2.3.3点到直线 、两平行线间的距离公式课件-2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（17张PPT】）

2.3.3点到直线的距离
2.3.4两条平行直线间的距离
1、两点间距离公式
2、坐标法
第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。
复习
特别地，点P(x，y)与坐标原点的距离是
探究
已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离？
x
y
O
P
分析：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段的长度，其中Q是垂足，因此求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离。
解：因为PQ⊥l，l 的斜率为
所以直线PQ的方程为y-y0= (x-x0)
解方程组 得
于是
因此点P到直线l的距离为
可以验证A=0或B=0时，上述公式仍然成立
探究
已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离？
x
y
O
P
y-y0= (x-x0)
Ax+By+C=0
探究
已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离？
思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量的方法求点到直线的距离？
M(x,y)
x
y
O
P
P1
P2
n
解：点P到直线l的距离，就是 的模
设是直线l上任意一点M(x,y)，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则 是 在n上的投影向量
思考：如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？
探究
已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离？
M(x,y)
x
y
O
P
P1
P2
n
解：l的方向向量为m=(B,-A),与m垂直的向量为(A,B)
所以与l的方向向量垂直的单位向量n=
从而 ·n=(x-x0,y-y0)·
=
因为点M在直线上，所以Ax+By+C=0，所以Ax+By=-C，代入上式得
·n=
因此|PQ|= = ·n=
平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
分子是P点坐标代入直线方程
分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根
新知
例题
练习
课本P77 练习2
1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，2.利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.
3.当点P在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
归纳
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积
x
y
O
A
B
C
h
例题
解：设AB边上的高为h，则 ，
所以直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0
则点C到直线AB的距离为
故△ABC的面积为
还有其他方法吗？
例7 求平行直线l1:2x-7y-8=0和l2:6x-21y-1=0的距离。
解：直线l1与x轴的交点A的坐标为（4，0）
则两平行线的距离就是点A(4,0)到直线6x－ 21y-1=0的距离.
因此，d=
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
探究
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
O
y
x
l1: 2x-7y-8=0
l2:6x-21y-1=0
A(4,0)
例题
例8 求证：两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0 间的距离为
分析：两平行直线 间的距离为这两条平行直线中的一条直线上的一点到令一条直线的距离。
证明：在直线Ax+By+C1=0上任取一点P0(x0,y0),则点P0到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线之间的距离，即
因为P0(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上，所以Ax0+By0+C1=0，即Ax0+By0=-C1
因此
已知两条平行直线方程为:
则它们之间的距离为:
注意
(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等；

新知
例7 求平行直线l1:2x-7y-8=0和l2:6x-21y-1=0的距离。
解一：直线l1与x轴的交点A的坐标为（4，0）
则两平行线的距离就是点A(4,0)到直线6x－ 21y-1=0的距离.
因此，d=
解二：直线l1:2x-7y-8=0化为6x-21y-24=0
平行直线6x-21y-24=0和6x-21y-1=0的距离
为
课本P79 练习1
例题
2.已知两条平行直线方程为:
则它们之间的距离为:
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是

(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等；
把直线方程化为直线的一般式方程;
小结
作业
作业 课本P79 练习2