2017年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（2017·浙江）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
2．（2017·浙江）椭圆 + =1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（ ）
A．+1 B．+3 C．+1 D．+3
4．（2017·浙江）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）
5．（2017·浙江）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
6．（2017·浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2017·浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017·浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
9．（2017·浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
10．（2017·浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ，I2= ，I3= ，则（ ）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11．（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．
12．（2017·浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．
13．（2017·浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5= ．
14．（2017·浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
15．（2017·浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 ，最大值是 ．
16．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
17．（2017·浙江）已知a∈R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（2017·浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（2017·浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．（2017·浙江）已知函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数；
（Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围．
21．（2017·浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA| |PQ|的最大值．
22．（2017·浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，
那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．
故选：A.
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．
2．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，
所以椭圆的离心率为： = ．
故选：B．
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
3．【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1，
故选：A
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
4．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件
，化简得
表示的可行域如图：
由图可知，该可行域为以开放区域，目标函数z=x+2y经过点（2，1）时，函数取得最小值，最小值为4，无最大值，
所以目标函数的范围是[4，+∞）．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
5．【答案】B
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣ 为对称轴的抛物线，
①当﹣ ＞1或﹣ ＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，
函数f（x）在区间[0，1]上单调，
此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a|，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
②当 ≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，
函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）= ，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
③当0≤﹣ ＜ ，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）=a﹣ ，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
故选：B
【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵S4+S6＞2S5，
∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
故选：C
【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．
7．【答案】D
【知识点】函数的图象；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，
则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，
故选D
【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能
8．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜ ，
∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，
E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，
D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，
D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，
D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
9．【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），
Q ，R ，
= ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ，
= ．
设平面PDR的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，
可得 = ，取平面ABC的法向量 =（0，0，1）．
则cos = = ，取α=arccos ．
同理可得：β=arccos ．γ=arccos ．
∵ ＞ ＞ ．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．
设OP=h．
则cosα= = = ．
同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．
【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．
解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．可得cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．
10．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
∴AC=2 ，
∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，
∴0＞ ＞ ， ＞0，
即I3＜I1＜I2，
故选：C．
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
11．【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
12．【答案】5；2
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），
∴3+4i=a2﹣b2+2abi，
∴3=a2﹣b2，2ab=4，
解得ab=2， ， ．
则a2+b2=5，
故答案为：5，2．
【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．
13．【答案】16；4
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，
a4=3×4+1×4=16；
a5=1×4=4．
故答案为：16；4．
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．
14．【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE= BC=1，AE⊥BC，
∴AE= = ，
∴S△ABC= BC AE= ×2× = ，
∵BD=2，
∴S△BDC= S△ABC= ，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE中，
∵cos∠ABE= = ，
∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，
∴cos∠BDC= ，
故答案为： ，
【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC= S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
15．【答案】4；
【知识点】函数的最值及其几何意义；向量的模；三角函数的值域与最值；余弦定理
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |= ，
| ﹣ |= ，
令x= ，y= ，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，
所以zmax= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．
故答案为：4、 ．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
16．【答案】660
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
17．【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由题可知|x+ ﹣a|+a≤5，即|x+ ﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+ ≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，
所以2a﹣5≤4，解得a≤ ，
故答案为：（﹣∞， ]．
【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+ ≤5，进而计算可得结论．
18．【答案】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）
（Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：
x∈[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z．
【知识点】复合函数的单调性；简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值；三角函数的周期性；正弦函数的单调性
【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（ ）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
19．【答案】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC 平面EFC，∴EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，则AD=PC=2，∴PB=，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵E为PD的中点，∴E天平面PBC的距离为，在△PCD中，PC=2，CD=1，PD=，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ），
导数f′（x）=（1﹣ 2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x
=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x；
（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x，
可得f′（x）=0时，x=1或 ，
当 ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥ x2≥2x﹣1 （x﹣1）2≥0，
则f（x）≥0．
由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，
即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0．
则f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x＜1时，当1＜x＜ 时，当x＞ 时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（ ），f（1），f（ ），即可得到所求取值范围．
21．【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ，联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ），故 =（ ， ），又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA| |PQ|= = + =（1+k）3（k﹣1），所以|PA| |PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（ ）= ，即|PA| |PQ|的最大值为 ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面向量的数量积运算；斜率的计算公式；抛物线的应用；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论；
（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出 、 ，计算可知|PA| |PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
22．【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，
当n=1时，x1=1＞0，成立，
假设当n=k时成立，则xk＞0，
那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1，
∴xn≥ ，
由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，
∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2，
∴xn≤ ，
综上所述 ≤xn≤ ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
1 / 12017年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（2017·浙江）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，
那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．
故选：A.
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．
2．（2017·浙江）椭圆 + =1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，
所以椭圆的离心率为： = ．
故选：B．
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
3．（2017·浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（ ）
A．+1 B．+3 C．+1 D．+3
【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1，
故选：A
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
4．（2017·浙江）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件
，化简得
表示的可行域如图：
由图可知，该可行域为以开放区域，目标函数z=x+2y经过点（2，1）时，函数取得最小值，最小值为4，无最大值，
所以目标函数的范围是[4，+∞）．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
5．（2017·浙江）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣ 为对称轴的抛物线，
①当﹣ ＞1或﹣ ＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，
函数f（x）在区间[0，1]上单调，
此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a|，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
②当 ≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，
函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）= ，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
③当0≤﹣ ＜ ，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）=a﹣ ，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
故选：B
【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．
6．（2017·浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵S4+S6＞2S5，
∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
故选：C
【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．
7．（2017·浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，
则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，
故选D
【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能
8．（2017·浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜ ，
∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，
E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，
D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，
D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，
D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
9．（2017·浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），
Q ，R ，
= ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ，
= ．
设平面PDR的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，
可得 = ，取平面ABC的法向量 =（0，0，1）．
则cos = = ，取α=arccos ．
同理可得：β=arccos ．γ=arccos ．
∵ ＞ ＞ ．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．
设OP=h．
则cosα= = = ．
同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．
【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．
解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．可得cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．
10．（2017·浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ，I2= ，I3= ，则（ ）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
∴AC=2 ，
∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，
∴0＞ ＞ ， ＞0，
即I3＜I1＜I2，
故选：C．
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11．（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．
【答案】
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
12．（2017·浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．
【答案】5；2
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），
∴3+4i=a2﹣b2+2abi，
∴3=a2﹣b2，2ab=4，
解得ab=2， ， ．
则a2+b2=5，
故答案为：5，2．
【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．
13．（2017·浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5= ．
【答案】16；4
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，
a4=3×4+1×4=16；
a5=1×4=4．
故答案为：16；4．
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．
14．（2017·浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE= BC=1，AE⊥BC，
∴AE= = ，
∴S△ABC= BC AE= ×2× = ，
∵BD=2，
∴S△BDC= S△ABC= ，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE中，
∵cos∠ABE= = ，
∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，
∴cos∠BDC= ，
故答案为： ，
【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC= S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
15．（2017·浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】4；
【知识点】函数的最值及其几何意义；向量的模；三角函数的值域与最值；余弦定理
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |= ，
| ﹣ |= ，
令x= ，y= ，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，
所以zmax= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．
故答案为：4、 ．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
16．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
17．（2017·浙江）已知a∈R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是 ．
【答案】（﹣∞， ]
【知识点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由题可知|x+ ﹣a|+a≤5，即|x+ ﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+ ≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，
所以2a﹣5≤4，解得a≤ ，
故答案为：（﹣∞， ]．
【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+ ≤5，进而计算可得结论．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（2017·浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）
（Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：
x∈[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z．
【知识点】复合函数的单调性；简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值；三角函数的周期性；正弦函数的单调性
【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（ ）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
19．（2017·浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC 平面EFC，∴EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，则AD=PC=2，∴PB=，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵E为PD的中点，∴E天平面PBC的距离为，在△PCD中，PC=2，CD=1，PD=，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．（2017·浙江）已知函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数；
（Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ），
导数f′（x）=（1﹣ 2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x
=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x；
（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x，
可得f′（x）=0时，x=1或 ，
当 ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥ x2≥2x﹣1 （x﹣1）2≥0，
则f（x）≥0．
由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，
即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0．
则f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x＜1时，当1＜x＜ 时，当x＞ 时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（ ），f（1），f（ ），即可得到所求取值范围．
21．（2017·浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA| |PQ|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ，联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ），故 =（ ， ），又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA| |PQ|= = + =（1+k）3（k﹣1），所以|PA| |PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（ ）= ，即|PA| |PQ|的最大值为 ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面向量的数量积运算；斜率的计算公式；抛物线的应用；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论；
（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出 、 ，计算可知|PA| |PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
22．（2017·浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，
当n=1时，x1=1＞0，成立，
假设当n=k时成立，则xk＞0，
那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1，
∴xn≥ ，
由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，
∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2，
∴xn≤ ，
综上所述 ≤xn≤ ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
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