河南省全国百强校领军考试2020-2021学年高二下学期7月联考文科数学试题 Word版含答案

1169670011709400河南省2020—2021学年下学期全国百强名校
“领军考试”高二数学（文）
2021.07
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知集合false，false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知命题false：“对false，false”，则false为（ ）
A．false，false B．对false，false
C．false，false D．对false，false
4．若函数false是偶函数，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．双曲线false：false（false）的渐近线与圆false：false相切，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．若false，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知向量false，false均为单位向量，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．统计某学校false名学生的课外阅读时间，得到如下的频率分布直方图，则这false名学生课外阅读时间的中位数约为（保留一位小数）（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知菱形false中false，把false沿false折起，使点false到达false处，且false，若点false为线段false中点，则异面直线false与false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．若函数false（false）的图象向左平移false个单位后得到一个偶函数的图象；若false向右平移false个单位后得到一个奇函数的图象，则false的值可以是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．我们把函数false称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①false；②false；③false；④false，其中正确的命题的个数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知椭圆false：false（false）的一个焦点为false，一个顶点为false，设false，点false是椭圆false上的动点，若false恒成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数false，false满足false，则false的最大值________．
14．函数false的图象在false处的切线方程为________．
15．已知false的三边false，false，false满足false，且false的面积为false，则false的值为________．
16．已知球false内有false个半径为false的小球，则球false的表面积的最小值为________．
三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知数列false是公比不为false的等比数列，且false，false，false，false成等差数列．
（1）求false；
（2）设false，求数列false的前false项的和false．
18．已知四棱锥false中，三角形false所在平面与正三角形false所在平面垂直，四边形false是菱形，false，false．
（1）求证：平面false平面false；
（2）求三棱锥false的体积．
19．受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码false分别为false，市场规模为false（单位：亿元）．
（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合false与false的关系，请用相关系数（系数精确到false）加以说明；
（2）建立false关于false的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模．
附注：参考数据：false；false，false，false
参考公式：相关系数false，回归方程false中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：false，false．
20．已知点false，false分别是直线false及抛物线false：false（false）上的点，且false的最小值为false．
（1）求抛物线false的方程；
（2）若直线false与抛物线false交于点false，false，线段false中点为false，判断false轴上是否存在点false，使得false为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
21．已知函数false．
（1）若false，求false在false（false）上的最小值；
（2）若false在false上有3个极值点，求false的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系false中，直线false的参数方程false（false为参数）．在以坐标原点为极点，false轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线false的极坐标方程为false．
（1）求直线false的极坐标方程；
（2）若射线false（false，false）与直线false及双曲线false分别交于点false，false，且false，求false．
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知false．
（1）求不等式false的解集；
（2）若false对任意实数false恒成立，求证：false．
2020—2021学年下学期全国百强名校
“领军考试”高二数学参考答案与解析（文科）
1．【答案】false
【命题意图】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．
【解析】因为false，故选false．
2．【答案】false
【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．
【解析】集合false，false，所以false，故选false．
3．【答案】false
【命题意图】本题考查称命题的否定，考查数学抽象的核心素养．
【解析】根据“false，false”的否定是“false，false”，可知选false．
4．【答案】false
【命题意图】本题考查二次函数的性质及指数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心．
【解析】由false是偶函数，可的false，false，所以false，故选false．
5．【答案】false
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．
【解析】双曲线false的渐近线与圆false相切，则圆心false到直线false的距离false，解得false，故选false．
6．【答案】false
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．
【解析】由false及false可得false，由false，得false，false，所以false，故选false．
7．【答案】false
【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与数学抽象的核心素养．
【解析】因为向量false，false均为单位向量，false两边平方得false，所以false，所以false，故选false．
8．【答案】false
【命题意图】本题考查频数分布直方图，考查数学运算及数据分析的核心素养．
【解析】设中位数为false，由false，false，可得false，由false，解得false，故选false．
9．【答案】false
【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．
【解析】取false中点false，连接false，false，则false就是异面直线false与false所成角，如图所示，由题意可得false，false，所以false，故选false．
10．【答案】false
【命题意图】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象与直观想象的核心素养．
【解析】由题意可得false（false），false（false），整理得false（false），false（false），取false，false得false，故选false．
11．【答案】false
【命题意图】本题考查狄利克雷函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．
【解析】当false为有理数时false，false均为有理数，false，false，当false为无理数时false，false均为无理数，false，false，所以①②正确，当false为无理数时false，false，③错误，④正确，故选false．
12．【答案】false
【命题意图】本题考查椭圆的方程及二次函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
【解析】设false，则false，因为false，所以false，所以false．
因为false，因为false，所以false，所以false恒成立，所以false，即false．
13．【答案】false
【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养．
【解析】如图所示，作出不等式组表示的可行域，是以点false，false，false为顶点的三角形区域，由false得false，当false经过点false时，其在false轴上的截距最大，false最大，所以false．
14．【答案】false
【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学抽象与数学运算的核心素养．
【解析】由false可得false，所以false，false，
所以false的图象在false处的切线方程为false，即false．
15．【答案】false或false
【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
【解析】由false的面积为false得false，所以false，false或false，
若false，则false，整理得false，若false，则
false，整理得false，
所以false，故false或false．
16．【答案】false
【命题意图】本题考查球的性质与表面积，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．
【解析】设false个半径为false的小球的球心分别为false，false，false，则球false的表面积最小时，false个小球两两相切，每个小球都与球false相切，此时false的中心为false，false，所以false，所以球false的半径最小值为false，球false的表面积的最小值为false．
17．【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养．
【解析】（1）设等比数列false的公比为false（false），由false得false，
由false，false，false成等比数列得false，即false，
因为false，
所以false，即false，
因为false，
所以false，代入false得false，
所以false．
（2）因为false，
所以false
false
false．
18．【命题意图】本题考查垂直关系的证明及空间向量的应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．
【解析】（1）取false中点false，连接false，false，
因为false为正三角形，
所以false，
面false面false，且false在面false内
所以false平面false，
因为false平面false，
所以false，
由题意知false，false，
所以false，
因为false，false，
所以false，
所以false
因为false，
所以false平面false，
因为false平面false，
所以平面false平面false．
（2）由（1）知，false，
又false，false，false，
false
false（即false），
又因为false
又false，false，
所以三棱锥false的高为false，
因为false是边长为false的正三角形，
所以false的面积为false，
所以false．
19．【命题意图】本题考查回归分析，考查数据分析、数学应用及数学运算的核心素养．
【解析】（1）由图中数据和附注中参考数据得false，false，
false，
false
因为false与false的相关系数false，说明false与false的线性相关程度比较高，从而可以用线性回归模型拟合false与false的关系．
（2）由（1）得false，
因为false，false，
所以false关于false的回归方程为false
将2021年对应的false代入回归方程得false．
所以预测2021年中国在线教育市场规模为false亿元．
20．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）设点false是抛物线false上任意一点，
则false，
因为false的最小值为false．
所以false，解得false，
所以抛物线false的方程为false．
（2）设false，false，false，
把直线false与false联立得false，
由题意可得false，
所以false，false，
所以false
false
false
false
false
false
所以当false时false．
所以false轴上存在点false，使得false为定值false．
21．【命题意图】本题考查用导数研究函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）当false时false，false，
若false，false时false，false在false是增函数，
false的最小值为false，
若false，false时false，false是减函数，false时false，false是增函数，false最小值为false，
综上可得false时false的最小值为false，false时false的最小值为false
（2）因为false，
所以false，
false在false上有false个极值点，则false在false有false个不同实根，
则方程false在false上有false个不等于false的实根，
显然false不是方程false的根，
所以问题转化为直线false与函数false（false）的图象有false个横坐标不等于false的交点，
false，false在false，false上是减函数，在false上是增函数，
当false时，false，当false时false，当false时，false
所以当false，即false时false在false上有false个极值点，
所以false的取值范围是false．
22．【命题意图】本题考查曲线的直角坐标方程、参数方程及极坐标方程；考查数学运算及逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）直线false的参数方程false，消去参数false得false，
由false，false，得直线false的极坐标方程为false，
即false
（2）因为射线false（false，false）与直线false及曲线false分别交于点false，false，
所以false，false，
因为false，
所以false，即false，
所以false，false．
23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）false
所以不等式false的解集为false．
（2）当false时false，
当false时false，
所以false，当且仅当false时取等号．
所以false，即false，
所以false，
所以false，即false．