上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷
高一数学
（满分150分，完卷时间120分钟）2021．06
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．计算false______．（false为虚数单位)
2．已知向量false，false，若false，则实数false的值是______．
3．复数false为纯虚数（false为虚数单位），其中false，则false______．
4．已知false，则false______．
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为false，半径false，则扇形的周长为______false．
6．化简：false______．
7．在false中，若false，则false的形状是______三角形．
8．函数false的部分图像如图所示，则false______．
9．已知false，向量false，false，当false取到最大值时，false的值是______．
10．已知false、false满足false，false在false方向上的数量投影为false，则false的最小值为______．
11．如图，false是线段false外一点，false，false，false是线段false的垂直平分线false上的动点，则false的值为______．
12．已知函数false，false，若false的所有零点依次记为false，false，false，…，false，且false，则false______．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
14．要得到函数false的图像，只需将函数false的图像（ ）
A．向左平移false个单位； B．向左平移false个单位；
C．向右平移false个单位； D．向右平移false个单位
15．欧拉公式false（false为虚数单位，false，false为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：
①false；②false
其中所有正确结论的编号是（ ）
16．设函数false和函数false的图像公共点的横坐标从小到大依次为false，false，false，…，false，若false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）已知角false终边上有一点false的坐标是false，其中false，求false的值．
(2)证明恒等式：false．
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知复数false，false（false，false是虚数单位）．
(1)若复数false在复平面上对应点落在第一象限，求实数false的取值范围；
(2)若虚数false是实系数一元二次方程false的根，求实数false的值．
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
东西向的铁路上有两个道口false、false，铁路两侧的公路分布如图，false位于false的南偏西15°，且位于false的南偏东15°方向，false位于false的正北方向，false，false处一辆救护车欲通过道口前往false处的医院送病人，发现北偏东45°方向的false处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为false．
(1)判断救护车通过道口false是否会受火车影响，并说明理由；
(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择false、false中的哪个道口？通过计算说明．
20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数false，false．
(1)求函数false的值域；
(2)求函数false单调递减区间；
(3)若不等式false恒成立，求实数false的取值范围．
21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知false是线段false外一点，若false，false．
(1)设点false是false的重心，证明：false；
(2)设点false、false是线段false的三等分点，false、false及false的重心依次为false、false、false，试用向量false、false表示false；
（3）如果在线段false上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷
高一数学参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．【答案】：false 2．【答案】：false 3．【答案】：3 4．【答案】：6 5．【答案】：false
6．【答案】：1 7．【答案】：等腰 8．【答案】：false
9．【答案】：false（或false或false）
10．【答案】：10 11．【答案】：false
12．【答案】：false
【解析】：令false，可得false，
即函数的对称轴方程为false，又false的周期为false，
令false，可得false，所以函数在false上有9条对称轴．
根据正弦函数的性质可知，false，false，…，false，
(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，
false．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】A
16．【答案】C
【解析】：因为false，则有false或false，false，false，
解得false或false，false，false
又函数false和函数false的图象的公共点的横坐标从小到大依次为false，false，false，…，false，所以false，false，false，false，false，false，…，故false，false．
所以false，即false，则false，解得false，
故false．
三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．【解析】：解（1）当false时，点false到原点的距离为false，
由三角比的定义可得：false，false
原式false；
（2）证明：falsefalse．
18．【解析】：（1）false．
∵false在复平面内对应的点落在第一象限，
∴false
解得：false．
∴实数false的取值范围是false；
(2)∵虚数false是实系数一元二次方程false的根，false．
∴false也是实系数一元二次方程false的根，
falsefalse
19．【解析】：（1）依据题意：在false中，正弦定理：
false，解得：false，
∴救护车到达false处需要时间：false，
火车到达false处需要时间：false，火车影响false道口时间为false，
false，∴救护车经过false会受影响．
(2)若选择false道口：
一共需要花费时间为：false
若选择false道口：由余弦定理求false长：false，
得：false，所以false
火车到达false处所需时间为：false，救护车到达false处所需时间为false，所以不受火车影响。
false．
∴一共花费时间为：false
∴选择false过道．
20．【解析】：（1）false，
∵false，∴false，
∴false，
∴函数false的值域为false．
(2)false得，
false，false
又false，∴函数false的单调递减区间是false；
(3)函数false的值域为false，于是，false，
原不等式false等价于false，
由false，得false的最大值为false，
所以，实数false的取值范围是false．
21．【解析】：（1）设false的中点为false，则false；
(2)如图：点false、false是线段false的三等分点，
false，false，false，
则false
false
(3)层次一：
设false是false的二等分点，则false，false；
设false、false、false是线段false的四等分点，则false；
或设false、false、…false是线段false的false等分点，则false（false，2，…，false）
层次二：
设false、false、…false是线段false的false等分点，false
层次三：
设false、false、…false是线段false的false等分点，则false．