝．
∴X的分布列为
X
0
1
P
在两点分布中，只有两个对立的结果，知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率.
4．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝( )
A．0
B．
C．
D．
C [由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝．]
1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A．－0.2
B．0.2
C．0.1
D．－0.1
B [由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2．]
2．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
A [由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．
又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3．]
3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
A [选项A中随机变量X的可取值有6个，不服从两点分布．]
4．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
X
0
1
P
a
b
则a＝________，b＝________．
[X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝．]
5．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________．
[P(ξ>8)＝×8＝，
P(6<ξ≤14)＝×8＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．表示离散型随机变量分布列的常用形式有哪些？它们有何优、缺点？
[提示] 离散型随机变量的分布列和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、解析式或图像来表示．
用表格表示分布列的优点是能直观得到随机变量X取各个不同值的概率，缺点是当取值比较多时，不容易制作表格，也不容易从表中查取需要的概率，表格法是今后学习中主要使用的方法；
用解析式表示分布列的优点是能精确表达X取各个不同值的概率，便于应用数学工具对这些概率值进行分析，缺点是不直观；
用图像表示分布列的优点是能直观表现X取各个不同值的概率，缺点是不能精确表示这些概率．
2．如何由分布列求随机事件的概率？
[提示] 对于随机变量X来说，它的概率分布指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．由于随机变量各个可能值表示的事件是彼此互斥的，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
PAGE4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解随机变量的含义．(重点)2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)3．会借助随机变量间的关系解题．(易错点)
1．通过学习随机变量，培养数学抽象的素养．2．借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养．
姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
[提示] (1)投进零个球——0分；
(2)投进1个球——1分；
(3)投进2个球——2分；
(4)投进3个球——3分．
知识点1 随机变量
(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．
(2)表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．
(3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
随机变量的取值由什么决定？
[提示] 随机变量的取值由随机试验的结果决定．
提醒：随机变量实质上是把随机试验的结果数量化．随机试验的结果不一定是数，但它可以用数来表示．如投掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上．这样就建立其所有可能的试验结果与实数的一个对应关系．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．
( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．
( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．
( )
(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
知识点2 随机变量与事件的联系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝1．
2．(对接教材P65练习BT3)若P(X≤1)＝0.7，则P(X＞1)＝________．
0.3 [∵P(X≤1)＋P(X＞1)＝1，∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.7＝0.3．]
知识点3 随机变量的分类
(1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量．
(2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取值范围包含一个区间．
3．下列变量中，是离散型随机变量的是( )
A．到2020年10月1日止，我国发射的卫星
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
D [离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．]
知识点4 随机变量之间的关系
如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．
4．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
D [由于X是离散型随机变量且Y＝aX＋b，故Y与X成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量．]
类型1 随机变量的判断
【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)标准大气压下，水沸腾的温度；
(2)王老师在某天内接电话的次数；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64
cm3的正方体的棱长．
[解] (1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100
℃，是常量，故不是随机变量；
(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量；
(3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量；
(4)体积是64
cm3的正方体的棱长是4
cm，因此不是随机变量．
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ．
[解] (1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
类型2 随机变量的取值范围及其应用
随机变量有哪些基本特征？
[提示] 随机变量的三个特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断随机变量可能出现的所有值；
③在试验之前不能确定一次试验会出现哪一个结果，这就是“随机”的意义．
【例2】 写出下列随机变量的取值范围．
(1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；
(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(4)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．
[解] (1)ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．
(2)ξ的取值范围为{1,2,3,4,5,6}．
(3)ξ的取值范围为{3,4,5}．
(4)ξ的取值范围为[0,59.5]．
(变条件)本例(1)中，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写出张大爷获得补贴Y元与成活树苗ξ的关系，并指出Y的取值范围．
[解] 由题意可知Y＝5ξ，ξ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．
故Y的取值范围为{0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50}．
随机变量的取值范围类同于函数的值域，因此只要明确随机变量的取值同试验结果的对应关系，即可求出随机变量的取值范围.
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2，…，6
B．1,2，…，7
C．1,2，…，11
D．1,2,3，…，5
B [从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球．]
类型3 随机事件的关系及其应用
【例3】 (对接教材P64例2)某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1
h再获取15元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X
h，获取的税前月工资为Y元．
(1)当X＝100时，求Y的值；
(2)写出X与Y之间的关系式；
(3)若P(X≤120)＝0.8，求P(Y＞2
600)的值．
[解] (1)当X＝100时，表示工作了100个小时，所以Y＝100×15＋800＝2
300．
(2)根据题意有
Y＝15X＋800．
(3)因为X≤120，故15X＋800≤2
600，即Y≤2
600．
所以P(Y≤2
600)＝P(X≤120)＝0.8，
从而P(Y＞2
600)＝1－0.8＝0.2．
1．求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义．对于变量间的关系问题，可类比函数关系求解．
2．对立事件的概率和为1，常借助此关系求对立事件的概率．
3．某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1
500元，每工作1天再获取100元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X天，获取的税前月工资为Y元．
(1)当X＝25时，求Y的值；
(2)写出X与Y之间的关系式；
(3)若P(Y＞3
500)＝0.7，求P(X≤20)的值．
[解] (1)当X＝25时，Y＝25×100＋1
500＝4
000．
(2)由题意可知Y＝100X＋1
500．
(3)由Y＞3
500可知100X＋1
500＞3
500，即X＞20．
∴P(X＞20)＝P(Y＞3
500)＝0.7，
∴P(X≤20)＝1－0.7＝0.3．
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D [由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D．]
2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是( )
A第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
C [{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C．]
3．甲、乙两人下象棋，规定：每局获胜得3分，平局得1分，失败得0分．若甲、乙两人共下三局，用ξ表示甲的得分，则ξ＝3表示( )
A．甲胜三局
B．甲胜一局
C．甲、乙平局三次
D．甲胜一局或甲、乙平局三次
D [由于每局获胜得3分，平局得1分，失败得0分，故ξ＝3可表示3＋0＋0或者1＋1＋1两种情况，即甲胜一局或甲、乙平局三次，故选D．]
4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的取值范围是________．
{2,3,4,5,6,7,8,9,10} [由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10．]
5．甲进行3次射击，击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
0,1,2,3 [甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]
回顾本节内容，自我完成以下内容：
1．随机变量与函数有哪些相同点和不同点？
[提示]
随机变量
函数
相同点
都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点
把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果
把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
2．如何判断一个随机变量是不是离散型随机变量？
[提示] 判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体步骤如下：
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．
(2)由条件求解随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
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