三角形的外角和学案
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文档简介
三角形的外角和
第一课时(课本 62页—63页)
学习目的
1．使学生在操作活动中，探索三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2．利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形 的外角和。
3．使学生能熟练地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：三角形内角和定理
难点：三角形内角和定理的推理的过程
一、新知准备与自学：（学生自学教材并完成填空后互评）时间：5分钟
如图1中∠CBD是三角形的一个外角，内角 与它相邻，内角 、 与它不相邻。
二、探究合作、展示 ：（学生独立思考后小组交流师根据情况点拨）时间：15-20分钟
1、做一做
在一张白纸上画出如图所示的三角形，动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到
⑴把∠B、∠A剪下拼在一起，放到∠C处，看看会出现什么结果，与你的同伴交流一下，结果是否一样.
⑵ 剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到
图2
⑶把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。与你的同伴交流一下，结果是否一样.
2、如果我们不用剪拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
已知，说明，你有几种方法？
（提示：结合图（1）、图（2）、图（3）做辅助线是几何证明过程中常用到的方法。）
3、思考：由图1的实践发现：∠Ａ＋∠Ｂ＝ ∠ 由此还可得ACD A
归纳：由以上证明和思考 得：
三角形的内角和是
2、由此可知：三角形外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于 。
(2)三角形的一个外角大于 。
三 、 知识巩固应用。（学生独立完成后小组互评教师根据情况点拨）15-20分钟
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____,
若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____。
如图，在△ABC中∠C=60°，∠B=50°，AD是∠BAC的平分线，
则∠BAD= ∠DAC= , ∠ADB=_____。
3、(2001·天津)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,
∠AFD=158°, 则∠EDF=________度.
4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC的度数为________.
5、如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 .
6、（2010湖北十堰）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则
∠3= .
7、下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的外角等于它的内角和 B．三角形的外角大于和它不相邻的内角
C．三角形的外角大于任何一个内角 D．三角形的一个外角和内角互补
8.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60°
9.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
10、 如图D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上.
说明∠2>∠1．
三角形的外角和
第二课时 (课本 63页—64页)
学习目的
1、使学生在操作活动中，探索三角形的外角的两条性质和外角和定理。
2、能熟练灵活地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
难点：在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。
一、新知准备与自学：（学生自学教材并完成填空后互评）时间：5-10分钟
1．如图示填空：
（1）
（2），
(3)
2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢
二、探究合作、展示 ：（学生独立思考后小组交流师根据情况点拨）时间：15-20分钟
1、如图示：思考∠1＋∠2 ＋∠3 ＝
∵∠1＋______________=180°,
∠2+_______________=180°,
∠3+_______________=180°.
三式相加可以得到
∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1）
又∵ ∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°， （2）
∴∠1＋∠2＋∠3＝ °
结论：三角形的外角和是
例1、如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：
（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
解 （1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠ADC＝∠B＋∠ ＝80°
又 ∠B＝∠BAD（已知），
∴ ∠ ＝80°×＝40°（等量代换）.
（2）在△ABC中，∵∠B＋∠ ＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C＝180°－∠ －∠ （等式的性质）
＝180°－40°－70°＝70°
例2、如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.
例3、如图，△ABC中，∠A=500,∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACE平分线交于D，
求∠D的度数。
三 、 知识巩固应用。（学生独立完成后小组互评教师根据情况点拨）10-15分钟
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
3.如图1所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,
则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
4.如图2所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
5、如图4，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 .
6.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120°
7.如图3所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
(1) (2) （3） （4）
8、如右图，AC∥DE,BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°,∠E=50°,求∠D，∠A的度数.
9、 如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.
I
H
G
E
F
D
B
C
A
5题
l1
l2
l3
3
1
2
P
第一课时(课本 62页—63页)
学习目的
1．使学生在操作活动中，探索三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2．利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形 的外角和。
3．使学生能熟练地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：三角形内角和定理
难点：三角形内角和定理的推理的过程
一、新知准备与自学：（学生自学教材并完成填空后互评）时间：5分钟
如图1中∠CBD是三角形的一个外角，内角 与它相邻，内角 、 与它不相邻。
二、探究合作、展示 ：（学生独立思考后小组交流师根据情况点拨）时间：15-20分钟
1、做一做
在一张白纸上画出如图所示的三角形，动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到
⑴把∠B、∠A剪下拼在一起，放到∠C处，看看会出现什么结果，与你的同伴交流一下，结果是否一样.
⑵ 剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到
图2
⑶把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。与你的同伴交流一下，结果是否一样.
2、如果我们不用剪拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
已知，说明，你有几种方法？
（提示：结合图（1）、图（2）、图（3）做辅助线是几何证明过程中常用到的方法。）
3、思考：由图1的实践发现：∠Ａ＋∠Ｂ＝ ∠ 由此还可得ACD A
归纳：由以上证明和思考 得：
三角形的内角和是
2、由此可知：三角形外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于 。
(2)三角形的一个外角大于 。
三 、 知识巩固应用。（学生独立完成后小组互评教师根据情况点拨）15-20分钟
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____,
若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____。
如图，在△ABC中∠C=60°，∠B=50°，AD是∠BAC的平分线，
则∠BAD= ∠DAC= , ∠ADB=_____。
3、(2001·天津)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,
∠AFD=158°, 则∠EDF=________度.
4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC的度数为________.
5、如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 .
6、（2010湖北十堰）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则
∠3= .
7、下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的外角等于它的内角和 B．三角形的外角大于和它不相邻的内角
C．三角形的外角大于任何一个内角 D．三角形的一个外角和内角互补
8.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60°
9.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
10、 如图D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上.
说明∠2>∠1．
三角形的外角和
第二课时 (课本 63页—64页)
学习目的
1、使学生在操作活动中，探索三角形的外角的两条性质和外角和定理。
2、能熟练灵活地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
难点：在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。
一、新知准备与自学：（学生自学教材并完成填空后互评）时间：5-10分钟
1．如图示填空：
（1）
（2），
(3)
2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢
二、探究合作、展示 ：（学生独立思考后小组交流师根据情况点拨）时间：15-20分钟
1、如图示：思考∠1＋∠2 ＋∠3 ＝
∵∠1＋______________=180°,
∠2+_______________=180°,
∠3+_______________=180°.
三式相加可以得到
∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1）
又∵ ∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°， （2）
∴∠1＋∠2＋∠3＝ °
结论：三角形的外角和是
例1、如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：
（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
解 （1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠ADC＝∠B＋∠ ＝80°
又 ∠B＝∠BAD（已知），
∴ ∠ ＝80°×＝40°（等量代换）.
（2）在△ABC中，∵∠B＋∠ ＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C＝180°－∠ －∠ （等式的性质）
＝180°－40°－70°＝70°
例2、如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.
例3、如图，△ABC中，∠A=500,∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACE平分线交于D，
求∠D的度数。
三 、 知识巩固应用。（学生独立完成后小组互评教师根据情况点拨）10-15分钟
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
3.如图1所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,
则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
4.如图2所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
5、如图4，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 .
6.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120°
7.如图3所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
(1) (2) （3） （4）
8、如右图，AC∥DE,BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°,∠E=50°,求∠D，∠A的度数.
9、 如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.
I
H
G
E
F
D
B
C
A
5题
l1
l2
l3
3
1
2
P