2017年高考数学真题试卷（江苏卷）
一、填空题
1．（2017·江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ．
【答案】1
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，
∴a=1或a2+3=1，
解得a=1．
故答案为：1．
【分析】利用交集定义直接求解．
2．（2017·江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴|z|= = ．
故答案为： ．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
3．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
【答案】18
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为 = ，
则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，
故答案为：18
【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
4．（2017·江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为 ，则输出y的值是 ．
【答案】-2
【知识点】选择结构；程序框图
【解析】【解答】解：初始值x= ，不满足x≥1，
所以y=2+log2 =2﹣ =﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】直接模拟程序即得结论．
5．（2017·江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = =
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα= ，
故答案为： ．
【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
6．（2017·江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为： R3，
圆柱的体积为：πR2 2R=2πR3．
则 = = ．
故答案为： ．
【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
7．（2017·江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；几何概型
【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，
则D=[﹣2，3]，
则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，
故答案为：
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
8．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，
所以P（ ， ），Q（ ，﹣ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．
则四边形F1PF2Q的面积是： =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
9．（2017·江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3= ，S6= ，则a8= ．
【答案】32
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，
∵S3= ，S6= ，∴ = ， = ，
解得a1= ，q=2．
则a8= =32．
故答案为：32．
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得 = ， = ，联立解出即可得出．
10．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
【答案】30
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．
当且仅当x=30时取等号．
故答案为：30．
【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．
11．（2017·江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
【答案】[-1， ]
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法；基本不等式
【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为：
f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0，
可得f（x）在R上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤ ，
故答案为：[﹣1， ]．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
12．（2017·江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n= ．
【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由 与 的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα= ，sinα= ．
∴C ．
cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．
sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．
∴B ．
∵ =m +n （m，n∈R），
∴ =m﹣ n， =0+ n，
解得n= ，m= ．
则m+n=3．
故答案为：3．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos（α+45°）= ．sin（α+45°）= ．B ．利用 =m +n （m，n∈R），即可得出．
13．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．
【答案】[-5 ，1]
【知识点】平面向量的数量积运算；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，
=（﹣12﹣x0，﹣y0） （﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，
化为：12x0+6y0+30≤0，
即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，
联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1，
结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，
故答案为：[﹣5 ，1]．
【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
14．（2017·江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是 ．
【答案】8
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的周期性；对数函数的图象与性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；
故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，
故答案为：8
【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．
二、解答题
15．（2017·江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）AD⊥AC．
【答案】证明：（Ⅰ）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，所以FG⊥BC，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；
（Ⅱ）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．
16．（2017·江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]．
（Ⅰ）若 ∥ ，求x的值；
（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ，
∴﹣ cosx+3sinx=0，
∴tanx= ，
∵x∈[0，π]，
∴x= ，
（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ），
∵x∈[0，π]，
∴x+ ∈[ ， ]，
∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决，
（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
17．（2017·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）设P（x0，y0），则直线PF2的斜率 = ，
则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1），
直线PF1的斜率 = ，
则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1），
联立 ，解得： ，则Q（﹣x0， ），
由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1，
则 ，解得： ，则 ，
∵P在第一象限，所以P点的坐标为（ ， ）
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
18．（2017·江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，
又∵AC 平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴ = ， ，得AN=16cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，
∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，
EG≠E1G1，
∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得：E1E=40cm，
∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，
根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，
∴EN= = =20cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．
（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．
19．（2017·江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，
则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，
=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），
=2an+2an+2an，
=2×3an，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①
数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②
由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③
an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，
整理得：2an=an﹣1+an+1，
∴数列{an}是等差数列．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的应用；等差关系的确定；等差数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．
20．（2017·江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣ ．
由于当x＞﹣ 时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣ 时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣ ，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（﹣ ）=0，即﹣ + ﹣ +1=0，
所以b= + （a＞0）．
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，
所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣ + ＞0，解得a＞3，
所以b= + （a＞3）．
（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，
设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，
所以f（x1）+f（x2）= + +a（ + ）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2
= ﹣ +2，
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，
所以b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，
因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，
由于a＞3时2a2+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范围是（3，6]．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣ ，从而f（﹣ ）=0，整理可知b= + （a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为 ﹣ +2，进而问题转化为解不等式b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，因式分解即得结论．
21．（2017·江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC2 =AP AB．
【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，
∴ = ．
∴AC2 =AP AB．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；弦切角；与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
22．（2017·江苏）已知矩阵A= ，B= ．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）若曲线C1： =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．
【答案】解：（Ⅰ）AB= = ，
（Ⅱ）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，
点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），
则 = ，即x0=2y，y0=x，
∴x=y0，y= ，
∴ ，即x02+y02=8，
∴曲线C2的方程为x2+y2=8．
【知识点】矩阵变换的性质；矩阵与矩阵的乘法的意义
【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；
（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．
23．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
【答案】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P到直线l的距离d= = ，
∴当s= 时，d取得最小值 = ．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程；函数最值的应用
【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
24．（2017·江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
【答案】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．
因此ac+bd≤8．
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数的值域与最值；圆的参数方程；不等式的证明；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．
25．（2017·江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax 平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），
D（0，2，0），
A1（0，0， ），C1（ ）．
=（ ）， =（ ）， ， ．
（Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ．
∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ；
（Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取x= ，得 ；
取平面A1AD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标．
（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
26．（2017·江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
1 / 12017年高考数学真题试卷（江苏卷）
一、填空题
1．（2017·江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ．
2．（2017·江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．
3．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
4．（2017·江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为 ，则输出y的值是 ．
5．（2017·江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα= ．
6．（2017·江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的值是 ．
7．（2017·江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．
8．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．
9．（2017·江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3= ，S6= ，则a8= ．
10．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
11．（2017·江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
12．（2017·江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n= ．
13．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．
14．（2017·江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是 ．
二、解答题
15．（2017·江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）AD⊥AC．
16．（2017·江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]．
（Ⅰ）若 ∥ ，求x的值；
（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
17．（2017·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
18．（2017·江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
19．（2017·江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
20．（2017·江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求a的取值范围．
21．（2017·江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC2 =AP AB．
22．（2017·江苏）已知矩阵A= ，B= ．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）若曲线C1： =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．
23．（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
24．（2017·江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
25．（2017·江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
26．（2017·江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
答案解析部分
1．【答案】1
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，
∴a=1或a2+3=1，
解得a=1．
故答案为：1．
【分析】利用交集定义直接求解．
2．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴|z|= = ．
故答案为： ．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
3．【答案】18
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为 = ，
则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，
故答案为：18
【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
4．【答案】-2
【知识点】选择结构；程序框图
【解析】【解答】解：初始值x= ，不满足x≥1，
所以y=2+log2 =2﹣ =﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】直接模拟程序即得结论．
5．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = =
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα= ，
故答案为： ．
【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
6．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为： R3，
圆柱的体积为：πR2 2R=2πR3．
则 = = ．
故答案为： ．
【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
7．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法；几何概型
【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，
则D=[﹣2，3]，
则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，
故答案为：
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
8．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，
所以P（ ， ），Q（ ，﹣ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．
则四边形F1PF2Q的面积是： =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
9．【答案】32
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，
∵S3= ，S6= ，∴ = ， = ，
解得a1= ，q=2．
则a8= =32．
故答案为：32．
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得 = ， = ，联立解出即可得出．
10．【答案】30
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．
当且仅当x=30时取等号．
故答案为：30．
【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．
11．【答案】[-1， ]
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法；基本不等式
【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为：
f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0，
可得f（x）在R上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤ ，
故答案为：[﹣1， ]．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
12．【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由 与 的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα= ，sinα= ．
∴C ．
cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ．
sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ．
∴B ．
∵ =m +n （m，n∈R），
∴ =m﹣ n， =0+ n，
解得n= ，m= ．
则m+n=3．
故答案为：3．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos（α+45°）= ．sin（α+45°）= ．B ．利用 =m +n （m，n∈R），即可得出．
13．【答案】[-5 ，1]
【知识点】平面向量的数量积运算；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，
=（﹣12﹣x0，﹣y0） （﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，
化为：12x0+6y0+30≤0，
即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，
联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1，
结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，
故答案为：[﹣5 ，1]．
【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
14．【答案】8
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的周期性；对数函数的图象与性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；
故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，
故答案为：8
【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．
15．【答案】证明：（Ⅰ）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，所以FG⊥BC，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；
（Ⅱ）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．
16．【答案】解：（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ，
∴﹣ cosx+3sinx=0，
∴tanx= ，
∵x∈[0，π]，
∴x= ，
（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ），
∵x∈[0，π]，
∴x+ ∈[ ， ]，
∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决，
（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
17．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）设P（x0，y0），则直线PF2的斜率 = ，
则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1），
直线PF1的斜率 = ，
则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1），
联立 ，解得： ，则Q（﹣x0， ），
由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1，
则 ，解得： ，则 ，
∵P在第一象限，所以P点的坐标为（ ， ）
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
18．【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，
又∵AC 平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴ = ， ，得AN=16cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，
∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，
EG≠E1G1，
∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得：E1E=40cm，
∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，
根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，
∴EN= = =20cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．
（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．
19．【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，
则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，
=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），
=2an+2an+2an，
=2×3an，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①
数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②
由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③
an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，
整理得：2an=an﹣1+an+1，
∴数列{an}是等差数列．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的应用；等差关系的确定；等差数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．
20．【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣ ．
由于当x＞﹣ 时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣ 时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣ ，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（﹣ ）=0，即﹣ + ﹣ +1=0，
所以b= + （a＞0）．
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，
所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣ + ＞0，解得a＞3，
所以b= + （a＞3）．
（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，
设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，
所以f（x1）+f（x2）= + +a（ + ）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2
= ﹣ +2，
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，
所以b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，
因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，
由于a＞3时2a2+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范围是（3，6]．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣ ，从而f（﹣ ）=0，整理可知b= + （a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣ ）=b﹣ ，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为 ﹣ +2，进而问题转化为解不等式b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，因式分解即得结论．
21．【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，
∴ = ．
∴AC2 =AP AB．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；弦切角；与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
22．【答案】解：（Ⅰ）AB= = ，
（Ⅱ）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，
点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），
则 = ，即x0=2y，y0=x，
∴x=y0，y= ，
∴ ，即x02+y02=8，
∴曲线C2的方程为x2+y2=8．
【知识点】矩阵变换的性质；矩阵与矩阵的乘法的意义
【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；
（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．
23．【答案】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P到直线l的距离d= = ，
∴当s= 时，d取得最小值 = ．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程；函数最值的应用
【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
24．【答案】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．
因此ac+bd≤8．
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数的值域与最值；圆的参数方程；不等式的证明；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．
25．【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax 平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），
D（0，2，0），
A1（0，0， ），C1（ ）．
=（ ）， =（ ）， ， ．
（Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ．
∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ；
（Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取x= ，得 ；
取平面A1AD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标．
（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
26．【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
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